陳亞輝　王澤鵬　陳田田　華君

摘要：設(shè)備在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)負(fù)載，導(dǎo)致軸系中輪系的嚙合剛度及嚙合力產(chǎn)生變化。根據(jù)能量法構(gòu)建直齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型，并建立考慮負(fù)載耦合影響的嚙合剛度修正模型。在平行軸彎－扭耦合齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)下，采用Newmark時(shí)域算法計(jì)算，對(duì)比無(wú)波動(dòng)負(fù)載和考慮波動(dòng)負(fù)載影響下的齒輪時(shí)變嚙合剛度差異，并分析設(shè)備負(fù)載對(duì)平行軸齒輪嚙合剛度及嚙合力的影響。同時(shí)，通過(guò)行星輪系相位調(diào)諧公式的推導(dǎo)，分析設(shè)備負(fù)載對(duì)行星輪系嚙合力的影響。結(jié)果表明，設(shè)備的波動(dòng)負(fù)載會(huì)對(duì)齒輪嚙合力產(chǎn)生邊頻調(diào)制影響；對(duì)于均布型行星輪系，當(dāng)中心輪受到傳動(dòng)軸系的設(shè)備波動(dòng)負(fù)載影響時(shí)，相位調(diào)諧模型將失去其調(diào)諧規(guī)律。

關(guān)鍵詞：設(shè)備負(fù)載；輪系；嚙合；相位調(diào)諧

中圖分類(lèi)號(hào)：TH132.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.03.009

文章編號(hào)：1006-0316 （2023） 03-0055-08

The Effect of Equipment Load on Meshing Stiffness and Meshing Force of the Gear Train

CHEN Yahui，WANG Zepeng，CHEN Tiantian，HUA Jun

（ Wuxi Branch of Harbin Marine Boiler and Turbine Research Institute， Wuxi 214000， China ）

Abstract：The device generates fluctuation load during operation， which leads to the changes in meshing stiffness and meshing force of the gear system. In this paper， the spur gear time-varying meshing stiffness calculation model based on the energy method and a meshing stiffness correction model considering the load-coupling effect are established. Under the transverse-torsional coupling gear transmission system， the Newmark time domain algorithm is used to compare the differences of meshing stiffness under no fluctuate load and fluctuate load and analyze the effect of equipment load on meshing stiffness and meshing force of the parallel shaft gear. At the same time， the impact of equipment load on meshing force of planetary gears is further analyzed through the derivation of the planetary phasing formulas. The results indicate that the fluctuant load of the device will generate boundary modulation effect on the gear meshing force， and in terms of the equally spaced planetary gear set， when the center gear is affected by the fluctuant equipment load， the tuning law of the phasing model will no longer work.

Key words：equipment load；gear system；meshing；phasing theory

齒輪系在嚙合運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)往往受到設(shè)備負(fù)載波動(dòng)的影響，這使得輪系振動(dòng)與嚙合狀態(tài)相互耦合，導(dǎo)致齒輪嚙合剛度、嚙合力等嚙合參數(shù)發(fā)生改變，齒輪的嚙合狀態(tài)變得復(fù)雜。

目前關(guān)于設(shè)備負(fù)載對(duì)輪系嚙合剛度、嚙合力影響的研究相對(duì)匱乏。Xinghui等[1]研究了齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定性與齒輪剛度調(diào)頻的聯(lián)系。Kim等[2]研究了齒輪橫振系統(tǒng)響應(yīng)與輪系時(shí)變嚙合參數(shù)的關(guān)系。袁運(yùn)博等[3]研究了在外部波動(dòng)負(fù)載下，同時(shí)計(jì)入橫振和扭振響應(yīng)對(duì)平行軸齒輪嚙合剛度和系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

行星齒輪系傳動(dòng)憑借其結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)越發(fā)受到傳動(dòng)機(jī)械的青睞，被廣泛應(yīng)用在汽車(chē)、船舶、風(fēng)電等工程技術(shù)領(lǐng)域[4]。行星齒輪傳動(dòng)多采用行星輪均布型結(jié)構(gòu)，以達(dá)到較好的減振降噪工程目的[5]，學(xué)者們總結(jié)出行星齒輪相位調(diào)諧理論來(lái)解釋該工程現(xiàn)象。

行星齒輪相位調(diào)諧理論是一種有效的行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)降噪措施，最早由Schlegel等[6]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，他們?cè)谥饼X行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)了11 dB的降噪效果。Palmer等[7]利用實(shí)驗(yàn)研究也驗(yàn)證了利用相位調(diào)諧來(lái)實(shí)現(xiàn)行星齒輪傳動(dòng)降噪的可行性及有效性。Platt[8]則通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)一步驗(yàn)證了相位調(diào)諧在斜齒行星齒輪傳動(dòng)上的降噪效果。

在相位調(diào)諧理論研究方面，Seager[9]利用靜態(tài)傳遞誤差動(dòng)態(tài)激勵(lì)模型，以直齒行星齒輪傳動(dòng)為研究對(duì)象，揭示了中心輪齒數(shù)、行星輪個(gè)數(shù)與系統(tǒng)振動(dòng)模式間的映射關(guān)系。Kahraman[10]和Blankenship[11]也利用靜態(tài)傳遞誤差動(dòng)態(tài)激勵(lì)模型，忽略嚙合剛度的時(shí)變性，以斜齒行星齒輪傳動(dòng)為研究對(duì)象，研究了構(gòu)件所受激勵(lì)力的相位特征與構(gòu)件振動(dòng)模式之間的映射關(guān)系，提出了相應(yīng)的相位調(diào)諧理論。Parker[12-13]直接從嚙合力出發(fā)，提出了基于具體的行星齒輪動(dòng)力學(xué)模型的研究思路，將嚙合力表示為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)形式，推導(dǎo)各個(gè)中心輪的受力情況，給出了行星輪個(gè)數(shù)、中心構(gòu)件齒數(shù)和諧次階數(shù)與中心構(gòu)件受力特征之間的映射關(guān)系。

但相位調(diào)諧理論是在輪系理想嚙合的條件下建立的，當(dāng)考慮外部設(shè)備負(fù)載的振動(dòng)影響時(shí)，相位調(diào)諧理論的機(jī)理是否依然成立，尚待研究。

針對(duì)上述問(wèn)題，建立含設(shè)備負(fù)載耦合影響的齒輪嚙合剛度修正模型，在平行軸齒輪彎扭耦合系統(tǒng)下，研究設(shè)備負(fù)載對(duì)齒輪嚙合剛度、嚙合力的影響。然后結(jié)合經(jīng)典均布行星輪系相位調(diào)諧理論，分析解釋負(fù)載波動(dòng)對(duì)行星輪系相位調(diào)諧理論的影響。

1 平行軸輪系動(dòng)態(tài)嚙合模型的建立

1.1 外嚙合齒輪嚙合剛度模型

式中： 為齒輪因赫茲接觸效應(yīng)產(chǎn)生的剛度，N/m； 、 、 為直齒輪因彎曲、剪切、壓縮效應(yīng)，根據(jù)能量法推導(dǎo)所產(chǎn)生的剛度，N/m；E為齒輪彈性模量，Pa；L為齒輪的有效齒寬，mm；ν為齒輪泊松比； 為嚙合分力與合力的接觸變化角，rad； 為基圓半齒角，rad； 為齒輪的瞬時(shí)嚙合角，rad； 為理論壓力角，（°）； 、 為驅(qū)動(dòng)輪和從動(dòng)輪的齒數(shù)； 為驅(qū)動(dòng)輪圓頻率，rad/s；t為時(shí)間，s； 、 為驅(qū)動(dòng)輪和從動(dòng)輪的齒頂圓半徑，mm； 、 為驅(qū)動(dòng)輪和從動(dòng)輪的基圓半徑，mm； 為理想安裝中心距，mm； 為理論齒頂壓力角，（°）； 和 分別為驅(qū)動(dòng)輪和從動(dòng)輪的接觸變化角因子，rad。

可見(jiàn)齒輪的嚙合剛度模型中，中心距、瞬時(shí)嚙合角、重合度、驅(qū)動(dòng)輪接觸變化角因子與橫向振動(dòng)產(chǎn)生了耦合；嚙合分力與合力的接觸變化角、嚙合周期與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)產(chǎn)生了耦合。

2 負(fù)載對(duì)平行軸輪系模型的影響

采用經(jīng)典齒輪彎扭耦合模型[15]，研究負(fù)載對(duì)平行軸輪系動(dòng)力學(xué)模型的影響。齒輪副建立彎扭耦合模型，驅(qū)動(dòng)電機(jī)及負(fù)載建立扭轉(zhuǎn)模型。

齒輪齒寬16 mm、模數(shù)2.117 mm、壓力角20°、重合度1.6456、楊氏模量2.07×1011 Pa、泊松比0.254，其余參數(shù)如表1所示。

設(shè)負(fù)載形式為周期性波動(dòng)負(fù)載，將其表示為傅里葉級(jí)數(shù)形式：

式中： 為設(shè)備負(fù)載的直流恒定分量； 為負(fù)載諧波幅值； 為負(fù)載的諧波頻率； 為負(fù)載諧波相位；l為諧次； 為大于等于1的自然數(shù)。

設(shè)負(fù)載激勵(lì)為單頻波動(dòng)負(fù)載，研究在單頻負(fù)載激勵(lì)下，齒輪的嚙合激勵(lì)變化規(guī)律。

采用Newmark時(shí)域法，計(jì)算無(wú)波動(dòng)負(fù)載和考慮波動(dòng)負(fù)載（單頻波動(dòng)負(fù)載）影響下的齒輪時(shí)變嚙合剛度，如圖2所示。

圖2（a）的長(zhǎng)周期嚙合剛度曲線顯示，波動(dòng)負(fù)載對(duì)嚙合剛度的幅值進(jìn)行了調(diào)制，且曲線呈現(xiàn)周期性波動(dòng)。這是由于在橫振作用下，齒輪的中心距、嚙合角、重合度發(fā)生變化，進(jìn)一步影響了嚙合剛度積分公式的求解。圖2（b）的短周期嚙合剛度曲線顯示，波動(dòng)負(fù)載對(duì)嚙合剛度的頻率進(jìn)行了調(diào)制。這是由于在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)作用下，每個(gè)齒的嚙合周期發(fā)生了改變，進(jìn)而產(chǎn)生調(diào)頻現(xiàn)象。

負(fù)載影響下的齒輪嚙合剛度頻域?qū)Ρ热鐖D3所示?？梢钥闯?，在齒輪嚙合基頻（1000 Hz）及其倍頻（2000 Hz、3000 Hz）附近產(chǎn)生了調(diào)頻調(diào)幅譜線（±13 Hz），調(diào)制幅度圍繞中心頻率依次遞減。相比于無(wú)波動(dòng)負(fù)載，有波動(dòng)負(fù)載情況下的嚙合剛度曲線中心頻率幅值下降，能量分散至邊頻調(diào)制帶。

負(fù)載影響下的齒輪嚙合力頻域?qū)Ρ热鐖D4所示?？梢钥闯觯X輪嚙合力基頻（1000 Hz）及其倍頻（2000 Hz、3000 Hz）附近同樣產(chǎn)生了調(diào)頻調(diào)幅譜線（±13 Hz），調(diào)制幅度圍繞中心頻率依次遞減。有波動(dòng)負(fù)載情況下的嚙合力曲線中心頻率幅值下降，能量分散至邊頻調(diào)制帶。該規(guī)律與嚙合剛度調(diào)制規(guī)律一致。

可知，在設(shè)備負(fù)載影響下，平行軸齒輪系的嚙合會(huì)產(chǎn)生調(diào)制現(xiàn)象，頻譜特征變得復(fù)雜。基于該理論基礎(chǔ)，對(duì)考慮負(fù)載影響下的行星輪系相位調(diào)諧模型進(jìn)行研究。

3 負(fù)載對(duì)行星輪系相位調(diào)諧模型的影響

3.1 經(jīng)典相位調(diào)諧理論

對(duì)于均布行星輪系，中心輪的受力頻譜特征在某種條件下可以實(shí)現(xiàn)理論上局部諧次的力平衡，以達(dá)到較好的減振降噪工程目的[12]。

對(duì)行星輪系中的中心輪進(jìn)行受力分析，如圖5所示。

中心輪嚙合力在橫向、縱向、扭轉(zhuǎn)方向上的表達(dá)式為：

式中： 和 分別為中心輪受到的嚙合力在橫向和縱向的投影，N； 為嚙合扭矩，Nm；? 為驅(qū)動(dòng)輪半徑，m。

忽略嚙合力的直流分量，將 表示為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)形式：

行星輪系嚙合力頻譜分析如圖6所示。橫向嚙合力頻譜成分為基頻、3倍頻和5倍頻，2倍頻及4倍頻被抑制消失。這是由于相位調(diào)諧因子k≠1且N－1時(shí)，抑制嚙合力，k＝1或N－1時(shí)，激起嚙合力，該結(jié)論與經(jīng)典相位調(diào)諧理論一致。

行星輪系嚙合扭矩頻譜分析如圖7所示。嚙合扭矩頻譜成分為嚙合4倍頻，1、2、3倍頻被抑制消失。調(diào)諧因子k≠0時(shí)抑制嚙合扭矩，k＝0時(shí)激起嚙合扭矩，該結(jié)論與經(jīng)典相位調(diào)諧理論一致。

3.2 負(fù)載對(duì)行星輪系相位調(diào)諧理論的影響

由第2節(jié)可知，負(fù)載會(huì)引起平行軸軸系橫向及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，進(jìn)而影響輪系的中心距、嚙合角、重合度、嚙合周期等嚙合信息，導(dǎo)致齒輪的嚙合剛度、嚙合力頻譜出現(xiàn)調(diào)頻調(diào)幅特性，調(diào)制頻率為設(shè)備的波動(dòng)負(fù)載頻率。

對(duì)于行星輪系，在設(shè)備波動(dòng)負(fù)載的影響下，齒輪的嚙合力可寫(xiě)為：

式中： 為嚙合力的調(diào)幅函數(shù)； 為嚙合力的調(diào)頻函數(shù)。

當(dāng)中心輪受到傳動(dòng)軸系的設(shè)備負(fù)載影響時(shí)，受力如圖8所示。

中心輪與各行星輪之間會(huì)產(chǎn)生嚙合力的調(diào)幅函數(shù)和調(diào)頻函數(shù)，導(dǎo)致邊頻調(diào)制現(xiàn)象，使得中心輪的受力無(wú)法再進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)化簡(jiǎn)式（18）。相位調(diào)諧理論將不再遵循表2中的規(guī)律，失去相應(yīng)的調(diào)諧規(guī)律。

4 結(jié)論

根據(jù)能量法建立外嚙合齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型，并建立考慮設(shè)備負(fù)載耦合影響的齒輪剛度修正模型，分析負(fù)載對(duì)齒輪嚙合剛度、嚙合力的影響。結(jié)合經(jīng)典均布齒輪相位調(diào)諧模型，分析設(shè)備負(fù)載對(duì)均布行星輪系調(diào)諧模型的影響，并得出如下結(jié)論。

（1）設(shè)備負(fù)載影響下，平行軸齒輪副的中心距、嚙合角、重合度、嚙合周期等嚙合特征產(chǎn)生變化，嚙合剛度及嚙合力頻譜在齒輪嚙合基頻及其倍頻附近產(chǎn)生了調(diào)頻調(diào)幅譜線，調(diào)制頻率為設(shè)備負(fù)載頻率，調(diào)制幅值圍繞中心頻率依次遞減。

（2）相比無(wú)波動(dòng)負(fù)載的嚙合剛度曲線，考慮波動(dòng)負(fù)載影響情況下的嚙合剛度及嚙合力曲線中心頻率幅值下降，能量分散至邊頻調(diào)制帶。

（3）當(dāng)中心輪受到傳動(dòng)軸系的設(shè)備負(fù)載影響時(shí)，中心輪受力無(wú)法再進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)的公式化簡(jiǎn)。相位調(diào)諧理論將失去相應(yīng)的調(diào)諧規(guī)律。

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收稿日期：2022-04-22

作者簡(jiǎn)介：陳亞輝（1995－），男，江蘇無(wú)錫人，碩士，助理工程師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)及振動(dòng)特性，E-mail：664912295@163.com。