何中石，孟令寬

齒根等效應力的對比計算

何中石，孟令寬

（湖南湘電動力有限公司，湖南湘潭 411101）

目前設計一般的齒輪傳動時，通常只按保證齒根彎曲疲勞強度以及保證齒面接觸疲勞強度兩準則進行計算。由實踐得知，對于齒面硬度很高，齒芯強度又低的齒輪或材質(zhì)較脆的齒輪，通常則以保證齒根彎曲疲勞強度為主。本文針對一對齒輪副的齒根等效應力先后采用仿真分析計算方法；第四強度理論計算方法；齒根彎曲疲勞強度的經(jīng)典計算方法來計算齒根等效應力。發(fā)現(xiàn)在本文所設置的載荷條件下，仿真分析計算的結(jié)果和齒根彎曲疲勞強度的經(jīng)典計算方法所得的結(jié)果相近。

齒輪傳動 齒根等效應力 第四強度理論 齒根彎曲疲勞強度

0 引言

齒輪傳動是機械傳動中最重要的傳動之一，形式很多，應用廣泛，傳遞的功率可達數(shù)十萬千瓦，圓周速度可達200 m/s。齒輪傳動的主要特點有：效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、工作可靠、壽命長、傳動比穩(wěn)定。

輪齒折斷是齒輪主要的失效形式之一。輪齒受載后，齒根處的彎曲應力較大，齒根過渡部分的形狀突變及加工刀痕，還會在該處引起應力集中。在正常工況下，當齒根的循環(huán)彎曲應力超過其疲勞極限時，將在齒根處產(chǎn)生疲勞裂紋，裂紋逐步擴展，致使輪齒疲勞折斷。

若使用不當造成齒輪過載時，齒輪在突加載荷作用下也可能出現(xiàn)折斷；長期使用的齒輪因嚴重磨損而導致齒輪過分減薄時，也會在名義載荷下發(fā)生折斷。

齒寬較小的直齒圓柱齒輪（簡稱直齒輪）一般發(fā)生整齒折斷；齒寬較大的直齒輪，因制造裝配誤差使得載荷偏置于齒輪的一端，發(fā)生局部折斷的可能性較大。斜齒圓柱齒輪（簡稱斜齒輪）和人字齒圓柱齒輪（或稱人字齒輪）的接觸線是傾斜的，齒輪受載后，如有載荷集中時，一般會發(fā)生局部折斷。

對于齒輪齒根強度的計算，經(jīng)典的計算方法為齒根彎曲疲勞強度計算。本文以一對直齒圓柱齒輪作為研究對象，先采用有限元方法計算齒根的等效應力，然后再根據(jù)載荷作用于齒頂時單個輪齒的受力情況，采用第四強度理論計算齒根的等效應力，最后采用齒根彎曲疲勞強度計算的經(jīng)典方法，并分析對比以上三種計算方法的應力結(jié)果。

1 齒輪參數(shù)和齒輪建模

1.1 齒輪參數(shù)

本文所選擇的齒輪副中的齒輪參數(shù)、安裝信息和運行特點如下所示：齒數(shù)比=3.2；齒數(shù)：Z1=34、Z2=109；模數(shù)m=2；壓力角=20°；齒寬：1=75、2=68；齒寬系數(shù)：Φd=1；中心距a=143 mm；齒根圓角：1=0.76、2=0.76[1]；圓周速度：=2.1 m/s；齒輪精度：=7；齒輪布置方式為對稱布置；小齒輪為主動輪（硬齒面），大齒輪為從動輪（軟齒面）；小齒輪的輸出扭矩為1=9.948×104N·mm且載荷狀態(tài)均勻平穩(wěn)。

1.2 齒輪的建模

根據(jù)1.1中的齒輪參數(shù)，利用SolidWorks三維建模軟件對小齒輪和大齒輪分別進行建模。在建模過程中將齒寬統(tǒng)一為6.8 mm（該齒寬為大齒輪實際齒寬的0.1倍，因扭矩與齒根受力大小呈線性關系，在后續(xù)加載載荷時僅取實際扭矩的0.1倍），并且在建模時擴大齒輪內(nèi)孔尺寸，以減少后續(xù)仿真分析計算時的網(wǎng)格數(shù)量盡量節(jié)省計算資源。

根據(jù)《齒輪手冊》[2]可知，齒輪在嚙合時，當載荷作用在單對齒嚙合區(qū)的最高點時，齒根產(chǎn)生的彎曲應力最大。本文中選擇大齒輪中某一齒的齒根強度進行分析。則在建模過程中需要將小齒輪某一齒面進行投影并分割，其分割線恰好能夠與大齒輪齒頂圓和齒面漸開線相交形成的棱邊接觸。小齒輪建模后的外形如圖1所示；大齒輪建模后的外形如圖2所示；齒輪嚙合處及齒根彎曲應力校核位置如圖3所示。

圖2 大齒輪

圖3 齒輪嚙合處及齒根彎曲應力校核位置

2 仿真分析計算[3]

2.1 仿真模型及前處理

將第1章中的三維模型保存為igs格式后導入AnsysWorkbench并采用Static Structural模塊進行分析。在進入到分析模式之前，需將模型在DesignModeler模式下將二齒輪模型內(nèi)孔面進行合并，以方便后續(xù)邊界條件的設置以及載荷的加載。

2.2 網(wǎng)格的設置

由于在分析模型中，兩齒輪的厚度均為6.8 mm，兩齒輪模型的網(wǎng)格大小設置為2.5 mm。由于最大受力位置為嚙合區(qū)最高點的齒輪根部（本文選擇的是大齒輪根部），所以在該處大齒輪根部的網(wǎng)格設置為0.1 mm以確保計算精度。所有網(wǎng)格均選擇四面體網(wǎng)格即Tetrahedrons即可。齒輪嚙合位置的網(wǎng)格如圖4所示，該圖中已隱藏小齒輪。此時網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為635768，單元數(shù)為428921。

圖4 嚙合區(qū)最高點大齒輪根部網(wǎng)格

2.3 載荷的加載以及邊界條件的設置

設置邊界條件時將大齒輪作為受力物體，其內(nèi)圈面設置成Fixed Support，同時以小齒輪內(nèi)圈面為基準，建立一個Coordinate System并將Y方向自由度定義為齒輪旋轉(zhuǎn)方向的自由度。在小齒輪內(nèi)圈面設置Displacement的約束，其中X和Z方向的位移設置為0，Y方向的位移設置為Free，如圖5所示。最后在小齒輪內(nèi)圈面施加扭矩載荷即Moment，載荷大小為9948N·mm（因為齒輪厚度為實際參數(shù)的0.1倍所以扭矩載荷也為實際參數(shù)的0.1倍）。

圖5 小齒輪內(nèi)圈Coordinate System的建立

在接觸對的設置時刪除掉原系統(tǒng)自動生成的接觸對后，手動添加嚙合區(qū)最高點為唯一的接觸對。其小齒輪漸開線面為接觸面，大齒輪漸開線面及齒頂圓面為目標面。接觸形式選擇無摩擦接觸以忽略摩擦力對計算結(jié)果的影響。具體見圖6、圖7所示：

圖6 齒輪接觸對位置

圖7 齒輪接觸對形式設置

2.4 仿真分析計算結(jié)果

經(jīng)仿真分析計算，大齒輪根部的最大等效應力為93.1 MPa,最大應力位置出現(xiàn)在嚙合區(qū)最高點大齒輪受壓一側(cè)的根部，如圖8所示。受拉一側(cè)的根部的等效應力相對較小為79.5 MPa，如圖9所示。

圖8 大齒輪根部最大應力位置

圖9 大齒輪根部受拉一側(cè)最大應力

為與后續(xù)經(jīng)典計算進行對比，現(xiàn)提取齒輪嚙合區(qū)最高點大齒輪對小齒輪的反力Force Reaction，如圖10、圖11所示：

圖10 嚙合區(qū)最高點大齒輪對小齒輪反力

圖11 嚙合區(qū)最高點反力值

通過上述計算可知齒輪嚙合區(qū)最高點大齒輪對小齒輪的反力為311 N。

3 根據(jù)第四強度理論計算齒根的等效應力

3.1 經(jīng)典力學計算過程中力的解析

載荷作用于齒頂時的情況如圖12所示。圖中，γ為載荷作用于大齒輪齒頂時的壓力角，載荷Fn可以分為Fncosγ和Fnsinγ兩個分量，其中，前者在齒根產(chǎn)生彎曲應力σF0和剪應力τF0，后者在齒根產(chǎn)生壓應力σc0。齒根彎曲應力的危險截面可用30°切線法確定，如圖13所示。圖中，與輪齒對稱線成30°角，并與齒根過渡曲線相切的兩條直線，切點分別為A、B，線段AB表示的就是齒根處的危險截面。該處的彎曲應力σF0、剪應力τF0和壓應力σc0的計算公式分別為：

圖12 載荷作用于齒頂時力的解析

圖13 齒根處的彎曲應力、壓應力和剪應力

3.2 各參數(shù)值的確定

圖12、圖13中與齒輪相關參數(shù)的確定如下：γ為齒頂圓壓力角，其計算公式為：

根據(jù)Fn的計算結(jié)果，對比仿真分析中大齒輪對小齒輪計算得到的反力（311N），可知該二結(jié)果計算的誤差在2%左右。

3.3 計算過程

經(jīng)過上述計算，各基本參數(shù)已經(jīng)確定，現(xiàn)將各參數(shù)分別代入3.1節(jié)中的公式（1）、（2）、（3），具體如下所示：

齒輪單個齒在受力時可視為懸臂梁[6]，根據(jù)材料力學的知識齒根圓角處的剪應力約等于0，但此處本文仍然取AB橫截面的平均剪應力進行計算）下面根據(jù)第四強度理論［7］計算齒根部位的等效應力，此處以圖13中沿O-O軸方向（豎直方向）的應力定義為σ1，與紙面方向相切同時又垂直于O-O軸方向的應力定義為σ2，垂直于紙面方向的應力定義為σ3。此時可得：

σ1=σF0+σC0=48.4+4=52.4（MPa）

σ2=τF0=9.6（MPa）

σ3=0（MPa）

將上述計算結(jié)果代入到第四強度理論計算齒輪根部的等效應力：

4 采用齒根彎曲疲勞強度的經(jīng)典計算方法

采用齒根彎曲疲勞強度的公式進行計算時即分別通過應力修正系數(shù)Ysa、重合度系數(shù)Yε和載荷系數(shù)KF對齒根部位的彎曲應力σF0進行修正。齒輪齒根彎曲疲勞強度的計算公式為：

式（5）中的σF0=48.4MPa在3.3節(jié)中已經(jīng)得出。應力修正系數(shù)Ysa可根據(jù)1.1節(jié)中給出的參數(shù)通過查閱圖表的方法得出Ysa≈1.82。當然也可以通過公式（6）[8]對應力修正系數(shù)Ysa進行計算。：

SFn—齒根危險截面齒厚；

hFe—彎曲力臂

ρF—30°切線切點處的曲率半徑

筆者采用該公式計算大齒輪的應力修正系數(shù)Ysa≈1.90，計算過程在此不再贅述。

載荷系數(shù)KF的值是由使用系數(shù)KA、動載系數(shù)KV、分配系數(shù)KFα以及分布系數(shù)KFβ的連續(xù)乘積得到。

根據(jù)1.1節(jié)中給出的參數(shù)可以通過查閱圖表的方法得出：KA=1.0、KV=1.08、KFα=1.2、KFβ=1.34。（應力修正系數(shù)Ysa、使用系數(shù)KA、動載系數(shù)KV、分配系數(shù)KFα、分布系數(shù)KFβ均可以通過機械設計教材、機械設計手冊或齒輪手冊查閱到）

則載荷系數(shù)為：

重合度系數(shù)Yε的計算公式為：

（8）中的εα為齒輪的重合度，其計算公式為：

（9）式中的αa1和αa2分別為小齒輪和大齒輪齒頂圓壓力角，其中大齒輪齒頂圓壓力角已經(jīng)在第3.2節(jié)中得到（αa2≈22.8°即（4）中的γ）。現(xiàn)將小齒輪分度圓半徑r1=34 mm、齒頂圓半徑ra2=36 mm、壓力角α=20°代入公式（4）中可得小齒輪齒頂圓壓力角αa1≈27.4°。將上述已知數(shù)據(jù)帶入到（9）中可得：

可得重合度系數(shù)Yε≈0.66。將以上所得數(shù)據(jù)帶入到式（5）中可得：

5 結(jié)論

根據(jù)以上計算結(jié)果可知，仿真分析計算的齒根等效應力為93.1 MPa；根據(jù)第四強度理論計算的齒根等效應力為47.8 MPa；采用齒根彎曲疲勞強度的計算方法得到的彎曲疲勞應力為101 MPa。綜合對比上述三種計算方法得到的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，仿真分析計算和齒根彎曲疲勞強度計算得到的應力結(jié)果相近，可見按照本文所設置的邊界條件用仿真分析計算的方法得到的齒根等效應力已經(jīng)有一定的安全冗余，其等效應力值略小于在1.1節(jié)中的齒輪相關參數(shù)條件下的彎曲疲勞應力值，具有一定的計算精度，其相對于彎曲疲勞應力值誤差在8%左右。

[1] 張云秀，韓志引，李東艷.航空直齒輪輪緣厚度對齒根應力的影響規(guī)律[J]. 機床與液壓，2020(21)：176-181.

[2] 齒輪手冊編委會. 齒輪手冊. 北京：機械工業(yè)出版社. 1990.

[3] 周炬. 蘇金英. ANSYS Workbench有限元分析實例詳解（靜力學）[M]. 北京: 人民郵電出版社. 2018.

[4] 西北工業(yè)大學機械原理及機械零件教研室. 機械原理[M]. 北京: 高等教育出版社.

[5] 西北工業(yè)大學機械原理及機械零件教研室.機械設計[M]. 北京: 高等教育出版社. 2013.

[6] 馮守衛(wèi)，濮良貴，張少名，王守宇. 關于齒根應力計算方法的建議[J]. 齒輪, 1989（2）: 50-53.

[7] 孫訓芳，方孝淑，關來泰，材料力學（Ⅰ）[M]. 北京：高等教育出版社. 2009.

[8] 機械設計手冊編委會. 機械設計手冊. 第2卷. 北京: 機械工業(yè)出版社. 2015.

Comparative calculation of equivalent stress at tooth root

He Zhongshi，Meng Lingkuan

(Xiangtan Electric Manufacturing Group Co., Ltd, Xiangtan 411101, Hunan，China)

TH123.4

A

1003-4862（2023）08-0069-05

2023-05-12

何中石（1983-），男，本科。主要從事電機設計工作。E-mail: 1564892293@qq.com