王子航，劉建華，薛醒思，朱 劍，陳宇翔

（1.福建工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 福州 350118;2.福建工程學(xué)院福建省大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州 350118）

粒子群優(yōu)化算法 （particle swarm optimization,PSO）最初是由Eberhart 等[1]和Kennedy 等[2]于1995年提出，通過(guò)模擬動(dòng)物群體的社會(huì)行為，比如鳥(niǎo)群的捕食行為，構(gòu)建一種群體智能優(yōu)化算法。與其他遺傳算法[3]和蟻群算法[4]等智能算法相比PSO 算法具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且收斂速度快的優(yōu)勢(shì)，廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)域，比如函數(shù)優(yōu)化[5]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練[6]，軌跡優(yōu)化[7]等。PSO算法在運(yùn)算前期效果較好，在后期存在易陷入局部最優(yōu)值問(wèn)題，因此學(xué)者們提出了各種各樣的改進(jìn)方法。例如，鄧浩等[8]提出了自適應(yīng)權(quán)重參數(shù)調(diào)整的PSO算法；張德華等[9]提出了具有不同學(xué)習(xí)策略的PSO 算法；Wang 等[10]則將其他優(yōu)化算法與粒子群算法結(jié)合，得到新的PSO 算法。各種PSO 算法從PSO 不同元素中改進(jìn)，提升了算法精度與性能。

速度約束是PSO 算法運(yùn)行過(guò)程中的一個(gè)步驟操作，目的是防止粒子跳出搜索空間，避免出現(xiàn)不可行解。最早的速度約束策略采用固定值[11]，然后出現(xiàn)對(duì)PSO 速度邊界約束的研究和改進(jìn)策略，例如，Helwig 等[12]提出并比較了多種用于粒子群優(yōu)化的速度邊界約束處理技術(shù)；Jiang 等[13]研究了速度約束策略解決高維問(wèn)題存在的缺陷并提出了幾種解決方案。近年來(lái)，有學(xué)者提出一些自適應(yīng)速度約束策略，并提高了算法的性能。例如，Barrera 等[14]提出速度邊界隨迭代次數(shù)而幾何變化的策略；Adewumi 等[15]提出在粒子每代計(jì)算速度最高值和最低值的絕對(duì)值，據(jù)此計(jì)算速度邊界。

隨迭代次數(shù)而變化的速度約束策略具有自適應(yīng)性，可以更好地提高算法性能。但是，由于PSO 算法的種群狀態(tài)不確定，其局部搜索有可能發(fā)生在初始階段，而全局搜索也可能發(fā)生在后期，因此速度邊界不僅受迭代次數(shù)影響，還應(yīng)該與粒子群的狀態(tài)有關(guān)。Li 等[16]提出一種基于種群狀態(tài)的自適應(yīng)速度約束粒子群算法（particle swarm optimization with statebased adaptive velocity limit strategy，PSOSAVL），通過(guò)評(píng)估種群進(jìn)化狀態(tài)值而設(shè)置速度約束范圍，提高算法性能。但PSOSAVL 算法只是根據(jù)粒子之間的距離評(píng)估種群進(jìn)化狀態(tài)，并沒(méi)有考慮迭代次數(shù)，所以還是存在陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)。

同時(shí)，PSO 算法與求解問(wèn)題的維度有關(guān)，根據(jù)維度提出改進(jìn)算法的策略，可以提高其性能。例如，蔣曉屾等[17]提出，算法粒子每一維采用不同衰減權(quán)重，提高了多樣性和局部搜索能力；鄧志誠(chéng)等[18]提出一種具有動(dòng)態(tài)子空間隨機(jī)單維變異粒子群算法，當(dāng)某維退化且算法性能下降時(shí)，該維采用變異，有效地提升算法收斂速度和求解質(zhì)量。然而，對(duì)于PSO算法速度約束與求解問(wèn)題維度的關(guān)系，目前并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)研究。

基于上述的分析，本文提出一種融合迭代和問(wèn)題維度的速度約束粒子群算法 （PSO with velocity limit combining iteration and problem dimension，VLPSOID）。該算法不僅計(jì)算種群進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估值（evolutionary state evaluation，ESE），而且考慮了迭代次數(shù)和求解問(wèn)題的維度。算法首先設(shè)計(jì)受迭代次數(shù)和維度影響的計(jì)算公式，將其融合進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估值計(jì)算中，再根據(jù)進(jìn)化狀態(tài)評(píng)價(jià)估值確定速度約束范圍，使用算法速度約束既受迭代變化影響，也受到問(wèn)題維度影響，具有自適應(yīng)性，提高了粒子群算法的性能。

1 相關(guān)知識(shí)介紹

1.1 粒子群優(yōu)化算法

在每次迭代過(guò)程中，粒子群算法計(jì)算每個(gè)粒子速度，更新自身位置，并且速度受到群體最優(yōu)位置和自身歷史最優(yōu)位置的影響。標(biāo)準(zhǔn)的PSO 算法的數(shù)學(xué)描述如下。

假設(shè)粒子種群規(guī)模為N，問(wèn)題維度為D；第i 個(gè)粒子位置向量xi=（），速度向量vi=（，）；第i 個(gè)粒子第d 維的速度和位置在t 代的更新如下

式中：t 為當(dāng)前迭代數(shù)；ω 為慣性權(quán)重；c1和c2為加速因子；為第t 代第i 個(gè)粒子第d 維的速度；r1和r2為介于0 和1 之間的隨機(jī)數(shù)；為第t 代第i 個(gè)粒子第d 維的位置；為第i 個(gè)粒子第d 維的個(gè)體歷史最優(yōu)位置；為整個(gè)粒子群第t 代第d 維的全局最優(yōu)位置。

1.2 進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估策略

進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估策略是評(píng)估計(jì)算算法粒子種群狀態(tài)值，判斷算法當(dāng)前搜索狀態(tài)并改進(jìn)算法，使用PSO 算法具有自適應(yīng)性。Zhan 等[19]提出一種自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法（adaptive particle swarm optimization, APSO），首次采用進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估（evolutionary state evaluation, ESE）策略改進(jìn)PSO 算法；后來(lái)也有文獻(xiàn)提出改進(jìn)的ESE 策略[20]，提高了算法效率。ESE策略考慮了種群粒子分布狀態(tài)及其適應(yīng)度值，根據(jù)進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估值將種群狀態(tài)分為4 種類(lèi)型：探索，開(kāi)發(fā)，收斂以及跳出。種群進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估值定義如下，假定f 為種群進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估值，則f 值通過(guò)式（4）和式（5）兩步計(jì)算得到。

式中：Li為第i 個(gè)粒子到其他粒子的平均距離，Lg為全局最佳粒子到其他粒子的平均距離，Lmin和Lmax分別為L(zhǎng)i的最大值和最小值。根據(jù)式（5），Li值為0和1 之間的值，式（4）是體現(xiàn)一個(gè)粒子到其他粒子之間平均距離，式（5）將種群最優(yōu)粒子平均距離歸一化處理，得到種群ESE 值f，然后用于控制粒子速度約束。

但是，式（5）評(píng)估種群進(jìn)化狀態(tài)值，只是采用全局最優(yōu)粒子的平均距離，存在陷入局部最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)。本文提出一種融合迭代和問(wèn)題維度的自適應(yīng)進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估策略，改進(jìn)種群狀態(tài)評(píng)估方法，改進(jìn)粒子群算法的速度約束，形成一種融合迭代和問(wèn)題維度的速度約束粒子群算法。

2 融合迭代和問(wèn)題維度的速度約束粒子群算法

本算法采用了融合迭代和問(wèn)題維度的自適應(yīng)進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估策略，其方法是先由式（4）和式（5）計(jì)算f 值；然后讓其受當(dāng)前迭代次數(shù)t 和求解問(wèn)題維度D 影響，得到新的狀態(tài)評(píng)估值f＾，如式（6）。這里s（t）和h（D）分別表示受到迭代次數(shù)t 和問(wèn)題維度D 影響的公式，各自采用了不同影響策略，影響著原始種群狀態(tài)評(píng)估值f。s（t）為迭代策略，h（D）為維度策略

式中：η 為影響系數(shù)，η∈（0，1），控制兩個(gè)策略對(duì)原始種群狀態(tài)評(píng)估值f 的影響程度。

2.1 迭代策略

PSO 算法要盡可能地在前期處于探索狀態(tài)，在后期處于開(kāi)發(fā)狀態(tài)。當(dāng)種群狀態(tài)評(píng)估值采用式（5）計(jì)算f 值時(shí)，應(yīng)考慮迭代次數(shù)t 對(duì)其影響，目的是使f 值在前期相對(duì)較大，在后期慢慢變小。這樣算法在前期全局搜索能力較強(qiáng)，能夠搜尋更大空間，容易跳出局部最優(yōu)點(diǎn)；算法在后期局部搜索能力增強(qiáng)，重點(diǎn)搜索有希望的局部區(qū)域。因此，本小節(jié)設(shè)計(jì)一個(gè)迭代策略，使其影響種群狀態(tài)評(píng)估值f，使其值隨著迭代遞減。

本文設(shè)計(jì)迭代策略s（t）如式（7），tmax為最大迭代次數(shù)。圖1 則表示s（t）是隨迭代t 指數(shù)遞減的圖像。如圖1 所示，s（t）在迭代前期，值相對(duì)較大，而隨迭代變化，s（t）值緩慢下降，最后值為1。指數(shù)遞減比線性遞減下降更快，容易使f 值突變，全局搜索能力下降快，其變化范圍從e 到1。

圖1 迭代策略值隨迭代次數(shù)的變化Fig.1 Change of iteration strategy value with iteration

2.2 維度策略

隨著問(wèn)題維度增大，PSO 算法計(jì)算成本增加，搜索效率降低。由于在更新高維的粒子位置時(shí)，粒子每個(gè)維度都同時(shí)到達(dá)最佳位置的概率降低，粒子更可能遠(yuǎn)離最佳位置，降低算法性能。因此PSO 算法會(huì)受到問(wèn)題維度的影響，本節(jié)設(shè)計(jì)維度策略，使種群狀態(tài)評(píng)估值f 受求解問(wèn)題維度D 影響，其值隨維度D 增加而增加，增強(qiáng)算法的全局搜索能力。

本文設(shè)計(jì)策略函數(shù)h（D）如式（8）所示，其變化如圖2 所示。在低維時(shí)，h 值變化比較大，而隨著維度增加，h 值變化慢慢變平緩，最終趨于穩(wěn)定。

圖2 維度策略值隨問(wèn)題維度的變化Fig.2 The change of dimension policy value with the problem dimension

2.3 種群進(jìn)化狀態(tài)評(píng)價(jià)方法

在式（6）的基礎(chǔ)上，融合迭代策略和維度策略到ESE 值f 中，得到新ESE 值，其計(jì)算如下

式中：η 為影響系數(shù)，用于控制兩種策略影響ESE 值的程度，η∈（0，1），具體取值由實(shí)驗(yàn)方法決定；t 為迭代次數(shù)；tmax為最大迭代次數(shù)；D 為求解問(wèn)題維度。

2.4 進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估值決定速度約束的策略

2.4.1 速度約束的計(jì)算方法

假定μ 為PSO 速度約束值（VL）與其搜索最大位置（xmax）比例值，μ∈（0，1），而速度約束VL 限制在速度下邊界和上邊界［VLmin，VLmax］之間。

2.4.2 超參數(shù)設(shè)置方法

α 和β 為兩個(gè)超參數(shù)設(shè)置基于原則為，當(dāng)f＾值越大時(shí)，PSO 算法種群傾向于全局搜索，粒子速度約束邊界變大；而當(dāng)越小時(shí)，種群傾向于局部搜索，粒子速度約束邊界收縮。當(dāng)時(shí)，VL 達(dá)到最大值VLmax，此時(shí)μ=μmin；當(dāng)=0 時(shí)，VL 達(dá)到其最小值VLmin，此時(shí)μ=μmax。μmin，μmax分別為VL 與xmax的最大比例和最小比例。假設(shè)μmin和μmax已知，根據(jù)式（11）可得式（12），推導(dǎo)求解α 和β 值。當(dāng)給定速度約束VL 的比例最大值μmax和比例最小值μmin時(shí)，可以根據(jù)式（12）設(shè)置式（11）的超參數(shù)α 和β 值。

2.5 融合迭代和問(wèn)題維度的速度約束PSO 算法

本節(jié)PSO 算法速度約束公式為式（3），其速度邊界值VL 采用式（11）計(jì)算。式（11）VL 由進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估ESE 值f＾決定，而f＾值融合了迭代次數(shù)和問(wèn)題維度的影響，得到一種融合迭代和問(wèn)題維度的速度約束PSO 算法。

當(dāng)PSO 算法求解的問(wèn)題維度D 和其當(dāng)前迭代次數(shù)t 已知，并設(shè)置好μmin和μmax時(shí)，可以用本文提出的相關(guān)策略及其公式，求解速度約束值VL 及其范圍值[-VL，VL]，其算法具體過(guò)程的偽代碼見(jiàn)算法Calc_VL，本文提出PSO 算法流程的偽代碼見(jiàn)算法Calc_Best。

2.6 時(shí)間復(fù)雜度分析

根據(jù)算法Calc_VL 和算法Calc_Best，VLPSOID算法的時(shí)間成本主要是：計(jì)算種群狀態(tài)，更新粒子的速度和位置。對(duì)于算法Calc_VL，時(shí)間成本主要為式（4），需要計(jì)算粒子之間的距離，涉及粒子之間每個(gè)維度，N 個(gè)粒子之間要相互計(jì)算，所以時(shí)間復(fù)雜度為O（D*N2）。對(duì)于算法Calc_Best，由于每次迭代調(diào)用算法Calc_VL，最后時(shí)間復(fù)雜度為O（tmax*D*N2）。算法Calc_Best 在更新粒子速度和位置時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O（tmax*D*N）。綜上所述，VLPSOID 算法的最終時(shí)間復(fù)雜度為O（tmax*D*N2），主要時(shí)間成本花費(fèi)在計(jì)算粒子之間的距離，原因是需要計(jì)算算法種群的狀態(tài)評(píng)估值（ESE）。

3 實(shí)驗(yàn)分析

本節(jié)實(shí)驗(yàn)分析方法用PSO 算法求解CEC2013中的28 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)[21]，測(cè)試對(duì)比VLPSOID 算法與其他相關(guān)PSO 算法的性能。28 個(gè)函數(shù)的信息如表1 所示，共分為3 類(lèi)：f1～f5為單峰函數(shù)；f6～f20為多峰函數(shù)；f21～f28為復(fù)合函數(shù)。與之對(duì)比算法有：基于種群狀態(tài)的自適應(yīng)速度約束粒子群算法（PSOSAVL），基于分層自主學(xué)習(xí)的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法（HCPSO）[22]，具有拓?fù)鋾r(shí)變和搜索擾動(dòng)的混合粒子群優(yōu)化算法（HPSO）[23]，以及標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法；各算法的實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置采用原始論文的數(shù)據(jù)，如表2所示。

表1 CEC 2013 測(cè)試函數(shù)Tab.1 CEC 2013 benchmark functions

表2 用于比較的算法以及參數(shù)Tab.2 Algorithms and parameters for comparison

3.1 影響系數(shù)η 的敏感性分析

VLPSOID 算法式（9）的影響系數(shù)η 控制迭代次數(shù)和問(wèn)題維度對(duì)原始ESE 值f 的影響強(qiáng)度，η∈（0，1）。但η 具體取值表現(xiàn)為影響敏感程度，本節(jié)采用實(shí)驗(yàn)方法分析，根據(jù)η 取不同值時(shí)，分析VLPSOID 算法優(yōu)化部分函數(shù)的實(shí)驗(yàn)性能，尋求一個(gè)最優(yōu)η 取值。

實(shí)驗(yàn)的種群粒子數(shù)為30 個(gè)，最大迭代次數(shù)為20 000 次，實(shí)驗(yàn)選擇的優(yōu)化函數(shù)是f3，f8，f13，f18，f23，f286 種函數(shù)，函數(shù)維度分別為20，40，60，80，100 維；η 取[0，1]之間均衡地取不同的10 個(gè)值，實(shí)驗(yàn)比較同一函數(shù)在同一個(gè)維度，其函數(shù)適應(yīng)度值的大小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3 所示，在η 取不同值時(shí)，算法計(jì)算函數(shù)在不同維度時(shí)的最優(yōu)值。

表3 不同維度的最優(yōu)值結(jié)果Tab.3 The best result with different η in different dimension

算法處于不同維度時(shí)，采用不同的η 值對(duì)結(jié)果的影響也是不同的。最終統(tǒng)計(jì)了所選6 個(gè)函數(shù)的結(jié)果，得到總結(jié)果表。由總結(jié)果表得到，當(dāng)η 值分別取0.6，0.7，0.8 時(shí)，取得較好解的次數(shù)分別為6 次，7次，10 次。相比較其他值，當(dāng)η 值為0.6，0.7，0.8 時(shí)，算法取得的結(jié)果更為突出。因此，為了能夠整體提升算法的性能，本文建議影響系數(shù)η 取值范圍在[0.6，0.8]。

3.2 對(duì)μmin 和μmax 的敏感性分析

算法的μmin和μmax是分別表示VL 與位置最大值μmax的最小比例和最大比例，決定式（12）計(jì)算超參數(shù)α 和β 值。本節(jié)針對(duì)部分測(cè)試函數(shù)，采用實(shí)驗(yàn)方法，分析其取值的敏感度。實(shí)驗(yàn)的測(cè)試函數(shù)為f12，f18，f23，f26；函數(shù)的維度為50 維，算法種群大小為30 個(gè)，最大迭代次數(shù)為50 000 次。實(shí)驗(yàn)方法是，先固定μmin為0.5，測(cè)試μmax取[0.4，1.0]范圍內(nèi)不同值時(shí)，算法求解函數(shù)最優(yōu)值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4 及圖3左側(cè)所示。然后，固定μmax為0.7，測(cè)試μmin取[0.1，0.7]范圍內(nèi)不同值時(shí)，算法求解函數(shù)最優(yōu)值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5 及圖3 右側(cè)所示。

表4 不同μmax 值求解函數(shù)的最優(yōu)值（μmin=0.5）Tab.4 The best value for different μmax（μmin=0.5）

表5 不同μmin 值求解函數(shù)的最優(yōu)值（μmax=0.7）Tab.5 The best value for different μmin（μmax=0.7）

圖3 函數(shù)適應(yīng)度隨μmax 和μmin 變化的曲線Fig.3 Curve of fitness as a function of μmax and μmin

觀察表4 數(shù)據(jù)，本文算法對(duì)μmax的取值不敏感并且不同的μmax取值都提供了較為滿(mǎn)意的結(jié)果，因此可以得出結(jié)論，本文算法對(duì)于變化的μmax具有健壯性。根據(jù)表4 以及圖3 左側(cè)的結(jié)果，建議μmax取值范圍[0.6，0.7]。觀察表5 數(shù)據(jù)，算法對(duì)μmin取值有一定的敏感性，當(dāng)μmin取過(guò)小時(shí)，算法的優(yōu)化效果變差，從圖3 各子圖的右側(cè)圖，也可得到驗(yàn)證。因此，應(yīng)避免μmin取0.1 和0.2 值。觀察表5 和圖3 左側(cè)，μmin取值范圍應(yīng)該在[0.5，0.6]之間最佳。綜上所述，VLPSOID 對(duì)于變化的μmax具有魯棒性，而對(duì)μmin值具有敏感性。本文建議在[0.6，0.7] 內(nèi)選擇μmax，在[0.5，0.6]內(nèi)選擇μmin。

3.3 迭代策略影響VLPSOID 算法的分析

本小節(jié)將式（6）的迭代策略s（t）式去除，稱(chēng)算法為VLPSOD，并與VLPSOID 的性能比較分析。實(shí)驗(yàn)對(duì)28 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)優(yōu)化計(jì)算，兩個(gè)算法分別獨(dú)立運(yùn)行10次，比較兩個(gè)算法求解函數(shù)的平均最優(yōu)適應(yīng)度。實(shí)驗(yàn)設(shè)置種群粒子數(shù)為30 個(gè)，函數(shù)維度為30 維，算法迭代次數(shù)為10 000 次。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表6 所示。

表6 VLPSOD 算法與VLPSOID 實(shí)驗(yàn)對(duì)比Tab.6 Comparison between VLPSOD and VLPSOID

根據(jù)表6，與VLPSOID 算法相比，去除迭代策略的VLPSOD 算法性能出現(xiàn)降低。28 個(gè)測(cè)試函數(shù),VLPSOD 在18 個(gè)函數(shù)中的表現(xiàn)要差于VLPSOID 算法（全部的5 個(gè)單峰函數(shù)，15 個(gè)多峰函數(shù)的9 個(gè)，8 個(gè)復(fù)合函數(shù)的4 個(gè)），表明VLPSOID 要優(yōu)于VLPSOD。這說(shuō)明迭代策略能使算法在前期增強(qiáng)全局搜索能力，后期增強(qiáng)局部搜索能力，促進(jìn)算法尋優(yōu)能力。因此，迭代策略能提高算法優(yōu)化效果和性能。

3.4 維度策略影響VLPSOID 算法的分析

針對(duì)維度策略影響VLPSOID 算法性能分析，本節(jié)將式（6）的維度策略h（D）去除，稱(chēng)算法為VLPSOI，并與VLPSOID 的性能比較分析。實(shí)驗(yàn)選擇的優(yōu)化函數(shù)是f3，f8，f13，f18，f23，f286 種函數(shù), 兩個(gè)算法分別獨(dú)立運(yùn)行10 次，比較兩個(gè)算法在求解不同維度的函數(shù)的平均最優(yōu)適應(yīng)度。實(shí)驗(yàn)設(shè)置種群粒子數(shù)30 個(gè)，函數(shù)維度分別設(shè)置為30，60，90 維，算法迭代次數(shù)為50 000 次。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表7 所示。

表7 VLPSOID 算法與VLPSOI 實(shí)驗(yàn)對(duì)比Tab.7 Comparison between VLPSOID and VLPSOI

觀察表7 可知，與完整VLPSOID 算法相比，去除維度策略的VLPSOI 性能出現(xiàn)下降的趨勢(shì)。能夠明顯地看出VLPSOI 在這6 個(gè)測(cè)試函數(shù)的表現(xiàn)中差于VLPSOID，這說(shuō)明，去除了維度策略，算法在高維空間尋優(yōu)能力變差，導(dǎo)致性能降低。維度策略能提高算法的優(yōu)化效果和性能。

3.5 VLPSOID 算法的性能分析

針對(duì)分析本文提出的VLPSOID 算法性能，將其與表2 列出的4 種算法在28 個(gè)測(cè)試函數(shù)上實(shí)驗(yàn)比較，每個(gè)測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行50 次，得到其平均最優(yōu)適應(yīng)度值（Mean）及其標(biāo)準(zhǔn)方差（standard deviation, Std.）。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置如表8 所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表9 所示。

表8 實(shí)驗(yàn)的參數(shù)設(shè)置Tab.8 Experimental parameters

表9 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.9 Experimental results of function tests

根據(jù)表9，相比其他算法，VLPSOID 在28 個(gè)函數(shù)中有14 個(gè)函數(shù)均值和方差表現(xiàn)為最好，其中5個(gè)單峰函數(shù)有4 個(gè)，15 個(gè)多峰函數(shù)中有6 個(gè)，8 個(gè)復(fù)合函數(shù)中有4 個(gè)；其他算法表現(xiàn)最好的HCPSO也只在28 個(gè)函數(shù)中有7 個(gè)；因此，在相比較的算法中，VLPSOID 的性能為最佳的算法。

雖然在28 個(gè)測(cè)試函數(shù)中，只有14 個(gè)函數(shù)效果優(yōu)于其他算法，采用弗里德曼檢測(cè)方法可知，VLPSOID 算法無(wú)論是在單峰函數(shù)、多峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的檢驗(yàn)值，還是在綜合的檢驗(yàn)值，在比較的算法中排名最好，說(shuō)明其綜合性能最佳。

為了更好地驗(yàn)證VLPSOID 算法性能有效性，針對(duì)表9 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，做t 檢驗(yàn)方法驗(yàn)證。t 檢驗(yàn)自由度和顯著性水平設(shè)置分別為49 和0.05，最終結(jié)果如表10 所示。其中，粗體表示本文算法好于對(duì)比算法，灰體表示本文算法表現(xiàn)較差。

從表中可以看出，與PSOSAVL 算法相比，算法性能只有在f14，f16，f21，f22，f25，f26這6 個(gè)函數(shù)上處于劣勢(shì)，其余函數(shù)則明顯處于優(yōu)勢(shì)；而對(duì)比HPSO算法，可以看出VLPSOID 算法效果顯著；與HCPSO 算法相比，本文算法在7 個(gè)函數(shù)上效果差于對(duì)比算法。最后，與PSO 算法對(duì)比可以看出，本文算法只有在f8，f15，f16函數(shù)上處于劣勢(shì)?？傮w結(jié)果是，在28 個(gè)函數(shù)的對(duì)比中，本文算法好于PSOSAVL、HPSO、HCPSO 和PSO 的函數(shù)個(gè)數(shù)分別為22、28、21、25。綜上所述，本文算法在對(duì)比算法中有一定的競(jìng)爭(zhēng)能力。

3.6 算法的收斂性分析

為分析算法的收斂狀態(tài)，采用VLPSOID 與其他幾個(gè)算法優(yōu)化6 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，演示了每個(gè)算法計(jì)算測(cè)試函數(shù)的適應(yīng)度隨迭代變化的曲線，結(jié)果如圖4。其中，6 個(gè)函數(shù)分別是，單峰函數(shù)選取一個(gè)函數(shù)，多峰函數(shù)選取3 個(gè)函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)選取兩個(gè)函數(shù)。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置種群維度為30 維，種群大小為30 個(gè)，迭代次數(shù)為150 000 次。

圖4 不同算法的函數(shù)適應(yīng)度隨迭代變化圖Fig.4 Convergence curves of six test functions

由圖4（a）可知，VLPSOID 在單峰函數(shù)中與其他算法中表現(xiàn)相當(dāng)。由圖4（b）、圖4（c）和圖4（d）中可知，VLPSOID 算法在多峰函數(shù)中表現(xiàn)良好，大約迭代到一萬(wàn)代時(shí)，就能找到較好的解，收斂速度快且精度較高。從圖4（e）和圖4（f）能明顯得出，對(duì)于復(fù)合函數(shù)，VLPSOID 算法在前期下降速度相對(duì)于其他算法快，且在后期其精度也能得到保證。綜上所述，VLPSOID 不管在單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，其收斂速度較快且精度較高。

3.7 算法的運(yùn)算時(shí)間評(píng)估

為了進(jìn)一步驗(yàn)證VLPSOID 在尋優(yōu)速度上的優(yōu)勢(shì)，在相同環(huán)境下，將各算法在CEC2013 測(cè)試集28個(gè)函數(shù)中分別獨(dú)立運(yùn)行10 次，記錄達(dá)到指定精度時(shí)算法的平均運(yùn)行時(shí)間，并規(guī)定，如果迭代次數(shù)超過(guò)200 000 次后仍未達(dá)到指定精度，則用空白表示。最終結(jié)果如表11 所示。

表11 算法達(dá)到指定精度的運(yùn)算時(shí)間Tab.11 Running time of algorithm to achieve specified accuracys

由表11 看出，相較于對(duì)比算法，VLPSOID 的在5 個(gè)單峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)中表現(xiàn)稍差，而在多峰函數(shù)中，VLPSOID 的總體排名較為靠前。在本文中，由于VLPSOID 在每一代都需要對(duì)粒子的距離進(jìn)行計(jì)算，從而計(jì)算算法種群的狀態(tài)評(píng)估值,因此在此階段需要額外的計(jì)算時(shí)間，會(huì)導(dǎo)致算法在部分測(cè)試函數(shù)中沒(méi)有表現(xiàn)出其尋優(yōu)速度的優(yōu)勢(shì)。但從表10 結(jié)果中可以看出，VLPSOID 在收斂精度有著出色的表現(xiàn)，因此一些時(shí)間上的損耗是可以接受的。

4 結(jié)論

1）VLPSOID 算法在前期具有較好的全局搜索能力，在后期具有較強(qiáng)的局部搜索能力，算法對(duì)問(wèn)題維度具有擴(kuò)展性。

2）在CEC2013 測(cè)試函數(shù)上，算法無(wú)論在單峰函數(shù)、多峰函數(shù)，還是復(fù)雜函數(shù)上，具有更好性能，更具有適用性，并具有解決不同維度問(wèn)題的能力。