梁艷蘋，馮德成，任曉丹

(1.同濟大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092；2.東南大學(xué)土木工程學(xué)院，南京 211189)

安全殼是核事故發(fā)生后防止核泄漏、保障人民生命財產(chǎn)安全的最后一道屏障，一旦失效將造成不堪設(shè)想的后果。1986 年的切爾諾貝利核事故和2011 年的福島核事故所造成的影響一直延續(xù)至今。因此，保證安全殼事故內(nèi)壓下的可靠性極為重要。

目前，安全殼的相關(guān)研究關(guān)注確定性分析[1?12]較多，而考慮隨機因素影響的可靠性分析[13? 15]較少。矩方法因需要定義顯式的功能函數(shù)，適用于受力較簡單的情形。對復(fù)雜的安全殼結(jié)構(gòu)，基于大量有限元模擬的Monte Carlo 法是主要分析手段之一。該方法的計算結(jié)果與計算效率，一方面依賴于單次有限元分析，另一方面取決于模擬次數(shù)。

安全殼一般為預(yù)應(yīng)力混凝土薄殼結(jié)構(gòu)，由鋼襯板、內(nèi)外層雙向鋼筋、雙向預(yù)應(yīng)力筋及混凝土組成。由于組成復(fù)雜，大部分有限元模擬方法[4?8]采用不同類型的單元模擬其受力行為，例如以實體單元模擬混凝土、殼單元模擬鋼襯板、桁架單元模擬鋼筋和預(yù)應(yīng)力筋，之后將各部分互相結(jié)合形成完整結(jié)構(gòu)。雖然這種方法能夠很好地反映結(jié)構(gòu)的各項組成，然而，由于涉及多種單元類型且需要定義它們之間的相互連接關(guān)系，實際建模與計算比較復(fù)雜與耗時。鑒于安全殼為薄殼結(jié)構(gòu)，也有部分研究采用殼單元[9?10]、分層殼單元[11]及殼與桁架單元結(jié)合[12]的方法來模擬安全殼。這類方法在保證模擬精度的前提下，可簡化建模過程，提高計算效率。此外，為減少Monte Carlo 法中的模擬次數(shù)，已發(fā)展出多種抽樣方法[16]，并在各類可靠性分析中有所應(yīng)用。

鑒于目前安全殼可靠性研究較少，且大部分分析較為復(fù)雜耗時，本文采用一類簡便、準(zhǔn)確的方法對安全殼進行可靠性分析。該方法從Monte Carlo 模擬次數(shù)和有限元分析兩方面，在保證計算基本準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，簡化建模與分析，提高計算效率。一方面，基于概率守恒原理[17]，以有限的隨機樣本表征實際的隨機響應(yīng)分布，避免大量樣本的計算。另一方面，有限元分析[18]結(jié)合分層殼單元、混凝土損傷軟化本構(gòu)和割線剛度算法來模擬安全殼的非線性行為，在保證計算準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，簡化建模過程，提高計算效率。之后，以一個經(jīng)典試驗為案例，介紹該方法在實際中的應(yīng)用。結(jié)果表明：該方法可以在較短的時間內(nèi)完成可靠性分析，且可靠性分析結(jié)果與試驗結(jié)果具有一致性。

1 基于概率守恒原理的可靠性分析

1.1 概率守恒原理

對安全殼等大多數(shù)結(jié)構(gòu)，在其整個受力過程中，既沒有隨機因素消失，也沒有新的隨機因素產(chǎn)生，因此屬于保守的隨機系統(tǒng)[19]。根據(jù)概率守恒原理，此類隨機系統(tǒng)在狀態(tài)演化過程中概率守恒，即：由初始隨機因素所決定的概率測度在系統(tǒng)演化過程中不發(fā)生變化[19]。概率守恒原理目前已在許多工程可靠性研究中有所應(yīng)用[20]。

對任一隨機系統(tǒng)，設(shè) Θ ∈?Θ為影響系統(tǒng)隨機性的隨機參數(shù)，X為系統(tǒng)的初始輸入且其隨機性完全由 Θ決定，t為系統(tǒng)演化的廣義時間參數(shù)，則任意時刻系統(tǒng)的響應(yīng)Y可以表示為：

式中，f[·]表示初始輸入與響應(yīng)之間的函數(shù)關(guān)系，對應(yīng)于系統(tǒng)的演化過程。對于不同的隨機系統(tǒng)，f[·]可以為顯式的函數(shù)表達式，也可以是隱式的其它形式，如有限元模擬形式。

設(shè)第i個隨機參數(shù)分布子域為 ?Θ,i，由該子域內(nèi)隨機參數(shù)所確定的初始輸入和響應(yīng)的值域分別為 ?X(Θ,i)和 ?Y(Θ,i)。由于初始輸入的隨機性完全由隨機參數(shù)確定，則有：

式中：P r{·} 表示給定事件發(fā)生的概率；qi為隨機參數(shù) Θ 位于子域 ?Θ,i內(nèi)的概率。

根據(jù)概率守恒原理的隨機事件描述，在數(shù)學(xué)與物理變換中，同一隨機事件的概率測度不變。則初始輸入與響應(yīng)之間存在如下關(guān)系：

采用概率密度形式，式(3)可表述為：

式中，pY(y,θ)和pX(x,θ)分別為響應(yīng)和輸入的概率密度函數(shù)，均與隨機參數(shù)值 θ有關(guān)。

上述概率守恒原理的式(3)和式(4)，對任意滿足式(1)函數(shù)關(guān)系的值域 ?X(Θ,i)和 ?Y(Θ,i)都成立。結(jié)合式(2)，可得：

圖1 簡明地示意了概率信息在隨機參數(shù)、結(jié)構(gòu)輸入、結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的傳遞，是概率守恒原理的直觀描述。

圖1 概率守恒原理示意圖Fig.1 Schematic of the probability conservation principle

1.2 基于概率守恒原理的響應(yīng)概率分布

由圖1 可知，根據(jù)隨機參數(shù)的概率分布，可以得到響應(yīng)的概率信息與分布。理論上，隨機參數(shù)分布在一個連續(xù)域內(nèi)，然而實際數(shù)值分析中，通常需要將其離散為一系列子域，且以子域內(nèi)的代表點及其賦得概率來描述該子域的概率信息。

當(dāng)已知隨機參數(shù)的分布，可通過適當(dāng)方式將連續(xù)的隨機參數(shù)分布域劃分為有限的n個子域 ?Θ,i，并求得子域內(nèi)的代表點 Θi及其賦得概率qi。根據(jù)前述概率守恒原理，當(dāng)已知初始輸入與響應(yīng)之間的確定性函數(shù)關(guān)系，可得響應(yīng)及其概率分布為：

根據(jù)式(6)可得響應(yīng)的統(tǒng)計特征，如均值和方差分別為：

由式(7)可知，根據(jù)概率守恒原理，采用恰當(dāng)?shù)拇睃c選取方法，僅需有限的n次模擬即可得到響應(yīng)的準(zhǔn)確概率信息，大大減小了計算數(shù)量，提高了計算效率。

1.3 結(jié)構(gòu)整體可靠性

分析結(jié)構(gòu)的可靠性，必須首先定義失效準(zhǔn)則，結(jié)構(gòu)是否失效需在所定義的失效準(zhǔn)則下進行判斷。結(jié)構(gòu)失效是指，結(jié)構(gòu)的一部分或者整體喪失繼續(xù)工作的能力，通常以某一項或某幾項結(jié)構(gòu)響應(yīng)達到規(guī)定的極限狀態(tài)界限值來表征。實際應(yīng)用中，界限值可以是構(gòu)件的承載力、材料強度，也可以是結(jié)構(gòu)的整體或局部變形等。

根據(jù)失效準(zhǔn)則可以定義極限狀態(tài)函數(shù)：

式中：g(·) 為 極限狀態(tài)函數(shù)；Ylim為失效準(zhǔn)則下的響應(yīng)界限值。Z>0 表 示結(jié)構(gòu)可靠；Z<0表示結(jié)構(gòu)失效；Z=0時結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)，即極限狀態(tài)。

結(jié)構(gòu)可靠性研究的核心，是解決存在隨機性條件下結(jié)構(gòu)安全性的科學(xué)度量問題[19]。因此，結(jié)構(gòu)可靠性通常以結(jié)構(gòu)安全的概率定量表示：

相應(yīng)的失效概率可以表示為：

對于結(jié)構(gòu)整體可靠性而言，一般會涉及多種失效模式。此時需要考慮一組極限狀態(tài)函數(shù)：

式中：k表示第k個失效模式；m為失效模式總數(shù)。

對串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)，其可靠度分別表示為式(12)和式(13)的形式：

本文研究的安全殼結(jié)構(gòu)，當(dāng)結(jié)構(gòu)的某一處失效，即意味著整體結(jié)構(gòu)失效，因此屬于串聯(lián)系統(tǒng)。此時式(12)等價于最小的極限狀態(tài)函數(shù)大于0，即：

進行安全殼結(jié)構(gòu)整體可靠性分析時，首先根據(jù)失效準(zhǔn)則，確定判斷結(jié)構(gòu)失效的響應(yīng)類型及相應(yīng)的界限值。然后，對初始隨機參數(shù)的概率分布域進行合理離散，得到隨機代表點及其賦得概率?；诟怕适睾阍?，通過有限元模擬得到式(6)所示的結(jié)構(gòu)響應(yīng)及其概率分布。最后，根據(jù)響應(yīng)的概率分布與界限值，由式(8)求得最小功能函數(shù)后，根據(jù)式(14)求得結(jié)構(gòu)的可靠度。

2 有限元分析模型

結(jié)合分層殼單元[21?22]、混凝土損傷軟化本構(gòu)[23]與割線剛度算法[24]建立的有限元分析模型，可以在保證計算基本準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，提高計算效率與穩(wěn)定性。有限元分析基于ABAQUS 平臺，材料本構(gòu)關(guān)系及割線剛度算法以子程序UMAT 形式應(yīng)用。

2.1 分層殼單元

分層殼單元[21? 22]可以考慮面內(nèi)彎曲-面內(nèi)剪切-面外彎曲之間的耦合作用，能夠反映殼結(jié)構(gòu)復(fù)雜的空間受力特性，已有眾多研究與應(yīng)用[21?24]。分層殼單元的橫截面可根據(jù)實際組成劃分為若干層，不同層根據(jù)實際情況指定相應(yīng)的厚度與材料特性。計算中，首先求得中性層的應(yīng)變和曲率，之后根據(jù)平截面假定計算各層應(yīng)變，結(jié)合材料本構(gòu)關(guān)系可以得到各層應(yīng)力，最終得到殼單元的內(nèi)力。

圖2 為分層殼單元應(yīng)用于安全殼的示意圖，其中：鋼襯板層的厚度為其實際厚度；鋼筋層、預(yù)應(yīng)力筋層的厚度根據(jù)配筋面積相等確定；混凝土層厚度則根據(jù)實際情況由總厚度與各層厚度之差確定。

圖2 分層殼單元Fig.2 Multi-layered shell element

2.2 材料本構(gòu)

安全殼中的混凝土受雙層雙向鋼筋及預(yù)應(yīng)力筋、鋼襯板的共同約束作用，與素混凝土相比，具有更高的抗拉強度與應(yīng)變。本文采用可以同時考慮混凝土受拉剛化和受壓軟化的損傷軟化本構(gòu)關(guān)系[25? 31]模擬混凝土的復(fù)雜受力行為。該本構(gòu)基于熱力學(xué)基本原理，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

式中：σ 和 ε 分 別為Cauchy 應(yīng)力和應(yīng)變張量；εp為相應(yīng)塑性應(yīng)變部分；I為單位張量；E0為初始彈性模量張量；Ds為損傷張量，表示如下：

式中：P+和P?分別為正、負投影張量；d+和d?分別為受拉和受壓損傷變量；是與等效應(yīng)變有關(guān)的軟化系數(shù)。損傷演化法則為：

其中：

鋼筋和預(yù)應(yīng)力筋采用雙線性本構(gòu)關(guān)系，鋼襯板采用理想彈塑性本構(gòu)。

混凝土和鋼筋/預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力-應(yīng)變曲線分別如圖3(a)和圖3(a)所示。

圖3 材料模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 Stress-strain curves of material models

2.3 割線剛度算法

一般非線性有限元方程都需要通過迭代求解，當(dāng)已知第m?1 步的狀態(tài)，迭代求解第m步時，可以構(gòu)造割線剛度算法的迭代方程如下：

材料尺度的割線剛度模量為：

式中：?為問題域；B為應(yīng)變的形函數(shù)；S為材料尺度的割線剛度，一般由材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得到。文獻[32]根據(jù)Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shannon(BFGS)構(gòu)造了如下材料割線剛度：

由式(18)和式(19)可知，結(jié)構(gòu)和材料尺度的割線剛度模量分別包含了更多結(jié)構(gòu)內(nèi)力/幾何尺寸和材料非線性的信息。在每一迭代步，采用如圖4所示的兩尺度一致割線剛度算法[32]，即：初始迭代采用基于材料尺度的割線剛度模量，后續(xù)迭代采用基于結(jié)構(gòu)尺度的割線剛度模量，每隔一定迭代次數(shù)，更新材料尺度的割線剛度模量重新開始迭代，以降低計算中的誤差累積，減小帶寬。該算法能很好地描述結(jié)構(gòu)的行為，同時可以提高計算效率與穩(wěn)健性。

圖4 兩尺度割線剛度算法Fig.4 Algorithm of two-level secant algorithm

3 案例分析

3.1 試驗說明

以桑迪亞國家實驗室(SNL)所做的預(yù)應(yīng)力混凝土安全殼(PCCV) [1]試驗為案例。如圖5 所示，該安全殼由圓柱面與穹頂組成，下部固結(jié)于基礎(chǔ)。殼體從內(nèi)向外分別為鋼襯板、內(nèi)層雙向鋼筋、雙向預(yù)應(yīng)力筋、外層雙向鋼筋以及填充其中的混凝土。徑向和環(huán)向分別有90 根與108 根預(yù)應(yīng)力筋錨固于基礎(chǔ)和扶壁。根據(jù)相關(guān)材料試驗[1]及研究[5]，混凝土的彈性模量為27 000 MPa，泊松比為0.21，抗拉強度為3.5 MPa，抗壓強度為60.3 MPa。鋼襯板、鋼筋、預(yù)應(yīng)力筋的彈性模量、屈服強度與極限強度分別為210 000 MPa、185 000 MPa、191 000 MPa，400 MPa、408 MPa、1680 MPa 和500 MPa、600 MPa、1857 MPa。安全殼的設(shè)計內(nèi)壓為Pd=0.39 MPa。建造完成后，對殼體內(nèi)部充氣進行試驗，當(dāng)內(nèi)壓達到約3.3Pd時，結(jié)構(gòu)喪失密閉性；當(dāng)殼內(nèi)有效內(nèi)壓達到約3.63Pd后，雖然充氣但內(nèi)壓不再繼續(xù)增加，隨后預(yù)應(yīng)力筋突然斷裂，結(jié)構(gòu)破壞。更多試驗信息請參考文獻[1]。

圖5 安全殼幾何尺寸 /mFig.5 Geometry of the PCCV

3.2 有限元模型及結(jié)果

根據(jù)第2 節(jié)內(nèi)容建立該安全殼有限元模型如圖6 所示。模型以結(jié)構(gòu)內(nèi)部尺寸為基準(zhǔn)，即柱面和穹頂?shù)陌霃綖?.375 m。相比上部結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)的剛度很大，因此分析中忽略基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)底部固結(jié)。

圖6 安全殼有限元模型Fig.6 Finite element model of the PCCV

柱面處的分層殼截面根據(jù)實際組成劃分為11 層，穹頂處截面在柱面截面的基礎(chǔ)上減少了環(huán)向預(yù)應(yīng)力筋層，為10 層。柱面和穹頂處的截面厚度分別為325 mm 和275 mm，扶壁處厚度為525 mm。各層厚度按照2.1 節(jié)所述方法確定，材料本構(gòu)關(guān)系根據(jù)2.2 節(jié)確定?；炷翉椥阅Ａ縀c為27 000 MPa，泊松比為0.21，抗拉和抗壓強度fc±為3.6 MPa 和60 MPa，應(yīng)變 ε±c分別為0.0004和0.003，受拉和受壓下降段參數(shù) α±為0.001 和0.05。由于分層殼模型不能模擬不同材料層之間的粘結(jié)滑移，相比實際試驗，模擬中的截面剛度有所增大，因此鋼襯板、鋼筋和預(yù)應(yīng)力筋的材料參數(shù)值在試驗參數(shù)值的基礎(chǔ)上有所減小，用以修正模擬中偏大的截面剛度。根據(jù)試驗和模擬中的材料參數(shù)值得到的材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線如圖7 所示，可以看到模擬所用參數(shù)值與實際試驗中的參數(shù)值相差不大。

圖7 有限元模擬的材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.7 Stress-strain curves of different materials used in finite element simulation

結(jié)構(gòu)自重通過設(shè)置材料密度與重力加速度實現(xiàn)，內(nèi)壓通過殼面均布荷載施加。因分層殼單元不便直接施加預(yù)應(yīng)力，且可靠性分析并不關(guān)注初始預(yù)應(yīng)力作用下結(jié)構(gòu)的受力，故本文采用等效內(nèi)壓方式[9]考慮初始預(yù)應(yīng)力。根據(jù)薄殼結(jié)構(gòu)的環(huán)向和徑向應(yīng)力與殼內(nèi)壓力之間的關(guān)系，初始預(yù)應(yīng)力可以等效為作用于殼內(nèi)的反向壓力，即與實際施加的內(nèi)壓方向相反。根據(jù)試驗報告[1]，本模型的初始預(yù)應(yīng)力以等效內(nèi)壓1.2Pd考慮，模擬中施加內(nèi)壓為實際內(nèi)壓與等效內(nèi)壓之差，例如模擬中施加2.3Pd內(nèi)壓時，對應(yīng)于試驗中的3.5Pd內(nèi)壓。

結(jié)構(gòu)基本單元大部分為S4R，局部少量S3，單元尺寸約為0.5 m，有限元模型包含2493 個節(jié)點和2474 個單元?；贗ntel(R) Core(TM) i7-8700K119 CPU @ 3.70 GHz 的計算機平臺，整個分析可在20 min 以內(nèi)完成。

圖8 為試驗和模擬所得不同內(nèi)壓下的變形結(jié)果對比圖，其中左側(cè)圖為324°立面處的變形圖，右側(cè)為4.680 m 高度處平面變形圖，圖中變形均放大了100 倍。整體來看，無論是平面變形還是立面變形，不同內(nèi)壓下的模擬結(jié)果與試驗結(jié)果均吻合良好。比較而言，平面變形結(jié)果中，試驗變形曲線更不均勻，而模型由于在整體分析中有所簡化，整體變形更為均勻。

圖8 安全殼模擬與試驗變形曲線對比Fig.8 Comparison of deformation curves between the simulation and experiment

分析結(jié)果表明，該有限元模型可以在較短時間內(nèi)獲得較為準(zhǔn)確的模擬結(jié)果，具有保證基本計算精度、提高計算效率的優(yōu)勢。

3.3 隨機參數(shù)選擇

在實際安全殼的建造與使用中，有眾多隨機因素，如材料參數(shù)、預(yù)應(yīng)力損失、初始建造缺陷、事故溫度分布等，本文重點研究材料特性的隨機性對結(jié)構(gòu)可靠性的影響。根據(jù)3.2 節(jié)有限元模型, 考慮隨機參數(shù)如表1 所示，其中均值為3.2 節(jié)有限元分析所用參數(shù)值，變異系數(shù)和分布形式則參考已有研究[1,33]確定。

表1 隨機參數(shù)取值Table 1 Values of random parameters

基于隨機變量的概率分布形式，采用廣義F-偏差法[34]選取200 個不重復(fù)的高維隨機樣本點Θ={Θi|i=1,2,···,200} 為 代表點，每一樣本點 Θi為一個10 維向量，包含10 個表1 中的材料參數(shù)，且其賦得概率為 Pr{Θ=Θi}=qi。由于廣義F-偏差法通過聯(lián)合概率密度函數(shù)求得每個樣本點的賦得概率，該方法本質(zhì)上已經(jīng)考慮了隨機變量的整體概率空間信息。

代表點選定后，即可根據(jù)3.2 節(jié)進行相應(yīng)的有限元模擬。由于材料參數(shù)隨機，每個模型分析時間不等。基于Intel(R) Core(TM) i7-8700K119 CPU@ 3.70 GHz 的計算機平臺，200 次有限元分析基本可在40 h 內(nèi)完成。

3.4 失效準(zhǔn)則

安全殼失效可分為功能性失效和結(jié)構(gòu)性失效，其中功能性失效表示安全殼失去防止泄露的功能，此時放射性物質(zhì)開始向外泄露；結(jié)構(gòu)性失效則是安全殼的結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞，無法通過修復(fù)而繼續(xù)使用。目前對安全殼失效準(zhǔn)則的選取，尚無統(tǒng)一、公認的標(biāo)準(zhǔn)。

部分研究根據(jù)不同材料的應(yīng)變是否超過某一限值來判斷安全殼是否失效。然而，由于本文使用分層殼單元，且未考慮不同材料層之間的粘結(jié)滑移，各層實際應(yīng)變相差不大。此時，采用不同材料的應(yīng)變達到某一限值作為失效標(biāo)準(zhǔn)并不合適。

文獻[35]指出，可以采用整體應(yīng)變求安全殼結(jié)構(gòu)的承載力：對預(yù)應(yīng)力混凝土安全殼而言，當(dāng)預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)變達到0.8%(包含初始預(yù)變形的0.4%應(yīng)變及后續(xù)變形的0.4%應(yīng)變)且其他材料應(yīng)變也達到0.4%時，結(jié)構(gòu)功能性失效，此時整體應(yīng)變即為0.4%。文獻[36]提到，對于安全殼在壓力作用下的分析而言，有大量的證據(jù)表明：對于準(zhǔn)靜態(tài)加壓的有鋼襯板的安全殼，當(dāng)柱面整體應(yīng)變達到1%～2%時，就會發(fā)生局部的鋼襯板撕裂，之后預(yù)應(yīng)力筋迅速斷裂，結(jié)構(gòu)破壞。試驗結(jié)果[1,36 ? 37]同樣表明，整體應(yīng)變達到約0.4%時，鋼襯板開始出現(xiàn)裂縫；結(jié)構(gòu)破壞后測得的未斷裂環(huán)向鋼筋最大應(yīng)變?yōu)?.4%，而這一應(yīng)變與基于位移的整體應(yīng)變保持一致。此外，由圖8 可以看到，試驗中該安全殼結(jié)構(gòu)破壞后，所得最大徑向位移約在324°/4.680 m 處，為0.09625 m，相應(yīng)的整體應(yīng)變?yōu)?.79%，處于1%～2%范圍內(nèi)。

綜合上述試驗研究可以看到，當(dāng)整體應(yīng)變達到約0.4%時，結(jié)構(gòu)功能性失效；當(dāng)整體應(yīng)變達到1%～2%時，發(fā)生結(jié)構(gòu)性失效。

由于本文模型基于分層殼單元，且以計算安全殼的整體可靠度為研究目標(biāo)，選擇整體應(yīng)變作為失效指標(biāo)是最合理的。整體應(yīng)變定義為：

式中：?為徑向位移；R為安全殼柱面部分的半徑，為5.375 m?？梢钥吹剑搼?yīng)變實質(zhì)為安全殼柱面處的環(huán)向應(yīng)變。

根據(jù)前述分析，本文以整體應(yīng)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)的失效指標(biāo)，且當(dāng)整體應(yīng)變分別達到0.4%和1.5%時，安全殼發(fā)生功能性失效與結(jié)構(gòu)性失效。

3.5 可靠性計算結(jié)果

根據(jù)3.4 節(jié)的失效準(zhǔn)則，可靠性分析以結(jié)構(gòu)徑向位移為目標(biāo)分析響應(yīng)。根據(jù)式(21)，可以得到功能性失效和結(jié)構(gòu)性失效的臨界徑向位移分別為21.5 mm 和80.6 mm。

圖9 給出200 個樣本在設(shè)備閘門上部節(jié)點(334°/4.680 m)的內(nèi)壓與徑向位移關(guān)系曲線?？梢钥吹?，由于初始預(yù)應(yīng)力以等效內(nèi)壓表示，當(dāng)內(nèi)壓增大到1.2Pd的等效內(nèi)壓時，整個結(jié)構(gòu)開始承受內(nèi)壓，并開始變形。當(dāng)內(nèi)壓較小時，位移隨內(nèi)壓增加呈線性緩慢增加；當(dāng)內(nèi)壓增加到約3Pd時，位移突然迅速增加，直至該部分位移超過臨界位移21.5 mm 和80.6 mm，進而失效。

圖9 安全殼設(shè)備閘門上部區(qū)域的內(nèi)壓-位移曲線Fig.9 Curve of internal pressure with displacement of the zone near the equipment hatch of the PCCV

當(dāng)安全殼某點的徑向位移達到臨界位移時，此時的內(nèi)壓即為該點的內(nèi)壓承載力。求某一內(nèi)壓p作用下安全殼某點的可靠性，既可以由實際徑向位移小于臨界位移求得，也可以由所施加內(nèi)壓小于承載力求得。兩種情況下，式(8)所定義的極限狀態(tài)函數(shù)可以表示為：

式中：?lim為臨界位移，對功能性失效和結(jié)構(gòu)性失效分別為21.5 mm 和80.6 mm；?(Θ,p)為不同樣本計算所得的內(nèi)壓p作用下某點的徑向位移；pu(Θ)是根據(jù) ?lim計算所得不同樣本在該點的內(nèi)壓承載力。

當(dāng)以內(nèi)壓大于承載力判斷結(jié)構(gòu)失效時，根據(jù)式(9)，結(jié)合式(22)，可得任意內(nèi)壓p作用下結(jié)構(gòu)某點安全的概率為：

式中，f(pu)為承載力的概率密度分布函數(shù)。

由式(23)可以看到，只需求得承載力的概率密度分布函數(shù)f(pu)，即可得到任意內(nèi)壓下結(jié)構(gòu)某點處的可靠度。參考文獻[38]并經(jīng)假設(shè)檢驗，可認為承載力pu服從對數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：

式中：λ=E(lnpu) 為對數(shù)均值；為對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)分布參數(shù) λ 和 β，可得承載力的均值μ和 方差 σ2如下：

根據(jù)響應(yīng)的分布及式(7)，可得到分布參數(shù)λ 和β ，代入式(24)可得承載力概率密度函數(shù)f(pu)。結(jié)合式(23)即可得到結(jié)構(gòu)某點在內(nèi)壓p作用下的安全概率，根據(jù)式(10)又可得相應(yīng)的失效概率。

為考察安全殼不同點處的可靠性，選取設(shè)備閘門側(cè)P1 點、設(shè)備閘門頂P2 點、扶壁中部P3 點及柱面與穹頂相接處P4 點共四處為代表點，根據(jù)失效標(biāo)準(zhǔn)確定承載力，并進行統(tǒng)計分析，確定各分布參數(shù)如表2。

表2 安全殼典型部位承載力統(tǒng)計參數(shù)Table 2 Statistical parameters of internal pressure capacity of typical parts of the PCCV

將表2 中的分布參數(shù)代入式(24)，得到代表點在功能性失效和結(jié)構(gòu)性失效狀態(tài)下的承載力概率密度曲線如圖10 所示。可以看到，不同點處的承載力分布曲線呈現(xiàn)很大不同。相比而言，結(jié)構(gòu)性失效狀態(tài)的概率密度曲線相差更小。無論是功能性失效還是結(jié)構(gòu)性失效，在同一內(nèi)壓下，設(shè)備閘門附近的P1 點和P2 點的失效概率更大，扶壁處P3 點由于截面厚度較大而失效概率較小，柱面穹頂相接處的P4 點由于周邊受力較小，失效概率最小。

圖10 安全殼典型部位的內(nèi)壓承載力概率密度曲線Fig.10 Probability density curves of internal pressure capacity of typical parts of the PCCV

從圖10 可以看到，不同部位在同一內(nèi)壓下的可靠性也有所不同。在1.3 節(jié)已經(jīng)提到，實際結(jié)構(gòu)的可靠性一般要從結(jié)構(gòu)整體考慮。對安全殼結(jié)構(gòu)，當(dāng)其某一處失效時，即認為整體結(jié)構(gòu)失效，為一串聯(lián)系統(tǒng)。根據(jù)式(14)和式(22)，結(jié)構(gòu)的最小極限狀態(tài)函數(shù)可以表示為：

式中，pu(Θ)min為安全殼各點處承載力的最小值，對應(yīng)于整個安全殼的最大徑向位移達到臨界值時的內(nèi)壓。

為得到安全殼的內(nèi)壓承載力分布，首先求得每個樣本在任意內(nèi)壓下結(jié)構(gòu)的最大徑向位移，該最大位移可能發(fā)生在結(jié)構(gòu)的任意一點處。然后根據(jù)失效準(zhǔn)則確定每個樣本的承載力。承載力分布直方圖與擬合對數(shù)正態(tài)分布曲線見圖11，同時圖中給出根據(jù)式(25)計算所得的承載力均值和方差。可以看到，安全殼的承載力分布與對數(shù)正態(tài)分布吻合較好。相比功能性失效，結(jié)構(gòu)性失效狀態(tài)下，承載力的均值和方差均更大。

圖11 安全殼的整體承載力概率分布Fig.11 Probability distribution of the internal pressure capacity of the PCCV

根據(jù)圖11 結(jié)果，結(jié)合式(23)，可以得到結(jié)構(gòu)的整體失效概率曲線如圖12 所示。隨著內(nèi)壓增加，安全殼結(jié)構(gòu)的失效概率逐漸增加。當(dāng)內(nèi)壓小于3Pd時，結(jié)構(gòu)失效概率為0；在3.6Pd時，結(jié)構(gòu)達到100%功能性失效；當(dāng)內(nèi)壓增大到4Pd時，達到完全的結(jié)構(gòu)性失效狀態(tài)。實際試驗表明，當(dāng)殼內(nèi)有效內(nèi)壓分別達到3.3Pd和3.63Pd時，結(jié)構(gòu)達到功能性失效和結(jié)構(gòu)性失效狀態(tài)。圖12 表明在3.3Pd內(nèi)壓作用下，模擬所得的功能性失效概率已經(jīng)達到72.03%；而內(nèi)壓增大到3.63Pd時的結(jié)構(gòu)性失效概率也達到68.78%。這些結(jié)果表明，當(dāng)內(nèi)壓增加到3.3Pd和3.63Pd時，模擬中的安全殼有很大概率(大于50%)已經(jīng)達到功能性失效和結(jié)構(gòu)性失效，與實際試驗具有一致性。

圖12 安全殼的失效概率曲線Fig.12 Failure probability curve of the PCCV

4 結(jié)論

本文進行了安全殼在事故內(nèi)壓下的可靠性分析。通過一個典型案例的研究，證明分析方法的有效性。得到以下結(jié)論：

(1) 有限元分析模型結(jié)合分層殼單元、混凝土損傷軟化本構(gòu)與割線剛度算法能夠模擬安全殼的非線性響應(yīng)，可在保證基本計算準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上減小建模復(fù)雜度，降低計算成本，是一種有效的安全殼模擬方法。

(2) 根據(jù)概率守恒原理，在已知隨機變量分布的情況下，采用適當(dāng)?shù)母怕士臻g剖分方法，僅通過有限樣本的計算即可得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的準(zhǔn)確概率分布。概率守恒原理與一般可靠性分析方法的共同應(yīng)用，可以在保證計算結(jié)果準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，減小計算樣本的數(shù)量，提高計算效率。

(3) 以分層殼單元為基礎(chǔ)的安全殼模型，由于不同材料層的應(yīng)變基本一樣，以材料應(yīng)變達到臨界值來衡量結(jié)構(gòu)失效并不合適。此時，可以采用結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變作為失效指標(biāo)，該應(yīng)變?yōu)閺较蛭灰婆c安全殼柱面半徑之比，實際為柱面環(huán)向應(yīng)變。研究表明，該指標(biāo)基本可以從整體衡量結(jié)構(gòu)是否失效。

(4) 案例分析表明，桑迪亞實驗室試驗的安全殼結(jié)構(gòu)，其內(nèi)壓承載力基本服從對數(shù)正態(tài)分布。當(dāng)以整體應(yīng)變?yōu)槭е笜?biāo)時，經(jīng)可靠性計算，在3 倍和3.2 倍設(shè)計內(nèi)壓作用下，功能性和結(jié)構(gòu)性失效概率均為0；內(nèi)壓增大到3.6 倍和4 倍設(shè)計內(nèi)壓時，功能性和結(jié)構(gòu)性失效概率分別達到100%。在3.3 倍和3.63 倍設(shè)計內(nèi)壓下，有限元模型發(fā)生功能性失效和結(jié)構(gòu)性失效的概率分別達到72.03%和68.78%，此時，實際試驗中的安全殼分別達到功能性和結(jié)構(gòu)性失效狀態(tài)?？梢钥吹剑M結(jié)果與試驗結(jié)果在可靠性方面具有一致性。