孫明燦，師 晶

（閩南理工學(xué)院信息管理學(xué)院，福建石獅 362700）

曲線光滑拼接是計算機輔助幾何設(shè)計中的重要研究內(nèi)容[1]，它不僅能滿足工業(yè)曲線復(fù)雜化、多樣化的需求，而且廣泛應(yīng)用于電子信息、工業(yè)制造及流體力學(xué)等領(lǐng)域。

Bezier曲線是曲線造型的常用方法，它具有圖形直觀、方便調(diào)控等優(yōu)點[2-3]。由于改變Bezier曲線的控制頂點，會影響曲線的形狀，所以其不能構(gòu)造較復(fù)雜的工程曲線和曲面[4-5]。另外，隨著曲線求導(dǎo)次數(shù)的增加，計算量逐步增大，并且容易出現(xiàn)一些難以察覺的不可導(dǎo)的點，這些缺點限制了Bezier曲線在曲線造型中的應(yīng)用[6-8]。

研究了帶形狀參數(shù)的五次Bezier曲線的光滑拼接問題，并給出曲線基函數(shù)和曲線的性質(zhì)，得到了曲線間不同條件下的光滑拼接定理。通過計算實例說明曲線的光滑拼接定理不但能構(gòu)造較復(fù)雜的工程曲線，而且還可為高次曲線的拼接提供參考。

1 曲線定義及性質(zhì)

定義1設(shè)λ∈[-2,1],t∈[0,1]，稱關(guān)于t的多項式為帶形狀參數(shù)λ的五次Bezier 曲線基函數(shù)。式（1）中的基函數(shù)滿足以下性質(zhì)：

（1）非負性：

bi,5(t) ≥0,t∈[0,1],(i=0,1,2,3,4)。

（3）對稱性：

bi,5(t;λ)=b4-i,5(1-t;λ)(i=0,1,2,3,4)。

（4）端點性質(zhì)：

b0,5(0)=b4,5(1)=1,bi,5(0)=0,(i=1,2,3,4),

bi,5(0)=0,(i=1,2,3,4)(0)=0,(i=2,3,4),

bi,5(1)=0,(i=0,1,2,3)(1)=0,(i=0,1,2)。

（5）退化性：當(dāng)形狀參數(shù)λ=0 時，五次Bezier 曲線基函數(shù)退化為傳統(tǒng)的五次Bernstein基函數(shù)。

（6）線性無關(guān)性：基函數(shù){bi,5(t) }(i=0,1,2,3,4)是線性無關(guān)的。

（7）最大值：基函數(shù)bi,5(t)(i=0,1,2,3,4)在區(qū)間[0,1]上有一個最大值。

當(dāng)λ=1時，式（1）中的基函數(shù)的圖形如圖1。

圖1 基函數(shù)圖形

定義2 給定R3空間中5 個控制頂點Pi(i=0,1,2,3,4)，定義帶形狀參數(shù)的五次Bezier 曲線為Pi，其中，t∈[0,1]。

帶形狀參數(shù)的五次Bezier 曲線p(t)具有如下性質(zhì)：

（1）端點性質(zhì)：曲線p(t)自首端點P0開始，至末端點P4結(jié)束，并且在首末端點的切矢模長分別等于控制多邊形首末邊邊長的（λ+4）倍，即

p(0)=P0,p(1)=P4,p'(0)=(λ+4)(P1-P0)，

p'(1)=(λ+4)(P4-P3)。

證明由式(1)及定義2可得：

將t=0,t=1 分別代入上式可得p(0)=P0,p(1)=P4，故曲線p(t)分別插值于首末兩端點P0,P4。又因為

將t=0,t=1 分別代入上式后整理可得故曲線p(t)分別與直線P0P1,P3P4相切，且在首末端點的切矢模長分別等于控制多邊形首末邊邊長的（λ+4）倍。

（2）幾何不變性：曲線p(t)的形狀僅與控制頂點Pi(i=0,1,2,3,4)有關(guān)，而與坐標(biāo)系的方向和位置無關(guān)。

證明對控制頂點為Pi(i=0,1,2,3,4) 的曲線p1(t)進行線性變換M和平移變換N后，得到控制頂點為Qi(i=0,1,2,3,4)的曲線p2(t)，即：

故曲線具有幾何不變性。

（3）凸包性：曲線p(t) 在其控制頂點Pi(i=0,1,2,3,4)構(gòu)成的凸包內(nèi)。

證明 因為基函數(shù)bi,5(t) ≥0，且(0 ≤t≤1;i=0,1,2,3,4)，所以當(dāng)t∈[0,1]時，p(t)是特征多邊形各頂點的加權(quán)平均，且權(quán)因子為基函數(shù)，即曲線p(t)是控制頂點Pi(i=0,1,2,3,4)的凸線性組合，故曲線p(t)落在控制頂點Pi(i=0,1,2,3,4)構(gòu)成的凸包內(nèi)。

（4）對稱性：將曲線p(t)的控制多邊形的次序取反后，控制頂點Pi(i=0,1,2,3,4)定義的曲線與控制頂點P4-j(j=0,1,2,3,4)定義的曲線相同，僅方向相反，即

p(t;λ;P0,P1,P2,P3,P4)=

p(1-t;λ;P4,P3,P2,P1,P0)

λ∈[-2,1],t∈[0,1]。

證明由定義2得

故曲線滿足對稱性。

（5）變差縮減性：曲線p(t)比其控制多邊形的波動小，即曲線p(t)的光滑性不低于其控制多邊形的光滑性。

（6）保凸性：當(dāng)曲線p(t)的控制多邊形是凸多邊形時，曲線p(t)是凸曲線。

2 曲線拼接

分別為控制頂點Pi,Qi(i=0,1,2,3,4)定義的帶形狀參數(shù)的五次Bezier曲線。

定理1兩條帶形狀參數(shù)的五次Bezier 曲線p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在連接點P4=Q0處G1光滑拼接的充要條件是：

其中：δ>0。特別地，當(dāng)δ=1 時，兩曲線在連接點P4=Q0處達到C1光滑拼接。

證明若兩曲線p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在連接點P4=Q0處G1光滑拼接，則它們在連接點處具有相同的一階切矢方向，即

由曲線的端點性質(zhì)得

將上式代入式（4）化簡得

(λ1+4)(P4-P3)=δ(λ2+4)(Q1-Q0)。

又因為P4=Q0，整理后可得式(3)是兩曲線p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在連接點P4=Q0處G1光滑拼接的充要條件。

當(dāng)δ=1 時，即成立時，兩曲線在連接點P4=Q0處具有相同的一階切矢，此時這兩條曲線達到C1光滑拼接。

為方便討論兩條曲線在連接點P4=Q0處G2和C2光滑拼接的情況，設(shè)P3P4與-2(12+5λ1)P3+4(2λ1+3)P4組成的平行四邊形的面積為S1，且P3P4與 4(2λ2+3)Q0-2(12+5λ2)Q1+2(6 +λ2)Q2組成的平行四邊形的面積為S2。

定理2兩條帶形狀參數(shù)的五次Bezier 曲線p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在連接點P4=Q0處G2光滑拼接的充要條件是：兩曲線滿足G1光滑拼接，并且有

證明兩曲線p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在連接點P4=Q0處G2光滑拼接的充要條件是：兩曲線除滿足G1光滑拼接外，還需在連接點處具有相同的曲率矢:

由曲線的端點性質(zhì)及式（2）得

將式（7）和式（8）代入式（6）整理后即可得出式（5），得證。

定理3當(dāng)形狀參數(shù)λ1=λ2=1時，兩條帶形狀參數(shù)的五次Bezier 曲線p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在連接點P4=Q0處C2光滑拼接的充要條件是：兩曲線滿足C1光滑拼接及

證明兩曲線p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在連接點P4=Q0處C2光滑拼接的充要條件是：兩曲線除滿足C1光滑拼接外，還需在連接點處具有相同的二階導(dǎo)數(shù)，即

將C1光滑拼接及式（8）代入式（9）整理后即可得出結(jié)論，得證。

3 計算實例

在曲線造型中，適當(dāng)選取控制頂點，構(gòu)造帶形狀參數(shù)的五次Bezier 曲線。通過調(diào)整參數(shù)取值可以靈活改變Bezier 曲線的形狀。根據(jù)曲線間的光滑拼接定理，可設(shè)計較復(fù)雜的工程曲線和曲面。

3.1 實例一

在構(gòu)造高腳酒杯曲面時，母線需要兩條五次Bezier曲線拼接而成。

首先，根據(jù)控制頂Pi,Qi(i=0,1,2,3,4)分別計算出兩條五次Bezier 曲線p1(t;λ1)和p2(t;λ2)。然后，在控制多邊形P0P1P2P3P4和Q0Q1Q2Q3Q4中，分別調(diào)整兩個形狀參數(shù)λ1,λ2以獲得較滿意的曲線。當(dāng)λ1=0.6，λ2=0.2 時，根據(jù)定理2 將兩條曲線在連接點P4(Q0)處進行光滑拼接，拼接后生成的高腳酒杯曲面的母線，如圖2。最后，將母線旋轉(zhuǎn)即可得到高腳酒杯曲面，如圖3。

圖2 高腳酒杯曲面的母線

圖3 高腳酒杯曲面

3.2 實例二

在構(gòu)造燭臺曲面時，母線需要4 條五次Bezier 曲線拼接而成。

首先，根據(jù)控制頂點分別計算出4 條五次Bezier曲線p1(t;λ1)，p2(t;λ2)，p3(t;λ3)和p4(t;λ4)。然后，在4 個控制多邊形中，分別調(diào)整4 個形狀參數(shù)λ1,λ2,λ3,λ4以獲得較滿意的曲線。當(dāng)λ1=0.89,λ2=0.05,λ3=0.13,λ4=0.51時，根據(jù)定理1和定理3將四條曲線分別在連接點處進行光滑拼接，拼接后生成的燭臺曲面的母線如圖4。最后，將母線旋轉(zhuǎn)可得到燭臺曲面，如圖5。

圖4 燭臺曲面的母線

圖5 燭臺曲面

4 結(jié)語

研究帶形狀參數(shù)的五次Bezier 曲線的光滑拼接問題，得到了曲線基函數(shù)性質(zhì)、曲線性質(zhì)及曲線間的G1、G2、C1、C2連續(xù)性條件。通過計算實例驗證了曲線間光滑拼接的有效性。在今后的工作中將對高次Bezier 曲面的光滑拼接進行探索。