胡月，秦芳，王紅

(河北民族師范學院物理與電子工程學院，河北承德 067000)

0 前言

光學非球面元件相比于球面元件具有無法比擬的優(yōu)越性，使得其在光學領(lǐng)域得到廣泛的應用。但是，光學非球面元件在加工成形時，由于其結(jié)構(gòu)特征導致非球面輪廓曲線各點曲率均不相同，無論采用當前何種加工成形方法，都會在其表面殘留不同頻率的環(huán)帶波紋誤差，從而制約了光學非球面元件的快速發(fā)展。

光學非球面元件表面殘留的環(huán)帶波紋誤差是影響其應用性能的主要因素，也是當前非球面加工制造領(lǐng)域的研究熱點問題。針對當前光學非球面元件成形過程中殘留的環(huán)帶波紋問題[1-3]，課題組提出了全新的非球面切線回轉(zhuǎn)成形原理[4-6]，可以有效解決光學非球面元件加工成形的環(huán)帶波紋殘留問題。

1 切線回轉(zhuǎn)成形非球面原理

如圖1所示，圖中磨輪m為端面平直的平行磨輪，曲線L為被加工非球面面型曲線，設(shè)想非球面成形過程中，磨輪磨削點Pi沿非球面面型曲線做橫、縱向運動的同時也進行回轉(zhuǎn)擺動，則可以保證磨輪始終相切于被加工面型曲線，從而使相鄰節(jié)點的運動軌跡近似為理想的連續(xù)光滑曲線，可實現(xiàn)切線回轉(zhuǎn)成形非球面，且能夠得到準確、連續(xù)、光滑、沒有理論波紋誤差的非球面面型曲線。

圖1 切線回轉(zhuǎn)成形非球面原理

2 速度插補數(shù)學解析

為驗證切線回轉(zhuǎn)成形非球面原理的先進性，實驗室自主研發(fā)的原理樣機“非球面磨削拋光機床”(Aspherical Grinding Polish Machine，AGPM)三維結(jié)構(gòu)示意如圖2所示，實物如圖3所示。

圖2 三維結(jié)構(gòu)示意

圖3 AGPM實物

AGPM采用速度插補形式成形非球面[7-8]，即：對加工曲線Y方向進行節(jié)點等分，應用非球面曲線公式求解節(jié)點坐標及相對量，利用速度、位移及加速度數(shù)學關(guān)系求解X、Y兩運動方向運控參量，使速度保持單調(diào)，實現(xiàn)精密擬合。

2.1 問題論證

以實際光學非球面元被加工樣件為例，具體參數(shù)如表1所示。面型曲線方程如式(1)所示。

表1 加工樣件參數(shù)

(1)

假設(shè)設(shè)置20分段數(shù)，求解運控參數(shù)如表2所示。

表2 運控參數(shù)

利用上述參數(shù)對給定曲線進行擬合，可得X、Y方向進給速度曲線如圖4所示。分析知：X方向速度不具備單調(diào)特性，Y方向起始點與后續(xù)運行速度也不具備單調(diào)性，所以，X、Y軸實際運行速度不單調(diào)，與切線回轉(zhuǎn)成形的速度插補方式產(chǎn)生矛盾。

圖4 調(diào)整前、后X、Y方向進給速度曲線

非單調(diào)運行X、Y方向聯(lián)動擬合曲線如圖5所示，可知：回轉(zhuǎn)中心點G0擬合軌跡呈波浪形式，而非連續(xù)光滑，從而使磨輪磨削點也以波浪形式運行。因此，當前求解的運控參數(shù)無法匹配連續(xù)光滑的切線回轉(zhuǎn)成形。

圖5 調(diào)整前、后點G0與磨削點的軌跡對比

2.2 問題解析

由于在AGPM結(jié)構(gòu)設(shè)計時，選擇伸長距離為166 mm的磨輪主軸，使得機床回轉(zhuǎn)中心G0與實際加工中心有較大距離偏差，從而導致分割段內(nèi)X方向的位移量Δxi呈線性變化，如表2所示。

用位移、時間、速度、加速度公式解析，針對曲線第一分割段，機床回轉(zhuǎn)中心G0運行速度與X方向位移量為

(2)

針對曲線第二分割段，機床回轉(zhuǎn)中心G0運行速度與X方向位移量為

(3)

由表2知Δx1≈Δx2，聯(lián)立式(2)(3)，可得a2與a1存在如下關(guān)系：

(4)

由給定運行參數(shù)和求解控制參數(shù)知U0=0，Δt2>Δt1>0，則可得出：

(5)

所以a2與a1符號相反，即在Δx1、Δx2內(nèi)，點G0在X方向運動一定是加速、減速兩種形式，因此在Δx1和Δx2內(nèi)運行速度非單調(diào)。

針對曲線第三分割段，機床回轉(zhuǎn)中心G0運行速度與X方向位移量為

(6)

由表2知Δx2≈Δx3，則聯(lián)立算式(2)(3)(6)，可得a3與a2存在如下算式關(guān)系：

a3=

(7)

2Δt1·Δt3+2Δt2·Δt3)]>0

(8)

所以a3與a2的符號相反，即在Δx2、Δx3內(nèi)，機床回轉(zhuǎn)中心G0運動為先減速、后加速，所以在相鄰第二、第三分割段內(nèi)，運行速度非單調(diào)。

同理，可證a4、…、ai、…、an大小為：a4<0，a5>0，…，a2i<0，a2i+1>0，…，a2n<0，所以得證，機床回轉(zhuǎn)中心G0在相鄰第Δx2i、第Δx2i+1分割段內(nèi)運行速度均非單調(diào)，該分析即為圖5回轉(zhuǎn)中心點G0擬合軌跡呈波浪曲線的根本原因。

2.3 解決方案

對點G0進給加速度進行分析，將式(5)進行變換得：

(9)

U0·Δt1-(U0-a1·Δt1)(2Δt2-Δt1)>0

(10)

分析式(10)，由表1知Δt2>Δt1，所以得到：

2Δt2-Δt1>Δt1

(11)

聯(lián)立算式(10)(11)可以推出如下算式：

|U0-a1·Δt1|

(12)

U0>a1·Δt1/2

(13)

分析式(13)，設(shè)置X方向運行初速度U0≠0，且U0>a1·Δt1/2，可使a2>0，即：設(shè)置一個滿足不等式關(guān)系的初速度U0，可實現(xiàn)在相鄰第一、第二分割段內(nèi)，運行速度單調(diào)。

(14)

同理，分析ai，針對相鄰第i-1、第i分割段內(nèi)，機床回轉(zhuǎn)中心G0運行速度與X方向位移量可構(gòu)建式(15)、(16)：

(15)

(16)

由表2知Δxi-1≈Δxi，綜合式(15)(16)，聯(lián)立運算可得ai與U0存在如下算式關(guān)系：

(17)

因此知，通過設(shè)置最優(yōu)初速度U0，使a2、a3、a4、…、ai、…、an均大于0，即：設(shè)置一個滿足不等式算式關(guān)系的初速度U0，可實現(xiàn)在全運動過程中運行速度單調(diào)。

因此，依據(jù)不等式(18)，通過合理設(shè)置運控參數(shù)ai、ti、Δxi極限值，基于遺傳學智能尋優(yōu)算法，可實現(xiàn)最適初速度U0的優(yōu)選。

3 基于遺傳學的尋優(yōu)算法

基于遺傳學理論的尋優(yōu)算法主要包括3個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：(1)適應度計算；(2)算法邊界設(shè)定；(3)算法運行參數(shù)[7-8]。

3.1 適應度值計算

通過已知曲線方程，可求解AGPM運控參數(shù)。假設(shè)存在某個U′0值，使成形過程中X運動方向速度保持單調(diào)，即任意分割段內(nèi)加速度均大于0。a′1、a′2、…、a′n和U′1、U′2、…、U′n分別為對應U′0值的加速度與速度，則應存在如下算式關(guān)系：

a′i=

(19)

若要求解最優(yōu)U′0值，該速度尋優(yōu)算法的入口函數(shù)應設(shè)置為式(19)。

3.2 邊界設(shè)定

由式(13)知，若使a′2>0，則此時U′0應存在如下算式關(guān)系：

(20)

同理，由式(20)知，若使a′i>0，則此時U′0應存在如下算式關(guān)系：

(21)

聯(lián)立式(20)(21)，整理得：

(22)

在式(22)中，U′0值的不等式算式關(guān)系，即為最優(yōu)U′0極限值的邊界條件。

3.3 運行參數(shù)

根據(jù)速度尋優(yōu)算法解析要求，設(shè)定算法運行參數(shù)如表3所示。

表3 算法運行參數(shù)

3.4 運算流程

圖6所示為算法運算流程，應用MATLAB數(shù)學解析工具進行算法性能解析。

圖6 運算流程

4 應用性能分析及實驗論證

以前文應用的非球光學面元件為例，分別以分段數(shù)20、100、500、2 000，回轉(zhuǎn)速度ω=0.3 rad/s，進行實驗驗證，算法解析的U′0和a′i數(shù)值如表4所示。

表4 解算得到最適初速度U′0值

以分段數(shù)20為例，用擬合曲線對比分析算法應用效果，如圖4所示。對比U′0與U0分析，當U′0=0.867 1 mm/s時，X方向運行速度單調(diào)遞增、連續(xù)光滑；Y方向運行速度，需使vy(0)=vy(1)，可實現(xiàn)Y方向運行速度單調(diào)，從而使整個加工過程速度保持單調(diào)。

為進一步驗證算法實用效果，擬合加工軌跡如圖5所示，機床回轉(zhuǎn)中心G0和磨削點均為連續(xù)光滑曲線，因此，可以得證當前運控參數(shù)可以使進給速度單調(diào)，且匹配連續(xù)光滑的切線回轉(zhuǎn)成形。

圖7所示為應用AGPM在無誤差補償情況下加工得到非球面光學元件，經(jīng)檢測得到圖8所示檢測數(shù)據(jù)：(1)面型精度為14.130 0 μm；(2)表面粗糙度為3.330 2 μm。

圖7 無誤差補償?shù)募庸ち慵?/p>

圖8 非球面元件檢測數(shù)據(jù)

通過檢測數(shù)據(jù)可以得證：切線回轉(zhuǎn)成形非球面軌跡精度達到了機械加工微米級別，對于普通數(shù)控機床來說是一種質(zhì)的提升，進一步印證研究內(nèi)容的有效性。

5 結(jié)論

(1)用數(shù)學方法解析了非球面磨削拋光機床應用速度插補原理存在的關(guān)鍵問題“進給速度非單調(diào)”，用實驗運控參量闡述了問題產(chǎn)生的根本原因是“初速度不匹配致使相鄰分段加速度符號相反”。

(2)基于遺傳學理論提出了解決“進給速度非單調(diào)”的具體方案，細化了速度尋優(yōu)算法的運算流程和實施步驟，主要包括：適應度值計算公式、算法邊界設(shè)計和算法運行參數(shù)設(shè)置。

(3)用實證數(shù)據(jù)及擬合仿真曲線進行論證，證明了速度尋優(yōu)算法解決“進給速度非單調(diào)”問題的有效性，并可以快速匹配任意分段的最優(yōu)初速度，且使加工進程中進給速度始終保持單調(diào)，保證了非球面磨削拋光機床的加工精度。