李興毓,陳曦菲

(1. 安徽省交通控股集團(tuán)有限公司,安徽 合肥 230088; 2. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410114)

0 引言

獲得單、群樁振動(dòng)特性以及飽和土-樁-上部結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力響應(yīng)的關(guān)鍵是研究飽和土-樁動(dòng)力相互作用問(wèn)題,這對(duì)飽和土中樁基的抗震、減振設(shè)計(jì)及完整性檢測(cè)至關(guān)重要。近年來(lái),越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)這一問(wèn)題給予了廣泛關(guān)注,已成為學(xué)術(shù)界和工程界的研究熱點(diǎn)。回顧飽和土-樁動(dòng)力相互作用的研究和發(fā)展歷史,可以發(fā)現(xiàn):現(xiàn)有的各向同性飽和土-樁基動(dòng)力相互作用理論研究已經(jīng)相當(dāng)廣泛和深入,所采用的模型和考慮的各種參數(shù)也很全面[1-12]。而相比之下,由于各向異性飽和土動(dòng)力控制方程組較為復(fù)雜,數(shù)學(xué)處理上難度較大,而薄弱部分就體現(xiàn)在關(guān)于土骨架各向異性對(duì)樁基振動(dòng)特性的影響研究。研究表明[13]:在實(shí)際工程中,由于自然沉降或固結(jié),天然地基的扁平類介質(zhì)顆粒表現(xiàn)出明顯的排列方向,因此土體的水平和豎向性質(zhì)往往存在較大差異,然而采用橫觀各向同性物理方程更能反映土骨架的實(shí)際力學(xué)特性。研究和準(zhǔn)確反映對(duì)樁基動(dòng)靜態(tài)特性的影響,對(duì)于進(jìn)一步提高樁基振動(dòng)理論的實(shí)用價(jià)值具有重要意義。毫無(wú)疑問(wèn),考慮土骨架的橫觀各向同性,研究飽和地基與樁基的動(dòng)力相互作用,在理論上和工程實(shí)踐中都具有重要意義。

目前,基于現(xiàn)象學(xué)方法的Biot理論和基于混合理論的Boer多孔介質(zhì)模型組成了描述飽和土宏觀力學(xué)行為的主要理論。雖然Biot理論已成功應(yīng)用于許多工程領(lǐng)域,但EDELMAN等[14]和BOER等[15-16]通過(guò)對(duì)比分析指出:Biot理論本質(zhì)上是一種工程描述方法,并認(rèn)為Biot動(dòng)態(tài)控制方程中的質(zhì)量平衡方程和動(dòng)量平衡方程存在一定的局限性和不足。而B(niǎo)oer多孔介質(zhì)模型相較于Biot理論其推導(dǎo)更為嚴(yán)格,且其基于連續(xù)介質(zhì)混合物公理和體積分?jǐn)?shù)概念,滿足質(zhì)量守恒定律與熱動(dòng)力學(xué)定律等物理公理[6,15-17]。如今,Boer多孔介質(zhì)模型已發(fā)展到一個(gè)相對(duì)較高的水平,其在數(shù)學(xué)邏輯和物理本質(zhì)上具有較好的一致性,可以滿足理論的嚴(yán)密性和工程實(shí)踐的各種要求[6]。

綜上所述,本文將基于Boer建立的飽和多孔介質(zhì)質(zhì)量平衡方程和動(dòng)量平衡方程,分別采用橫觀各向同性物理方程描述土骨架的實(shí)際力學(xué)特性,分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性本構(gòu)方程描述土體的黏性,首先推導(dǎo)得到橫觀各向同性飽和黏彈性土體動(dòng)力控制方程組,其形式為u-p形式。然后使用分離變量法求解該方程組得到樁側(cè)土反力基本解,繼而將樁基視為Rayleigh-Love桿處理的同時(shí)基于所得土反力建立橫觀各向同性飽和黏彈性土體中大直徑黏彈性樁的豎向振動(dòng)方程,繼而求解該方程并結(jié)合樁土相容條件及邊界條件推導(dǎo)得到樁頂豎向動(dòng)力阻抗解析表達(dá)式,進(jìn)而通過(guò)Fourier逆變換得到激振荷載為半正弦脈沖時(shí)的樁頂時(shí)域速度半解析解。最后在此基礎(chǔ)上比較分析了土骨架的數(shù)值算例中黏性性質(zhì)以及橫觀各向同性對(duì)樁基振動(dòng)特性的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基于Boer多孔介質(zhì)模型的橫觀各向同性飽和黏彈性土體動(dòng)力控制方程組

圖1 橫觀各向同性飽和土大直徑樁基的動(dòng)力相互作用模型Fig. 1 Dynamic interaction model for a large-diameter pile in the transverse-isotropic saturated soil

1)土體表面為自由邊界,無(wú)正應(yīng)力和剪應(yīng)力,表面具有滲透性,土和樁底部由剛性基巖支承。

2) 樁周圍的土骨架是一種充滿理想液體的橫觀各向同性飽和黏彈性材料。

3) 樁基為等截面黏彈性圓柱樁。

4) 樁土系統(tǒng)存在有小變形振動(dòng),在振動(dòng)過(guò)程中二者保持密切接觸,即接觸面處樁土的位移和應(yīng)力是連續(xù)的。

基于BOER等[15-16]建立的多孔介質(zhì)模型,飽和土體的動(dòng)量平衡方程和反映體積分?jǐn)?shù)概念的質(zhì)量平衡方程可表示為:

(1)

(2)

div(nSX′S+nLX′L)=0

(3)

(4)

式中:p為孔隙液相壓力,Sv為表示土骨架和孔隙液體之間的耦合作用的液固耦合系數(shù),含下標(biāo)“E”的部分表示有效應(yīng)力。此外,有:

式中:γLR為孔隙液體的真實(shí)比重,kL為土體Darcy滲透系數(shù),u、v和w分別代表土體的徑向(r)、環(huán)向(θ)和豎向(z)的位移分量。字母S、P和L分別表示土骨架、樁和孔隙流體。

根據(jù)圖1所示樁土體系的受力和幾何條件可知:樁土體系符合軸對(duì)稱條件。對(duì)于土體的黏彈性,目前已有很多描述模型,比如粘滯阻尼模型和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型等。而根據(jù)已有研究可知[6,13,18]:分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)粘彈性模型具有精確度高,確定模型所需的試驗(yàn)參數(shù)少,應(yīng)用范圍廣的優(yōu)點(diǎn)。為此,本文采用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)粘彈性本構(gòu)描述土骨架應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,具體可表示為:

(5)

(6)

土骨架幾何方程為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

1.2 樁側(cè)土反力基本解求解

由于直接求解式(8)-式(12)有很大的難度,并且無(wú)法得到問(wèn)題的解析解。而YU等[5]、劉林超[6]、CAI等[22-23]、NOGAMI等[20]和NOVAK[21]已通過(guò)且研究結(jié)果表明:土體的徑向位移對(duì)樁-土體系的豎向振動(dòng)影響不大。有鑒于此,本文忽略土的徑向位移的影響,而只考慮土體的豎向波動(dòng)效應(yīng),即令uS=uL=0,可將式(8)-式(12)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

將上述無(wú)量綱量代入式(16)-式(18)中可得到:

(19)

(20)

(21)

樁-土系統(tǒng)滿足以下無(wú)量綱邊界條件:

在無(wú)窮遠(yuǎn)處,位移衰減為零,即:

(22)

在土體表面處正應(yīng)力為零,即:

(23)

地基土底面為剛性基巖支承,即:

(24)

在樁土接觸面處位移連續(xù),即:

(25)

聯(lián)立式(19)和式(20)可得:

(26)

由式(21)可得:

(27)

(28)

(29)

求解式(29)可得:

(30)

即:

(31)

將其代入式(5)、式(7)、式(22)和式(23)中可推得B=0,C+D=0,D=-C,AC=A1。

故

(32)

在求解式(32)并考慮無(wú)限遠(yuǎn)邊界條件式(22)后,可以得到:

(33)

將式(33)代入邊界條件式(24)中可得:

(34)

(35)

則由式(5)和式(7)可得:

(36)

1.3 樁頂動(dòng)力阻抗及速度時(shí)域響應(yīng)求解

基于圖1所示的動(dòng)力相互作用模型,將樁基礎(chǔ)視為Rayleigh-Love桿[24],通過(guò)將上述樁側(cè)土反力基本解結(jié)合起來(lái),從而建立橫觀各向同性飽和黏彈性土中大直徑黏彈性樁基的振動(dòng)控制方程,如下所示:

(37)

樁基內(nèi)力為:

(38)

將式(38)無(wú)量綱化為:

(39)

將樁基方程式(37)無(wú)量綱化為:

(40)

式(40)的齊次方程通解為:

(41)

式(40)的特解可設(shè)為:

(42)

將其代入樁基振動(dòng)方程式(40)中,可以得出:

(43)

則樁基振動(dòng)方程式(40)的解為:

(44)

將式(35)和式(44)代入樁土體系的連續(xù)性條件式(25)中可得:

(45)

(46)

An=X1na1+X2na2

(47)

則:

(48)

樁基滿足如下無(wú)量綱邊界條件:

(49)

(50)

將式(48)代入式(49)和式(50)中可推得:

(51)

定義樁頂動(dòng)力阻抗為:

(52)

將其無(wú)量綱化為:

(53)

樁頂速度頻域響應(yīng)為:

(54)

圖2 脈沖作用力Fig. 2 Pulse force

(55)

將其無(wú)量綱化為:

(56)

2 數(shù)值算例分析

圖3 本文退化解與劉林超[6]解對(duì)比情況Fig. 3 Present reduced solution versus Liu's results[6]

2.1 解的驗(yàn)證與比較

另一方面,利用ADINA軟件建立樁-土體系的軸對(duì)稱有限元模型,如圖4所示。圖5為本解與有限元法計(jì)算樁身位移和樁頂速度的結(jié)果對(duì)比。在該有限元模型中,采用多孔材料的9節(jié)點(diǎn)矩形單元模擬土體;將模型左側(cè)設(shè)為軸對(duì)稱邊界,土體表面設(shè)為自由邊界,底部設(shè)為不透水固定邊界,右側(cè)設(shè)為零孔壓固定邊界,模擬無(wú)限遠(yuǎn)邊界條件,與圖1中規(guī)定的邊界條件保持一致。需要注意的是:取模型寬度50 m足以得到本例的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅,已經(jīng)能夠消除右側(cè)的邊界效應(yīng)。從圖3-5的對(duì)比可以看出:本文提出的解與已有研究研究和有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好,驗(yàn)證了本文的正確性。

圖4 基于ADINA的樁-土系統(tǒng)軸對(duì)稱有限元模型Fig. 4 Axisymmetric finite element model with ADINA for the pile-soil system

圖5 飽和土-樁相互作用系統(tǒng)有限元分析結(jié)果與本文解的比較Fig. 5 Comparisons of the present results with FEM (ADINA) results for the interaction system of saturated soil and pile

2.2 樁基振動(dòng)特性參數(shù)化分析

樁頂?shù)膭?dòng)力特性受土體橫觀各向同性特性的影響如圖6所示。從圖中可見(jiàn):樁頂動(dòng)力阻抗曲線的共振頻率基本上不受土體各向異性影響,而對(duì)其樁頂速度響應(yīng)以及共振峰值則有顯著影響。隨著表示土體的橫觀各向同性特性差異的參數(shù)δ的增加(意味著d66更大),樁頂動(dòng)剛度和阻尼的共振峰值均隨之顯著減小。此外,樁頂速度響應(yīng)的反射波幅值亦隨之顯著減小,當(dāng)δ較大時(shí),相應(yīng)的多次反射波信號(hào)已經(jīng)消失。顯然,這不利于樁基的檢測(cè)工作。

圖6 土體各向異性對(duì)樁頂阻抗和速度響應(yīng)的影響Fig. 6 Influence of the soil's anisotropy on the pile top's impedance and velocity

圖7 樁頂阻抗和速度響應(yīng)隨不同土體粘滯特性的變化情況Fig. 7 Pile top’s impedance and velocity with different soil viscosity

分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)對(duì)樁頂動(dòng)力特性的影響如圖8所示。從圖中可以看出:隨著分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型階數(shù)α的增加,樁頂動(dòng)力阻抗的共振頻率隨之略有增加,相應(yīng)的共振幅值隨之大幅增加,特別是在高頻階段猶為顯著。另外,樁頂時(shí)域速度曲線的反射波信號(hào)幅值亦隨之明顯增大,然從整體來(lái)看:其變化幅度相對(duì)較小。

圖8 樁頂阻抗和速度響應(yīng)隨不同分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的變化情況Fig. 8 Pile top’s impedance and velocity with different fractional derivative orders

土體滲透系數(shù)對(duì)樁-土系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響如圖9所示。從圖中可以看出:隨著土體滲透系數(shù)的減小,樁-土系統(tǒng)的動(dòng)力阻抗和反射信號(hào)強(qiáng)度逐漸減小,最終不再發(fā)生變化。這是因?yàn)榕c單相土相比,飽和土是一個(gè)耗散體系,其耗散能力相當(dāng)于阻尼系數(shù),隨著土體滲透性的降低而增大。當(dāng)滲透系數(shù)很小時(shí),土體不排水,不再隨滲透系數(shù)的變化而變化。

圖9 土體滲透系數(shù)對(duì)樁-土系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響Fig. 9 Effects of the soil permeability on the dynamic characteristic of the pile-soil system

3 結(jié)論

本文基于Boer建立的飽和多孔介質(zhì)質(zhì)量平衡方程和動(dòng)量平衡方程,考慮土骨架的橫觀各向同性和黏性特性,首先推導(dǎo)得到橫觀各向同性飽和黏彈性土體動(dòng)力控制方程組,其形式為u-p形式,然后采用分離變量法求解該方程組得到樁側(cè)土反力基本解,根據(jù)所得樁側(cè)土反力,同時(shí)將樁基視為Rayleigh-Love桿處理建立了大直徑黏彈性樁基在土中的豎向振動(dòng)方程,然后結(jié)合樁土協(xié)調(diào)條件和邊界條件求解振動(dòng)方程,推導(dǎo)出樁頂豎向動(dòng)力阻抗的解析表達(dá)式,最后通過(guò)Fourier逆變換得到了激振荷載為半正弦脈沖時(shí)樁頂速度的時(shí)域半解析解。在解退化后,通過(guò)與現(xiàn)有研究的比較,驗(yàn)證了本文建立的模型的正確性?；诖?通過(guò)數(shù)值算例比較分析了土體黏性參數(shù)、土體橫觀各向同性參數(shù)和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)對(duì)樁基振動(dòng)特性的影響,得出了一些有意義的結(jié)論。計(jì)算分析表明:

1) 通過(guò)將本文所建立模型的退化結(jié)果和已有研究的對(duì)比分析驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的合理性。各向同性土解可視為本文解的特殊情況。顯然,對(duì)于一些尚未建立模型的相關(guān)實(shí)際情況,通過(guò)適當(dāng)變化參數(shù),可方便地利用本文解來(lái)進(jìn)行退化分析。

3) 隨著土體滲透系數(shù)的減小,樁頂動(dòng)力阻抗和速度響應(yīng)隨之減小。當(dāng)土體滲透系數(shù)很小時(shí),在動(dòng)荷載作用下土體將產(chǎn)生不排水現(xiàn)象,此時(shí)滲透系數(shù)對(duì)樁基振動(dòng)特性的影響可忽略不計(jì)。