郭雄英，杜云芝，李懷繁

（山西大同大學物理與電子科學學院，山西大同 037009）

1983 年，Hawking 和Page 提出AdS 時空的Hawking-Page(HP)相變可以給出不同階段的時空演化[1]。也就是說，隨著溫度的升高，處于支配地位的位形從純熱輻射相，變到AdS 黑洞和熱輻射的共存相，最后到穩(wěn)定黑洞。在文獻[2]中，Witten 將其解釋為限制/解除限制階段中規(guī)范理論的轉變。也可以將宇宙學常數(shù)視為壓強，共軛變量視為熱力學體積，把該相變理解為固/液相變[3]。隨后，擴展的AdS/dS 相空間中的相變被廣泛研究[4-20]。

眾所周知，普通熱力學系統(tǒng)的相變是物質微觀組分之間競爭的結果。由于黑洞具有與普通熱力學系統(tǒng)相似的熱行為，黑洞的微觀結構成為熱門話題。文獻[21]利用Ruppeiner 幾何的Ruppeiner 標量曲率研究了AdS 黑洞微觀結構[22]。引入推測黑洞分子數(shù)密度來檢查其相變和微觀結構。通過不同的Ruppeiner 標量曲率值來表示黑洞分子間不同類型的相互作用，這種方法很快被推廣到對其他黑洞的研究中[23-28]。

與平衡熱力學相比，研究相變的動力學過程是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。受吉布斯自由能研究蛋白質折疊的啟發(fā)[29-30]，蛋白質折疊過程可看作是隨機Fokker-Planck 方程描述的狀態(tài)的相變[31]。最近，Li 和Wang 提出了一種基于吉布斯自由能圖譜的黑洞相變動力學過程的啟發(fā)式處理方法[32-33]。描述隨機物理變量分布的Fokker-Planck 方程的隨機處理已廣泛應用于化學、生物學、物理學和天體物理學[34-38]。從自由能景觀的角度來看，黑洞事件視界是序參數(shù)，黑洞相變被視為序參數(shù)的隨機熱波動[39]。序參數(shù)概率分布的演化由Fokker-Planck 方程控制。

Hawking-Page 相變的運動學過程在廣義相對論和有質量引力理論中進行了研究。發(fā)現(xiàn)黑洞有一定的概率從黑洞變到熱AdS 空間，反之亦然[32,40]。這種方法被推廣到帶電AdS 黑洞相變動力學過程的研究，其中考慮了亞穩(wěn)態(tài)黑洞和穩(wěn)態(tài)黑洞之間的轉換過程[33]。通過對Fokker-Planck 方程進行數(shù)值計算，結果表明初始的小黑洞傾向于變換到大黑洞，并且也可以發(fā)生相反的過程。對五維中性Gauss-Bonnet AdS 黑洞的自由能景觀相變動力學過程的研究表明，物理黑洞對應于離殼吉布斯自由能的極值點，穩(wěn)定的小/大黑洞相變的勢壘高度隨溫度的升高而降低[41]。此外，對六維帶電Gauss-Bonnet AdS 黑洞自由能景觀相變動力學特性的研究表明，三相點表現(xiàn)出有趣的振蕩行為[42-43]，以及精暗能量對黑洞相變動力學影響的研究表明，精暗能量的狀態(tài)參數(shù)越大，黑洞系統(tǒng)演化得越快[44]。對吉布斯自由能的研究表明它可能揭示黑洞潛在的微觀相互作用[39,45]。

另一方面，德西特空間中的強引力理論與共形場論之間存在對應關系[46]。具有黑洞的dS 時空的熱力學研究很有趣，也很重要[47]。這是因為早期暴脹階段的宇宙是一個dS 時空，在遙遠的未來它將再次變成dS 時空[48-49]。此外，類似AdS 時空中存在AdS/CFT 對應，dS/CFT 對應可用于dS 時空[50]，其中探討了有關各個維度可能相變的更多信息。在上述工作的努力下，dS/AdS 時空中黑洞已被廣泛認為是熱力學系統(tǒng)。更重要的是，黑洞的觀測為其熱力學研究打開了新的窗口。

dS時空中的黑洞，由于存在具有不同溫度的多個視界，一般不能處于熱力學平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)存在引力，需要考慮黑洞視界與宇宙視界的相互作用，即對于黑洞外部視界（一般稱為黑洞視界）與宇宙視界之間的空間，兩個視界上不同的霍金輻射溫度使得dS黑洞不能像普通的熱力學系統(tǒng)一樣處于平衡狀態(tài)。由于黑洞視界和宇宙視界具有共同的參數(shù)M、Q，因此，兩個視界上的熱力學量不是獨立的。在構造處于熱力學平衡狀態(tài)的dS黑洞的等效熱力學量時，必須考慮兩個視界之間的相互作用?；诖耍芯苛怂木SRN-dS時空中相變的動力學特性，分析了四維RN-dS黑洞的吉布斯自由能景觀行為，并探討大體積/小體積相變的動力學過程，采用自然單位制G=c=k=?=1。

1 四維RN-dS黑洞的相變

四維時空中的RN黑洞解為

式中：M和q是黑洞的質量和電荷。

下面主要討論Λ >0，k=1 的解，即RN-dS 黑洞解。該系統(tǒng)具有兩個視界，一個是黑洞視界r+，另一個是宇宙視界rc。這兩個視界均滿足方程f(r+,c)=0。兩視界的霍金輻射溫度由文獻[51]給出。將四維RN-dS 時空看成一個處于熱力學平衡的普通熱力學系統(tǒng)，考慮兩個視界的相關性，可計算出有效熱力學量(Teff,Peff,V,S,Φeff)。在此需要指出熵不僅是兩個視界熵的總和，還包含兩個視界之間的相關聯(lián)項?？紤]到黑洞視界與宇宙視界的聯(lián)系，相應的黑洞熱力學第一定律為

兩視界之間的熱力學體積和熵分別為

注意總熵不僅是黑洞視界熵和宇宙視界熵之和，F(xiàn)(x)中的(x)表示來自兩視界關聯(lián)的額外貢獻。

等效溫度、等效壓強和質量如下：

對于等溫、等壓過程，黑洞視界半徑滿足以下關系

一階相變點可通過麥克斯韋等面積定律得到。圖1 中給出Peff-V和Teff-S一階相變的相圖。實際上一階相變點是RN-dS 黑洞兩個不同體積相的共存態(tài)。所有這些點構成一條共存曲線。表1 中給出不同條件下兩相的熱力學量數(shù)值。

表1 Teff ≤時兩共存相的熱力學量

表1 Teff ≤時兩共存相的熱力學量

圖1 Teff -S和Peff -V相圖中的等面積定律

2 熱力學相變的動力學性質

與等面積定律一樣，吉布斯自由能可看作黑洞視界（或宇宙學視界）的函數(shù)，是研究相變的重要熱力學量，它在一級相變點表現(xiàn)出燕尾行為。雖然它是連續(xù)的但在二階相變時并不平滑。這兩種方法在熱力學上是等效的。最近，文獻[32]中提出吉布斯自由能也應該對應于黑洞相變的動力學過程。下面從吉布斯自由能的角度研究四維RN-dS 時空的相變動力學。

2.1 吉布斯自由能

對于四維RN-dS 時空，文獻[51]中提出存在大/小體積相變。下面將介紹參數(shù)q=1 時在相變點處發(fā)生的熱動力學相變。

系統(tǒng)的吉布斯自由能景觀定義為

其中T是相變溫度，等于T0。在相變點處吉布斯自由能的行為如圖2。從圖中可見在相變點處，吉布斯自由能景觀呈現(xiàn)出雙阱行為，即存在兩個局域極小值(圖（a）位于rs=2.419 6，rl=2.905 3，圖（b）位于rs=2.437 8，rl=2.885 2)，它們具有正熱容量，相應于穩(wěn)定的小/大體積態(tài)。位于rm處的局部極大值代表具有負熱容的不穩(wěn)定中間體積狀態(tài)，并且充當穩(wěn)定的小體積和大體積狀態(tài)之間的屏障。在同一溫度下，兩個局部極小值的深度相同。此外，溫度越高阱深越小。從吉布斯自由能的角度表明，在兩個阱深度相同的情況下，會發(fā)生小體積/大體積相變。在這個問題上，預計重入相變或三相點可能對應于更多的吉布斯自由能阱。

圖2 相變點處G - r+圖

2.2 Fokker-Planck方程和幾率演化

當吉布斯自由能G的雙阱具有相同深度時，會出現(xiàn)RN-dS時空的大體積/小體積相變。接下來將研究這個系統(tǒng)的動力學過程。

文獻[32]提出黑洞相變的隨機動力學過程可以通過吉布斯自由能的相關概率Fokker-Planch 方程來研究，這是一個控制宏觀變量漲落分布函數(shù)的運動方程。對于黑洞熱力學系統(tǒng)，視界r+是序參數(shù)，可以看作是相變過程中的隨機漲落變量?；诖?，將展示該系統(tǒng)在熱漲落下的正則系綜中的相變動力學過程。需注意正則系綜由一系列具有任意視界的黑洞組成。這些黑洞狀態(tài)的概率分布ρ(t,r+)滿足關于吉布斯自由能的Fokker-Planck方程

其中：β=1/kT,D=kT/ξ是擴散系數(shù)，k是玻爾茲曼常數(shù)，ξ是耗散系數(shù)。為了不失一般性，令k=ξ=1。為了求解上述方程，應施加兩種類型的邊界(r+=r0)條件：一個是反射邊界條件，它保持概率分布的歸一化；另一個是吸收邊界條件。

在這個系統(tǒng)中，左邊界的位置應該小于rs，右邊界的位置應該大于rl。這里可以將rmin=1 作為左邊界rlb，將右邊界rrb設為4.5。反射邊界條件意味著概率流在左右邊界處消失

吸收意味著幾率分布函數(shù)在邊界處消失ρ(t,r0)=0。邊界條件的選取取決于所考慮的物理問題。

初始條件選為中心在ri的高斯波包

這里a是一個常數(shù)，決定了高斯波包的初始寬度，不影響最終結果。由于考慮小體積/大體積狀態(tài)之間的熱動態(tài)相變，ri可以設置為rs或rl。這意味著該熱系統(tǒng)最初處于小體積或大體積狀態(tài)。

概率分布的時間演化如圖3，其中T0==0.000 574 9，a=0.1。當t=0 時，高斯波包位于大體積相（圖3（a））和小體積相（圖3（b）），它們都隨著時間t的增加而減小，直到趨于某個常數(shù)。然而，與此同時圖3（a）r+=rs處和圖3（b）r+=rl處的ρ(t,r+)的值從零增加到相同的常數(shù)。這表明大體積相中dS 時空趨向于小體積相，如圖3(a)，而小體積相的dS 時空則趨于大體積相，如圖3(b)。最終系統(tǒng)在短時間內達到大體積/小體積共存的穩(wěn)定狀態(tài)。為了使大/小體積相變的動力學過程更加清晰，在圖4 中展示了在相變點處ρ(t,rl) 和ρ(t,rs)的概率分布。初始大體積相（或小體積相）概率分布最大，而相應的小體積相（或大體積相）態(tài)為零。隨著時間的增加，它們都趨近于相同的值。這與G-r+中顯示的一致，即大體積和小體積狀態(tài)在吉布斯自由能景觀的雙阱中具有相同的深度。

圖3 不同初始條件下相變點處ρ(t,r+)圖

圖4 不同初始條件下相變點處ρ(t)圖

2.3 首次通過時間

一般來說，大體積/小體積相變動力學過程中的重要量用首次通過時間來表征，其定義為穩(wěn)定的大體積相或小體積相逃逸到不穩(wěn)定的中間體積狀態(tài)（即，從一個阱到吉布斯自由能的勢壘）的首次通過時間的平均值。

假設在穩(wěn)定的大體積相或小體積相中存在一個理想吸收體，如果系統(tǒng)在熱漲落下進行了第一次通過，系統(tǒng)將離開這個狀態(tài)。將∑定義為第一次通過時間內動力過程的總概率，有

其中：rm，rmin，rrb分別為RN-dS 黑洞視界的中間、極小和右邊界。當經(jīng)過的時間足夠長時，穩(wěn)定HPBH或者LPBH 態(tài)的幾率變?yōu)榱悖椿蛉缟纤?，首次通過時間是一個隨機變量，因為相變的動力學過程是由熱漲落引起的。因此首次通過時間可表示為

顯然Fpdt表示系統(tǒng)在時間間隔(t,t+dt)內通過黑洞中間態(tài)的幾率。考慮方程（10）和（13），首次通過時間的分布變成

此處Fokker-Planck 方程的吸收和反射邊界條件位于rm以及另一端(rmin或rrb)。注意幾率分布無需歸一化處理。

通過求解具有不同相變溫度（T0=和T0=的Fokker-Planck 方程（10）并將它們代入方程（13）和（15），得到初始條件ri=rl的數(shù)值結果，如圖5。由于采用初始條件ri=rs的結果與采用初始條件ri=rl的結果相同，這里只展示一種情況。很明顯，對于兩個不同初始條件的AdS 黑洞，F(xiàn)p的行為是相似的。在具有固定溫度的Fp曲線中，在t=0 附近出現(xiàn)一個單峰。這可以理解為在很短的時間間隔內發(fā)生了大量的首次通過事件，概率分布隨時間呈指數(shù)衰減。相變點處的溫度對Fp的影響與吉布斯自由能的影響一致。這意味著溫度越高，概率下降越快，相變越容易發(fā)生，勢壘深度越?。环駝t溫度越低，概率下降越慢，相變越難發(fā)生，勢壘深度越高。

圖5 不同溫度下的Fp - t關系圖

3 討論和結論

由于黑洞對應的熱力學狀態(tài)的精確統(tǒng)計描述尚不明確，研究黑洞的dS 時空熱力學相變成為人們關注的問題。從吉布斯自由能的角度研究了四維RNdS 時空的大/小體積相變的動力學特性。

首先回顧了RN-dS 時空的熱力學性質，提出相變是大/小體積相變。當時，可以根據(jù)麥克斯韋等積定律構建T-S圖中的HPBH/LPBH 相變。由于利用麥克斯韋等面積定律和吉布斯自由能，得到的結果都是相同的，因此文中未介紹吉布斯自由能的燕尾行為。

吉布斯自由能G中存在雙阱。G的兩個局部最小值對應于穩(wěn)定的大/小體積狀態(tài)。局部最大值代表不穩(wěn)定的中間體積狀態(tài)，并充當穩(wěn)定的大體積和小體積狀態(tài)之間的屏障。此外，兩個阱的深度相同。這表明從G的角度來看，當兩個阱具有相同的深度時，將發(fā)生大/小體積相變。然后研究了由Forkker-Planck 控制的大/小體積相變的動力學過程方程。通過在最小黑洞視界和僅大于大體積狀態(tài)的值上施加反射邊界條件，并以小體積或大體積狀態(tài)的高斯波包作為初始條件，得到了Forkker-Planck 方程的數(shù)值結果：小體積或大體積狀態(tài)的初始高斯波包隨時間的增加而減小，但同時小體積或大體積狀態(tài)的ρ(t,r+)的另一個峰值狀態(tài)從零增加到相同的常數(shù)。這表明隨著時間的增加系統(tǒng)將從初始狀態(tài)離開到另一個狀態(tài)，直到它變成一個雙態(tài)共存狀態(tài)，這一結果是與在吉布斯自由能G中在兩個阱的深度（代表小體積和大體積狀態(tài)）的值相等是一致的。

最后考慮了首次通過時間。通過對中間勢黑洞態(tài)施加吸收邊界條件，并以小體積或大體積態(tài)的高斯波包作為初始條件，也得到了Forkker-Planck 方程的數(shù)值結果：無論考慮何種初始條件，F(xiàn)p的行為對于兩個不同的初始條件都是相似的。Fp在t=0附近存在一個單峰。這可以理解為在很短的時間間隔內發(fā)生了大量的首次通過事件，概率分布隨時間呈指數(shù)衰減。從相變點溫度對Fp和G的影響可知，溫度越高，概率下降越快，相變越容易發(fā)生，勢壘深度越小；否則溫度越低，概率下降越慢，相變越難發(fā)生，勢壘深度越高。