楊 燁，袁宏俊*，陳倩如

（1.安徽財經(jīng)大學統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽蚌埠 233030；2.合肥工業(yè)大學管理學院，安徽合肥 230009）

極端氣候會對社會發(fā)展、農(nóng)業(yè)種植等多方面產(chǎn)生負面影響，對經(jīng)濟造成巨大損失，精確預測氣溫能夠對極端氣候的防范起到指導作用，有效降低異常天氣帶來的損害?，F(xiàn)階段對氣溫數(shù)值預測所用預報產(chǎn)品大多是尋求氣象要素間的非線性關系，以此來改善預報效果，另外，人工神經(jīng)網(wǎng)絡等方法的加入進一步提高了預測精度[1-3]。

在對許多現(xiàn)實問題的數(shù)據(jù)進行預測的過程中人們發(fā)現(xiàn)，各類單項預測方法適用情況不同，且預測方法之間并非沒有關聯(lián)。為充分利用數(shù)據(jù)信息做出精準預測，Bates 和Granger 兩位學者于1969 年提出將各單項預測方法進行加權組合，構建組合預測模型提高預測精度[4]。實踐證明，該方法可以有效利用各單項預測結果的信息，提升預測準確度，為決策者提供參考。經(jīng)過多年的發(fā)展，組合預測方法已應用于越來越多的學科領域當中。

國內(nèi)外眾多學者為組合預測的發(fā)展做了很多理論基礎的研究工作，研究對象也由實數(shù)型組合預測[5-7]拓展到區(qū)間數(shù)型組合預測[8-10]。張娜利用光伏出力相似日樣本中區(qū)間中點和區(qū)間半徑進行預測，并利用人群搜索算法對組合預測模型的權值進一步優(yōu)化[11]。袁宏俊等把區(qū)間數(shù)和二元聯(lián)系數(shù)相結合，將聯(lián)系數(shù)貼近度作為最優(yōu)準則，建立基于聯(lián)系數(shù)貼近度的區(qū)間型組合預測模型[12]。江立輝等將IOWA 算子與C-GOWA 算子相結合，構造誘導有序加權連續(xù)區(qū)間廣義有序加權平均（IOWC-GOWA）算子，并以指數(shù)支撐度作為相關性指標，構建新的組合預測模型并驗證了模型的有效性[13]。胡凌云等引入廣義誘導有序加權比例平均（GIOWPA）算子，建立了基于GIOWPA 算子及誤差絕對值之和的區(qū)間數(shù)組合預測模型，通過實例分析證明了該模型具有較高的預測精度[14]。

現(xiàn)有研究有效證明了組合預測方法能顯著提升區(qū)間型數(shù)據(jù)預測的準確度，因此將相關度與廣義誘導有序加權調(diào)和平均（GIOWHA）算子相結合，構建出一類新型區(qū)間數(shù)組合預測模型，并應用到我國日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預測。考慮到區(qū)間數(shù)左右端點的聯(lián)系，將區(qū)間數(shù)序列用具有等價信息的中心和半徑來表示。將區(qū)間數(shù)之間的相關度作為最優(yōu)準則，構建基于區(qū)間數(shù)相關度的定權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型。并進一步引入GIOWHA 算子，用區(qū)間數(shù)預測精度作為誘導因子，構建基于區(qū)間數(shù)相關度的GIOWHA 算子的變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型。并將該模型應用于日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預測當中，實例證明，所提出模型的預測精度優(yōu)于用指數(shù)平滑、SVR、LSTM 三類單項預測方法的預測結果，在對日極端溫度的預測中表現(xiàn)出有效性及優(yōu)越性，為日極端溫度的預測提供了一種新的方法。最后對該組合預測模型的參數(shù)進行了靈敏度分析。

1 基本概念

定義1[12]：若兩實數(shù)滿足0

能夠看出，區(qū)間數(shù)X的兩種表示具有等量信息。若有兩區(qū)間數(shù)分別為X1=[a1,b1]=(c1,r1) 和X2=[a2,b2]=(c2,r2)，存在以下運算規(guī)律：

稱GIOWHAW為由δ1,δ2,…,δn引導a1,a2,…,an而得到的n維廣義誘導有序加權調(diào)和平均算子，簡稱GIOWHA算子。

對GIOWHA 算子進一步分析發(fā)現(xiàn)，當λ=1 時，GIOWHA 算子退化為誘導有序加權調(diào)和平均算子IOWHA；當λ=-1時，則該算子變?yōu)檎T導有序加權算術平均算子IOWA；當λ→0 時，則該算子變?yōu)檎T導有序加權幾何平均算子IOWGA。由此可見，廣義誘導有序加權調(diào)和平均算子具有較好的廣泛性。

定義3：對兩區(qū)間數(shù)X1=(a1,b1)和X2=(a2,b2)，稱

為區(qū)間數(shù)X1和X2的相關度。相關度S(X1,X2)存在以下性質：

（1）有界性：0

（2）對稱性：S(X1,X2)=S(X2,X1)；

（3）自反性：S(X1,X2)=1當且僅當X1=X2。

2 基于相關度的定權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型

定義4：設實際區(qū)間數(shù)序列為{Xt|Xt=[at,bt]=(ct,rt),t=1,2,…,N}，有m種單項預測方法對實際區(qū)間數(shù)序列進行預測，將第i 種單項預測方法t時刻的序列預測結果表示為{Xit=[ait,bit]=(cit,rit),i=1,2,…,m;t=1,2,…,N} 。

對模型進一步分析發(fā)現(xiàn)，該組合預測模型中所選取的各單項預測方法，無論是否能夠在某時點取得較優(yōu)結果，所被賦予的權系數(shù)均保持不變，這也造成了在對單項預測方法進行組合時，未能更好地利用各時點處每項單項預測值提供的信息。為改善這一情況，可在各時點處以單項預測方法的預測精度作為指標，賦予的權系數(shù)大小根據(jù)預測精度優(yōu)劣進行調(diào)整，使得各單項預測方法在不同時點能被賦予合適的權系數(shù)，讓預測精度越高的單項預測方法提供的信息越多。因此，對模型（1）進一步改進。

3 基于相關度的變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型

定義6[13]：設ηit是第i種單項預測方法在t時刻的預測精度，則：

顯然0 ≤ηit≤1，i=1,2,…,m,t=1,2,…,N。

根據(jù)定義2 中GIOWHA 算子定義，將第i種單項預測方法在t時刻的預測精度作為誘導值，分別構造出t時刻基于預測精度的m個中心二維數(shù)組和半徑二維數(shù)組

其中，git是c1t,c2t,…,cmt根據(jù)誘導值η1t,η2t,…,ηmt從大到小排序后的第i個數(shù)，同理，hit是r1t,r2t,…,rmt根據(jù)誘導值η1t,η2t,…,ηmt從大到小排序后的第i個數(shù)。W=(w1,w2,…,wm)T為GIOWHA算子的加權向量，且

結合定義5，可求得實際區(qū)間數(shù)與基于GIOWHA算子的組合預測結果的相關度

定義8：將各單項預測結果序列與實際值序列的相關度記為P(W)i，其中，最大值記為P(W)max=最小值記為P(W)min=當P(W) >P(W)max時，模型(2)是優(yōu)性區(qū)間數(shù)組合預測；當P(W)min≤P(W) ≤P(W)max時，模型(2)是非劣性區(qū)間數(shù)組合預測；當P(W)

4 實例分析

為驗證基于GIOWHA算子和相關度的區(qū)間型組合預測模型應用于日極端溫度區(qū)間數(shù)序列預測的可行性，選取基于區(qū)間數(shù)中心及半徑的平均區(qū)間中心誤差平方和（MSEP）、平均區(qū)間半徑誤差平方和（MSEL）、平均區(qū)間誤差平方和（MSEI）、平均區(qū)間相對誤差和（MRIE）作為評價預測結果的指標，具體計算公式如下：

引用文獻[16]中日極端溫度區(qū)間數(shù)序列數(shù)據(jù)為基礎，分別采用指數(shù)平滑法、支持向量回歸（SVR）、長短期記憶網(wǎng)絡（LSTM）三種單項預測方法對日極端溫度區(qū)間數(shù)序列進行預測，表1給出了實際日極端溫度區(qū)間數(shù)序列和三種單項預測方法預測結果的信息。

表1 實際區(qū)間數(shù)序列和各單項預測方法預測序列

由定義1 將表1 中實際日極端溫度區(qū)間數(shù)序列和各單項預測方法預測結果轉化為中心和半徑序列，結果如表2。

表2 實際區(qū)間數(shù)和各單項預測方法的中心及半徑序列

根據(jù)定義6 計算得到各單項預測方法的誘導因子序列，如表3：

表3 三種單項預測方法中心和半徑的誘導因子序列

構建了基于相關度和GIOWHA算子相結合的區(qū)間數(shù)組合預測模型，由模型(2)能夠看出，隨著參數(shù)λ的取值大小發(fā)生變化，會對誘導有序加權算子產(chǎn)生影響，進而使各單項預測方法所賦予的權重大小發(fā)生改變，出現(xiàn)不同的組合方式，同時目標最優(yōu)值大小也發(fā)生變化。

在組合預測模型(2)中，參數(shù)λ≠0，此處對其分別取五個特殊值對模型進行分析，取λ=-5、-3、0.1、2、4，建立不同的組合預測模型，并利用Lingo 軟件求解出在不同參數(shù)取值時的組合預測模型中各單項預測方法的權重系數(shù)。具體結果如表4：

表4 各參數(shù)取值及其對應的權系數(shù)值

通過計算權系數(shù)結果，結合定義4求得組合預測結果，結果如表5：

表5 λ 不同取值下的等價區(qū)間數(shù)組合預測值

表5 給出不同參數(shù)下用組合預測方法對日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預測結果，根據(jù)提出的各類誤差計算公式，可計算得各單項預測方法及組合預測方法預測結果的MSEP、MSEL、MSEI、MRIE，具體結果如表6。

從表6中數(shù)據(jù)能夠看出，在所列舉的幾種不同參數(shù)下，所提出的組合預測模型預測誤差指標除LSTM方法中的MSEL之外，MSEP、MSEL、MSEI、MRIE均明顯小于指數(shù)平滑法、SVR、LSTM 三種單項預測方法對日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預測結果。對LSTM方法和汪佳增提出的組合預測模型預測結果進一步分析能夠發(fā)現(xiàn)，雖然這兩種方法在對半徑值的預測中表現(xiàn)較好，但中心誤差較大，因為區(qū)間數(shù)是由中心和半徑共同構成，說明LSTM預測方法和汪佳增提出的組合預測模型（Ⅱ）未能綜合考慮區(qū)間數(shù)的內(nèi)部聯(lián)系及整體性。而所提出組合預測方法在綜合了中心及半徑信息的MSEI和MRIE上均表現(xiàn)很好，因此，進一步說明提出的組合預測模型能夠顯著提高預測精確度，且該模型適用于對日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預測。

由定義5 可求得實際區(qū)間數(shù)與各預測方法的中心及半徑的區(qū)間數(shù)相關度，具體計算結果如表7。

表7 實際區(qū)間數(shù)與各種預測結果的中心及半徑的相關度

從表8 能夠看出，在不同參數(shù)取值下，組合預測模型對日極端溫度區(qū)間數(shù)序列預測的結果與實際區(qū)間數(shù)的相關度P'均優(yōu)于各單項預測結果，說明提出的組合預測模型（2）是優(yōu)性區(qū)間數(shù)組合預測。

5 靈敏度分析

在變權組合預測模型（2）中，隨著參數(shù)λ 的取值發(fā)生變化，會對各單項預測的權系數(shù)及最優(yōu)目標函數(shù)數(shù)值產(chǎn)生影響，為進一步探究參數(shù)λ數(shù)值變化帶來的影響，對組合預測模型進行靈敏度分析，探究λ 在[-5,0)∪(0,5]的范圍內(nèi)變動時對權系數(shù)、最優(yōu)目標函數(shù)值以及誤差指標的影響。

從圖1 中能夠看到，參數(shù)λ在[-5,0)∪(0,5]的范圍變動過程中，隨著參數(shù)λ的增大，對權系數(shù)w1和w2的有較大影響，w3幾乎不受參數(shù)λ的變動影響。進一步分析能夠發(fā)現(xiàn)，隨著λ在[-5,0)增大，w1取值呈現(xiàn)逐漸下降趨勢，而w2則呈現(xiàn)緩慢上升。而λ在[-5,0)增大的過程中，w2出現(xiàn)逐漸下降趨勢，w1取值呈現(xiàn)上升趨勢。在變化的過程中能夠發(fā)現(xiàn)w1與w2的變化趨勢互補。隨著λ的變化，在對相關度P'的變化過程中，其取值始終保持平穩(wěn)狀態(tài)，說明基于相關度和GIOWHA 算子相結合的區(qū)間數(shù)組合預測模型在對日極端溫度區(qū)間數(shù)序列預測具有很好的適用性。

圖1 λ的變動對wi和P'的影響

圖2 是探究參數(shù)λ的變動對各預測誤差的影響，能夠看出，隨著λ在[-5,0)∪(0,5]的范圍內(nèi)逐漸增大，MSEI有較明顯地波動，MSEP和MSEL這兩項誤差指標數(shù)值則在零點處出現(xiàn)明顯上浮，而MRIE數(shù)值很小且?guī)缀醪皇堞说淖兓绊懀@也進一步說明了提出的組合預測模型在對日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預測具有優(yōu)越性。

圖2 λ的變動對各誤差指標的影響

6 結語

將相關度與GIOWHA 算子相結合，構建出一類新型區(qū)間數(shù)組合預測模型，并應用于對日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預測。為保證區(qū)間數(shù)序列的整體性，將區(qū)間數(shù)序列用中心及半徑來表示，用區(qū)間數(shù)預測精度作為誘導因子，并將相關度作為準則，構建基于相關度和廣義誘導有序加權調(diào)和平均（GIOWHA）算子的組合預測模型。并應用于日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預測當中，經(jīng)實例檢驗，發(fā)現(xiàn)該模型的預測精度優(yōu)于用指數(shù)平滑、SVR、LSTM 三類單項預測方法的預測結果，證明了該組合預測模型在日極端溫度區(qū)間數(shù)序列預測的有效性及優(yōu)越性。最后組合預測模型的參數(shù)進行靈敏度分析，分析發(fā)現(xiàn)參數(shù)λ的取值變化對權系數(shù)w1和w2，以及誤差指標MSEI 的大小有明顯影響。