陳丹萍，廖宇蘭，周 漢，蘇 明

（1.海南科技職業(yè)大學機電工程學院，海南?？?571126；2.海南大學機電工程學院，海南?？?570228）

1 引言

自由曲面銑削是一種新型的柔性齒輪加工技術，可用于外齒輪的加工，尤其適用于具有復雜幾何形狀的新型齒輪。近年來，齒輪的自由曲面銑削已顯示出其巨大的潛在優(yōu)勢，并越來越具有工業(yè)應用價值［1］。

雖然工業(yè)上通用多軸加工中心可以實現(xiàn)齒輪的自由曲面銑削，傳統(tǒng)的自由曲面理論和方法［2?4］可以被認為是齒輪制造的基礎。國內(nèi)外研究學者在齒輪銑削誤差方面開展了大量研究，文獻［5］針對錐齒輪的幾何誤差控制，從影響加工誤差的因素方面建立了數(shù)學模型，研究了加工誤差的影響規(guī)律。文獻［6］在傳統(tǒng)單齒輪加工工藝基礎上，研究了齒槽加工順序與銑削均勻度的影響關系，在此基礎上優(yōu)化了數(shù)控加工程序。文獻［7］針對人字形齒輪的銑削加工精度和效率方面，基于殘差控制法建立了刀具路徑的數(shù)學模型，通過實驗驗證了立銑刀加工模型的有效性。文獻［8］在數(shù)控銑床上研究了一種新型凸凹齒輪的加工時間，結果表明隨著模數(shù)的增加、齒數(shù)和銑削角度的增加，加工次數(shù)增加。文獻［9］提出了一種精確五軸側(cè)銑螺旋錐齒輪或準雙曲面齒輪的數(shù)控編程創(chuàng)新方法。其他比較典型的銑削誤差研究如文獻［10?13］所述。

上述研究為銑削技術的研究提供了重要參考加載，這里通過對圓柱齒輪表面幾何特征與銑刀的運動關系進行建模，研究了自由曲面銑削加工圓柱齒輪的齒形誤差，分析銑刀類型、銑刀進給策略、齒輪基本參數(shù)等加工參數(shù)對齒形誤差的影響。最后在標準立銑床的通用多軸加工中心上進行了實驗驗證。

2 齒輪自由銑削的幾何分析

2.1 自由曲面銑削齒輪的數(shù)學模型

自由曲面銑削齒輪加工結合了專用齒輪機床傳統(tǒng)制造方法和通用機床的集成數(shù)控加工方法。齒面由銑刀的掃掠運動產(chǎn)生，立銑刀銑削圓柱斜齒輪自由曲面的示意圖，如圖1所示。笛卡爾坐標系Sm（Om?xmymzm），Og（Og?xgygzg）以及St（Ot?xtytzt）分別建立在機床、工件和銑刀上，銑刀參數(shù)a和e表示銑刀在xm軸方向和ym軸方向的位置。在齒輪的自由銑削中，工件和銑刀繞各自軸旋轉(zhuǎn)，銑刀沿著zt軸從齒輪寬度的上部向底部進給，此時工件圍繞zg軸旋轉(zhuǎn)φ角度。隨后銑刀沿xm軸進給一定量，然后銑刀沿著zt軸從齒輪寬度的底部向上部進給，與此同時，工件圍繞zg軸旋轉(zhuǎn)?φ角度，整個齒側(cè)以及所有齒面均采用這種方式加工。

圖1 立銑刀銑削圓柱斜齒輪自由曲面的示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Milling Free?Form Surface of Cylindrical Helical Gear with end Mill

對于普通漸開線螺旋面［14］，如果齒面參數(shù)為（u，θ），則在銑削點的齒側(cè)位置向量和法向量可表示為：

式中：rb—基圓半徑；

σ0—基圓上的半角齒厚；

p—斜齒輪的螺旋參數(shù)。

通用立銑刀示意簡圖，如圖2所示。Ot為銑刀位置點，P為銑刀表面上的銑削點，H、L為銑削點的坐標參數(shù)，αt和ψ分別表示銑削刃的傾斜角和銑刀繞xt軸的旋轉(zhuǎn)角。

圖2 通用立銑刀的參數(shù)定義Fig.2 Parameter Definition of Universal end Mill

因此，立銑刀在銑削點處的位置向量和法向量可以表示為：

式中：αt—銑削刃的斜角；ψ—銑刀繞xt軸的旋轉(zhuǎn)角度。

通過坐標變換，工件坐標系Sg到加工坐標系統(tǒng)Sm的傳遞矩陣可以表示為：

式中：Mmg—Sg到Sm的傳遞矩陣

φ—旋轉(zhuǎn)角度；p—斜齒輪的螺旋參數(shù)。

同樣，從銑刀坐標系St到加工坐標系Sm的傳遞矩陣可以表示為：

式中：Mmt—St到Sm的傳遞矩陣—銑刀參數(shù)，用來描述xm軸方向和ym軸方向的銑刀位置點。

為使工件矢量與銑刀矢量相匹配，可以根據(jù)式（3）、式（4），通過改變齒形生成參數(shù)u，得到齒形上任意一點的旋轉(zhuǎn)角度φ以及銑刀設置參數(shù)（a，e），從而可以推導出齒形上任意一點的銑刀位置點。

2.2 考慮殘余誤差的銑刀路徑的計算

在齒輪自由成形銑削過程中，在滿足齒形精度的基礎上，計算銑刀軌跡以逼近理論齒面，而不是計算齒面上的所有刀位點。以普通立銑刀自由銑削直齒輪為例，考慮殘余誤差在內(nèi)的銑刀路徑計算，如圖3所示。點A是與齒廓相切的第一個銑刀位置點，點B是與齒廓相切的相鄰銑刀位置點，點C是這兩條切線AC和BC的交點，點D是圖面中齒廓曲線的法線交點。對于直齒輪，線CD的長度表示漸開線齒廓平面內(nèi)的殘余誤差Δt，對于斜齒輪，需要在與表面正交的方向上測量表面誤差。

圖3 立銑刀自由銑削直齒圓柱齒輪的殘余誤差Fig.3 Residual Error in Free Milling of Spur Gear with end Mil

假設坐標A（xA，yA）、B（xB，yB），C（xC，yC）、D（xD，yD），由于AC和BC兩直線與齒廓相切，因此AC和BC的斜率kA和kB可以表示為：

對于漸開線齒輪橫向齒廓，螺旋參數(shù)θ=0，因此式（1）中法向量ng（u，θ）表示為ng（u，0），將ng（u，0）代入式（5），則斜率為kA和kB可以表示為：

同時，點C是兩條切線AC和BC的交點，C（xC，yC）表示為：

由式（1）可知，點A、點B、點D在漸開線齒廓上，漸開線角分別為uA，uB和uD。此外，由于直線CD垂直于點D處漸開線的切線，且點D處的斜率kD為tan（σ0+uD），可得式（8）的幾何關系：

式中：Δt—齒形殘差。將坐標A（xA，yA）、B（xB，yB），C（xC，yC）、D（xD，yD），斜率kA，kB和kD添加到式（8），則有：

通常給定起始銑刀定位點A和齒形精度要求，即uA和Δt已知。根據(jù)式（9），可以推導出齒廓上銑刀位置點的參數(shù)（uB，uD），然后根據(jù)已知的uB作為起始值，可以推導出銑刀位置點的其他參數(shù)（uB1，uD1），同樣可以獲得銑刀位置點的所有參數(shù)（uBi，uDi）。立銑刀自由曲面銑削直齒輪，通過數(shù)值分析模擬了采用立銑刀的漸開線輪廓上的銑刀路徑，如圖4所示。

圖4 立銑刀自由曲面銑削直齒輪Fig.4 End Mill Free?Form Surface Milling Spur Gear

3 齒形誤差分析

本節(jié)將討論自由銑削齒輪的過程中，銑刀類型、銑刀進給策略、齒輪基本參數(shù)等加工參數(shù)對齒形誤差的影響。

3.1 關于齒形誤差的銑刀類型

在自由銑削齒輪的過程中，不同類型的銑刀導致不同的加工效率和不同的齒面結構。與齒形誤差相關的銑刀類型，立銑刀的側(cè)邊與齒面相切，而球頭銑刀的頂部圓弧邊與齒面相切，不同類型的銑刀會導致不同的加工時間，如圖5所示。銑削道次與殘余輪廓誤差之間的關系，可以看出在本當前銑削參數(shù)條件下的殘余輪廓誤差范圍Δt=（0.005~0.03）mm，如圖6所示。

圖5 銑刀的類型Fig.5 Types of Tool

圖6 銑削道數(shù)與殘余輪廓誤差的關系Fig.6 Relation Between Cutting Pass Number and Residual Profile Errors

對于立銑刀，銑削道次從17個減少到7個，對于球頭銑刀，銑削道次從90個減少到37個。即當Δt=0.03mm時，立銑刀的銑削道次為7，球頭銑刀的銑削道次為37，采用垂直銑削策略的球頭銑刀，加工時間是采用切向銑削策略的球頭銑刀的5.3倍。因此，與采用立銑刀制造齒輪相比，采用相同銑削道次的球頭銑刀將產(chǎn)生更大的殘余輪廓誤差，且需要更多的加工時間。

3.2 齒形誤差的銑刀進給策略研究

銑刀的進給策略也決定了齒形誤差和加工時間。齒輪自由銑削加工過程中主要有三種進給策略：

（1）等漸開線角進給策略；

（2）等徑進給策略；

（3）等殘差輪廓誤差進給策略。

立銑刀自由銑削齒輪的進給策略，如圖7 所示。在圖7（a）中，可以看出對于每條銑刀路徑，銑刀進給是沿齒廓方向等距的，其漸開線角度Δui相等。根據(jù)漸開線齒形的特點，常數(shù)Δui表示從齒頂?shù)烬X根減小的齒形誤差Δti，如圖8所示。在圖7（b）中，可以看出每個銑刀路徑的銑刀進給都是等距的，沿軸向方向徑向進給Δx。在圖7（c）中，銑刀進給在每個銑刀路徑上的距離相等，沿齒廓方向的殘余誤差Δt相同。也就是說，齒頂和齒根處的表面粗糙度相同，進給策略將直接影響齒形誤差，下一節(jié)將討論進給策略與齒形誤差之間的關系。

圖7 立銑刀銑削齒輪進給策略Fig.7 Feed Strategy for Milling Gears with End Mills

圖8 等漸開線角進給策略Fig.8 Feed Strategies of Equal Involute Angle Along Tooth Profile

為了分析進給策略對齒形誤差的影響，在相同的銑削道次（N=14）下模擬了三種進給策略。等漸開線角的進給策略，如圖9（a）所示。可以看出齒形的殘余誤差從齒頂?shù)烬X根呈減小趨勢，齒形的最大誤差為0.011mm，最小誤差為0.0045mm，分別發(fā)生在齒頂和齒根上。從圖9（b）中可以看出，采用上述等徑向進給策略，齒形殘余誤差從齒根到齒頂呈現(xiàn)減少趨勢，齒形的最大誤差和最小誤差分別為0.012mm 和0.007mm，分別出現(xiàn)在齒根和齒頂上。

圖9 進給策略對齒形誤差的影響Fig.9 Influence of Feed Strategy on Tooth Profile Error

由圖9（c）可以看出，在等殘齒形誤差進給策略下，齒形殘余誤差基本一致，最大齒形誤差為0.008mm。因此，從制造的角度來看，在給定最大齒形誤差的情況下，銑削道次越少，效率越高，即等殘余輪廓誤差的進給策略是最優(yōu)的，等徑向進給策略是最差的。但在可能的情況下，可以考慮采用等徑向進給策略和等漸開線角進給策略進行特殊輪廓的修形。

3.3 齒形參數(shù)對齒形誤差的影響

從經(jīng)濟角度方面考慮銑刀路徑的設計中，必須考慮工件參數(shù)，因為一旦確定了銑刀和所應用的銑削技術，齒形誤差將由齒輪的齒形參數(shù)決定。本研究在相同的銑削道次（N=14）下，分析由于工件參數(shù)（如齒數(shù)z、齒模mn、壓力角αn和螺旋角β）變化而導致的齒形誤差，如圖10所示。從圖10（a）中可以看出，齒數(shù)的增加將導致兩側(cè)齒形誤差的減小。在圖10（b）中，可以看出當改變齒模時，齒模的增加將會導致兩側(cè)齒形誤差的增加。在圖10（c）中，可以看出壓力角的增大將導致齒形誤差減小。在圖10（d）中，可以看出增大螺旋角將導致齒形誤差減小。

圖10 齒形參數(shù)與齒形誤差的影響關系Fig.10 Influence Relationship Between Tooth Profile Parameters and Tooth Profile Error

如前所述，齒形是由工件參數(shù)生成的，給定齒輪齒形誤差后，銑削道次隨著齒數(shù)的增加而減少，壓力角和螺旋角也隨之減少。但對于齒模越大的齒輪，銑削道次則越多。因此，在工件參數(shù)變化的情況下，應根據(jù)加工精度和效率的要求重新計算銑削道次。

4 實驗研究

為了驗證所提出數(shù)值分析模型的合理性，在大型多軸機床上對典型人字齒輪進行加工實驗，如圖11所示。機床有X軸、Y軸、Z軸和U軸四個直線軸，A軸和C軸兩個旋轉(zhuǎn)軸，可以采用通用銑刀加工各種類型和尺寸的齒輪。實驗中銑齒的基本參數(shù)，如表1所示。

表1 實驗的參數(shù)設置Tab.1 Parameter Settings of the Experiment

圖11 自由曲面銑削齒輪的通用機床Fig.11 Universal Machine Tool for Milling Gear with Free?Form Surface

由于工件是一種特殊的人字齒輪，沒有凹槽，通過傳統(tǒng)生成方法或成型方法無法完成加工，而通過自由曲面銑削方法，可在通用機床上采用標準銑刀進行加工，立銑刀銑削齒輪自由曲面實驗，如圖12（a）所示。

圖12 立銑刀銑削齒輪自由曲面實驗Fig.12 Experiment on Milling Gear Free?Form Surface with End Milling Cutter

利用在機測量系統(tǒng)對齒輪齒形誤差測量，從在機測量結果可以看出在自由曲面齒輪銑削中，齒形誤差與工藝參數(shù)有直接關系。在相同的銑削道次（N=10）下，齒形殘余誤差在很大程度上依賴于所給定的進給銑刀路徑。

對于等漸開線角度進給策略，通過在機測量系統(tǒng)測量得出圖12（b）中的最大誤差為0.007mm，該誤差位于齒頂上。對于等徑進給策略，通過在機測量系統(tǒng)測量得出的最大誤差為0.006mm，該誤差位于齒根上。對于等殘差齒形誤差進給策略，通過在機測量系統(tǒng)測量圖12（c）的齒形誤差最大為0.0045mm。此外，沿齒廓方向的誤差大小基本相等，表明針對齒輪自由銑削過程中的不確定因素，實驗結果與數(shù)值分析結果具有較好的吻合性。此外，采用不同銑刀類型的對比試驗表明，如果兩種銑削方法對殘余齒形誤差的要求相同時，則采用切向銑削方法的立銑刀比使用球頭銑刀的銑削效率更高。

5 結論

研究了自由銑削圓柱齒輪的齒形誤差，通過建立自由曲面銑削的數(shù)學模型，分析了銑刀類型、進給策略、齒輪基本參數(shù)等加工參數(shù)對齒形誤差的影響。在銑刀類型的選擇上，如果給定殘余輪廓誤差，采用頂刃與齒面相切的球頭銑刀的加工時間大于側(cè)刃與齒面相切的立銑刀。在進給策略方面，給定最大齒形誤差時，等殘余齒形誤差的進給策略為最優(yōu)，等徑向進給策略為最差。在齒形參數(shù)的選擇方面，可以通過增加齒數(shù)、壓力角和螺旋角來減小齒形誤差。研究結果可為自由曲面銑削加工參數(shù)的選擇提供理論依據(jù)。