王曉明，趙建領(lǐng)，孫 遠(yuǎn)，汪 帆，王 歡，李鵬飛，陶 沛，賀耀北

(1.長安大學(xué)公路學(xué)院，陜西，西安 710064；2.華中科技大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，湖北，武漢 430074；3.四川省公路規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川，成都 610041；4.湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院有限公司，湖南，長沙 410008)

作為抗風(fēng)抗震、車橋耦合振動(dòng)控制及碰撞沖擊防護(hù)等動(dòng)力災(zāi)變防控的研究基點(diǎn)，橋梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)模型研究持續(xù)受到廣泛關(guān)注[1?3]。這其中，基于有限元方法的離散模型常被用于實(shí)時(shí)響應(yīng)的多尺度精細(xì)化分析，是結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估與損傷識別的可靠利器[4?5]。然而，有限元方法在模型前期處理過程易忽略未建模動(dòng)態(tài)的關(guān)鍵細(xì)節(jié)，存在的模型誤差使獲得的動(dòng)力響應(yīng)難以出現(xiàn)一致結(jié)果，在有限元模型修正、損傷識別等反演過程中，不可避免面臨迭代路徑冗長、復(fù)雜計(jì)算耗時(shí)等瓶頸，難以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)監(jiān)測與評估[6]。對比而言，基于解析方法的連續(xù)體模型不僅能夠顯著降低模型自由度，同時(shí)還可以建立關(guān)鍵參數(shù)與動(dòng)力響應(yīng)的全局映射關(guān)系，進(jìn)行動(dòng)力特性的連續(xù)參數(shù)化分析[7]。因此，建立高精度的連續(xù)體動(dòng)力模型，既能夠在較廣頻率范圍內(nèi)進(jìn)行動(dòng)力特性的全局敏感性分析，又能夠作為初步設(shè)計(jì)、模型修正與損傷識別的基準(zhǔn)解析模型來提供必要前置數(shù)據(jù)[8]。

空間索面自錨式懸索橋因其造型輕盈靈動(dòng)、結(jié)構(gòu)富有張力而常被作為地標(biāo)性建筑。然而，其纜索的空間耦合性以及子系統(tǒng)間的自平衡特性給連續(xù)體模型的建立與求解帶來很大困難。首先，不同于常規(guī)的平行纜索，空間纜索分處多個(gè)平面，主纜與吊索在交互節(jié)點(diǎn)處存在力流傳遞進(jìn)而改變彼此構(gòu)形，具有高度空間耦合性。目前，圍繞空間索面自錨式懸索橋現(xiàn)有文獻(xiàn)多集中于初始平衡狀態(tài)分析[9]、施工過程中的體系轉(zhuǎn)換[10? 11]等靜力研究，其自由振動(dòng)解析方法研究文獻(xiàn)仍較少，HUI 等[12]針對空間索面人行橋建立了6 自由度剖面模型來分析模態(tài)參數(shù)及非線性特征；XU 等[13?14]基于增量拉格朗日公式與運(yùn)動(dòng)學(xué)理論建立空間索面懸索橋連續(xù)體模型來分析關(guān)鍵參數(shù)對動(dòng)力特性的影響，但上述動(dòng)力研究僅能分析地錨式懸索橋中跨有限階次模態(tài)，纜索空間耦合性使得能反應(yīng)全橋模態(tài)參數(shù)的連續(xù)體模型難以建立。

其次，區(qū)別于傳統(tǒng)地錨式懸索橋，自錨式懸索橋呈現(xiàn)子系統(tǒng)間的內(nèi)部自平衡特性，其柔性纜-索子系統(tǒng)對塔-梁子系統(tǒng)的壓彎變形高度敏感，塔-梁子系統(tǒng)作為纜索的邊界約束又進(jìn)一步觸發(fā)纜索幾何構(gòu)形和內(nèi)力的改變，使其非線性問題更為顯著，動(dòng)力特性更為復(fù)雜。針對自平衡體系復(fù)雜的動(dòng)力特性，張?bào)阌甑萚15]、郭俊等[16]通過引入振動(dòng)形函數(shù)來規(guī)避對復(fù)雜微分方程的直接求解，進(jìn)而采用Rayleigh 法得到較為簡潔的近似解析解；但其求解精度過度依賴于振動(dòng)形函數(shù)的適配性，僅能獲取較為準(zhǔn)確的低階固有頻率，無法拓展至高階次模態(tài)參數(shù)研究?？梢?，如何解決上述局限性是關(guān)鍵癥結(jié)，而圍繞地錨式懸索橋的對稱性研究可以帶來重要啟示：經(jīng)典解析方法融合撓度理論和運(yùn)動(dòng)學(xué)原理通過推導(dǎo)纜-索-梁振動(dòng)方程并對其求解來分析模態(tài)參數(shù)，ABDEL-GHAFFAR[17]研究表明小幅度振動(dòng)下可將豎向與扭轉(zhuǎn)模態(tài)解耦；HAYASHIKAWA等[18]和KIM 等[19]研究表明剪切變形和主梁轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對豎向振動(dòng)特性影響有限；LUCO 等[20]研究了纜、梁相對剛度對豎向振動(dòng)的影響；ZHANG 等基于D'Alembert 原理推導(dǎo)了豎向和扭轉(zhuǎn)模態(tài)的封閉解[21]，并研究了主纜抗彎剛度對模態(tài)的影響[22]。然而，將上述方法直接應(yīng)用于自平衡體系時(shí)，仍將面臨復(fù)雜微分方程建立與求解難題，目前尚鮮有相關(guān)研究，該問題亟待解決。

上述經(jīng)典解析方法均忽略了吊索彈性剛度對纜-索-梁振動(dòng)系統(tǒng)的作用，通過假定纜-梁位移一致，使得振動(dòng)方程較易于求解。此假定的局限性在地錨式懸索橋的相關(guān)研究中已有體現(xiàn)：TURMO等[23]以地錨式懸索橋?yàn)檠芯繉ο?，在振?dòng)方程推導(dǎo)過程中考慮了吊索的拉伸效應(yīng)，表明當(dāng)主梁相對彈性抗彎剛度更大時(shí)，吊索彈性剛度對較高階次模態(tài)頻率有較大影響；在此基礎(chǔ)上，GWON 和CHOI[24]以不同主梁支撐形式的地錨式懸索橋?yàn)閷ο?，分析了吊索能否拉伸對模態(tài)參數(shù)的影響規(guī)律，表明吊索拉伸與否會(huì)顯著影響半漂浮體系懸索橋高階次反對稱模態(tài)頻率。然而，對于具有纜索空間耦合性和子系統(tǒng)間自平衡性的空間索面自錨式懸索橋，如何在動(dòng)力連續(xù)體模型中考慮吊索彈性變形效應(yīng)，面臨著多體系耦合等因素制約，目前尚未見相關(guān)研究報(bào)道。

本文將撓度理論推廣至振動(dòng)形態(tài)，推導(dǎo)纜-索-梁空間耦合變形方程與相容方程，建立可考慮吊索拉伸效應(yīng)的空間索面自錨式懸索橋自由振動(dòng)連續(xù)體模型，并將其無量綱化；采用伽遼金方法將模型轉(zhuǎn)化為矩陣形式，求解連續(xù)體模型的模態(tài)頻率及振型；分別利用文獻(xiàn)中的平行索面自錨式懸索橋數(shù)值算例，以及空間索面自錨式懸索橋有限元算例，驗(yàn)證無量綱連續(xù)體模型的精確性與適用性，并對特征參數(shù)進(jìn)行敏感性分析以識別動(dòng)力特性變化規(guī)律。

1 空間索面自錨式懸索橋的無量綱連續(xù)體模型

1.1 連續(xù)體模型

1.1.1 主纜的空間線形方程

空間索面自錨式懸索橋連續(xù)體模型遵循以下假設(shè)：① 恒載沿全橋均勻分布，主纜承擔(dān)全部恒載；② 恒載作用下，主纜線形為拋物線；③ 吊索無質(zhì)量，主梁不發(fā)生縱橋向漂移；④ 由于振動(dòng)引起的主纜附加水平力遠(yuǎn)小于初始恒載水平力，因此假設(shè)各跨附加水平力相等；⑤ 振動(dòng)過程中由于吊索可沿軸向拉伸，纜-梁位移不等，但都遵循小位移假定；⑥ 空間索面傾角沿全橋一致，振動(dòng)中傾角變化量可忽略。

如圖1 所示，主纜空間線形投影在豎平面的方程，可依次表示為[23]：

圖1 空間索面自錨式懸索橋參數(shù)Fig.1 Parameters of a self-anchored suspension bridge with spatial cables

圖1 中：mc、mg分別為單位長度主纜、主梁質(zhì)量；Ec、Ic和Ac分別為主纜彈性模量、慣性矩和面積；Eg、Ig和Ag分別為主梁彈性模量、慣性矩和面積；Eh、Ah分別為吊索彈性模量、面積；Lhz、Lhy分別為主纜IP 點(diǎn)至橋面?zhèn)仍谪Q平面、水平面的長度分量；dh為吊桿間距；θ 為空間索面傾角；Lj為各跨跨長；fzj、fyj和foj分別為各跨豎平面、水平面和傾斜平面內(nèi)的主纜垂度；zcj、ycj和ocj為初始平衡狀態(tài)下各跨主纜在豎平面、水平面和傾斜平面的坐標(biāo)。

由假設(shè)⑥可得其余兩平面主纜線形：

1.1.2 考慮吊索拉伸效應(yīng)的纜-索-梁空間耦合變形方程

針對其中單跨，Hw為初始平衡態(tài)下主纜初始水平力，Hp為振動(dòng)引起的主纜附加水平力。由假設(shè)式(1)、式(2)可得主纜初始平衡態(tài)下豎平面、水平面平衡方程為[25]：

式中，hz、hy為吊索豎直、水平分力。在初始平衡態(tài)下，hz=mgg/2、hy=mgg/(2tanθ)，則主纜初始水平力：

吊索初始平衡態(tài)和振動(dòng)變形態(tài)，如圖2 所示，振動(dòng)過程中豎平面、水平面吊索平衡方程為：

圖2 吊索橫截面受力圖式Fig.2 Load conditions of the hanger in cross-sectional view

式中，hp為振動(dòng)引起的吊索附加索力，可表示為：

其中，由假設(shè)③可得吊索沿主梁方向單位長度的分布彈性軸向剛度kho為：

式中，lho為吊索傾斜長度，lho=Lhz/sinθ?oc。其中，振動(dòng)引起的吊索伸長量δho，可表示為[26]：

式中：wc、vc為振動(dòng)引起的主纜豎向、橫向位移，wg為振動(dòng)引起的主梁豎向位移，如圖3 所示。

圖3 纜-索-梁空間變形圖式Fig.3 Spatial deformation conditions of the main cable-hanger-girder

1.1.3 振動(dòng)形態(tài)撓度理論

文獻(xiàn)[27]通過建立大位移不完全廣義勢能泛函，并通過約束變分推導(dǎo)出平行索面自錨式懸索橋豎向振動(dòng)微分方程，研究表明，忽略主梁剪切應(yīng)變能，豎向可與縱橫向及扭轉(zhuǎn)等模態(tài)解耦。據(jù)此，本文基于撓度理論并將其拓展至振動(dòng)形態(tài)，主纜振動(dòng)微分方程可表示為[28]：

主梁振動(dòng)微分方程可表示為[28]：

由假設(shè)式④，Hw+Hp≈Hw；將式(6)～式(8)依次代入式(9)～式(10)化簡，重排并拓展至多跨，得到纜-索-梁體系空間耦合振動(dòng)微分方程組：

式中，方程未知量為主纜豎向位移wcj、主纜橫向位移vcj、主梁豎向位移wgj和主纜附加水平力Hp。

1.1.4 考慮自平衡性的相容方程

變形協(xié)調(diào)作為求解耦合振動(dòng)微分方程的補(bǔ)充條件[29]，依據(jù)自錨式懸索橋纜-索-梁體系受載變形下主纜伸長水平分量與主梁壓縮量一致的條件，空間纜-梁變形相容方程可表示為：

將式(12)化簡，振動(dòng)引起的主纜附加水平力可表示為：

式中：

1.2 無量綱化

為更好識別動(dòng)力特性的控制參數(shù)，將式(11)無量綱處理[23]，基本變量無量綱變換可表示為：

將式(14)代入式(11)，得無量綱振動(dòng)微分方程組：

式中的無量綱參數(shù)分別為：

每跨吊索相應(yīng)的無量綱長度為：

式(15)表明，纜-索-梁體系豎向自由振動(dòng)特性由式(16)中6 個(gè)無量綱特征參數(shù)和空間索面傾角共同控制。式中：為主梁相對質(zhì)量；為邊跨相對長度；為主纜相對垂度；λ2為Irvine 剛度系數(shù)[30]，表征主纜幾何與彈性剛度的關(guān)系，即主纜相對彈性軸向剛度；α2為Steinman 剛度系數(shù)[31]，是主梁彈性抗彎剛度與主纜重力剛度的比值，即主梁相對彈性抗彎剛度；χ2反映主梁相對質(zhì)量與吊索恒載應(yīng)變的關(guān)系，即吊索相對彈性軸向剛度[23]。

2 伽遼金求解方法

2.1 纜梁的邊界與形函數(shù)

主梁為3 跨連續(xù)梁，有12 個(gè)邊界條件，即各支點(diǎn)處豎向位移為0，跨內(nèi)支點(diǎn)兩端轉(zhuǎn)角及彎矩相等，以及邊支點(diǎn)彎矩為0：

主纜和主梁的無量綱位移設(shè)定為：

式中：N為形函數(shù)階次；為待定系數(shù)；是滿足式(18)幾何和力學(xué)邊界的主纜振動(dòng)形函數(shù)，可表示為：

2.2 求解流程

建立求解流程如圖4 所示，其中各公式推導(dǎo)過程如下。

圖4 無量綱連續(xù)體模型求解流程Fig.4 Solution procedure of the dimensionless continuum model

將式(20)代入式(15)后乘主纜、主梁相應(yīng)形函數(shù)并積分，可到7N 個(gè)方程和7N 個(gè)未知數(shù)(cj1,cj2, …,cjN、g1, g2, …, gN 和rj1, rj2, …, rjN)，格式如下：

將式(22)化簡并重排成矩陣形式，可表示為：

式中：

其中：

式(23)中無量綱質(zhì)量矩陣M7N×7N為對角矩陣，可表示為：

式中：

其中：

式(23)中無量綱剛度矩陣K7N×7N可表示為：

[Kcg]7N×7N主纜無量綱幾何剛度矩陣 為對角矩陣，可表示為：

式中：

其中：

式中：

其中：

可表示為：

式中：

其中：

式中：

其中：

連續(xù)體模型對應(yīng)的振型可通過式(20)獲得，連續(xù)體模型固有頻率為：

3 算例分析

將本文提出的無量綱連續(xù)體模型編制成程序，利用現(xiàn)有數(shù)值算例和有限元模型驗(yàn)證連續(xù)體模型的普適性與準(zhǔn)確性。程序運(yùn)行環(huán)境為：MATLAB R2016a，處理器Intel(R) Core(TM) i7-6700HQ CPU@ 2.60 GHz、內(nèi)存8 GB。

3.1 文獻(xiàn)算例驗(yàn)證

本算例校驗(yàn)不同類型索面下連續(xù)體模型的普適性。采用文獻(xiàn)[27]中平行索面混凝土自錨式懸索橋作為算例，結(jié)構(gòu)參數(shù)詳見文獻(xiàn)中的表1“構(gòu)件材料特性和截面特性”。

表1 文獻(xiàn)與連續(xù)體模型固有頻率結(jié)果對比Table 1 Comparison of natural frequencies between reference and the continuum model

連續(xù)體模型中將空間傾角設(shè)定為θ=90°，使其退化為平行索面連續(xù)體模型，形函數(shù)階次設(shè)定為N=10，求解本算例的固有頻率及振型，程序運(yùn)行共耗時(shí)25.24 s。固有頻率結(jié)果對比見表1，其中數(shù)值解1 為大連理工大學(xué)專用程序DDJ-W 計(jì)算結(jié)果，數(shù)值解2 為ANSYS 計(jì)算結(jié)果；解析解1 為文獻(xiàn)[27]利用大位移不完全廣義勢能泛函推導(dǎo)出的經(jīng)典解析結(jié)果，解析解2 為文獻(xiàn)[15]利用Rayleigh法推導(dǎo)出的計(jì)入主塔剛度的近似解析結(jié)果，解析解3 為本文考慮吊索拉伸效應(yīng)的連續(xù)體模型給出的經(jīng)典解析結(jié)果。以數(shù)值解均值為參考對比三類解析解準(zhǔn)確性，連續(xù)體模型固有頻率與文獻(xiàn)結(jié)果基本吻合，保證了連續(xù)體模型在退化為平行索面時(shí)依然具有普適性；連續(xù)體模型計(jì)算的1 階對稱、反對稱振型示于圖5。

圖5 平行索面自錨式懸索橋算例振型Fig.5 Example of a self-anchored suspension bridge with parallel cables mode shapes

3.2 有限元模型驗(yàn)證

本算例校驗(yàn)空間索面連續(xù)體模型的準(zhǔn)確性。采用MIDAS CIVIL 建立有限元模型進(jìn)行特征值分析，如圖6 所示，橋塔、主梁均采用梁單元模擬，主纜、吊索均采用索單元模擬；吊索-主梁剛性連接，主纜-梁端剛性連接且主梁全橋連續(xù)，橋塔塔底固結(jié)，結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。

表2 空間索面自錨式懸索橋算例參數(shù)Table 2 Example parameters of a self-anchored suspension bridge with spatial cables

圖6 空間索面自錨式懸索橋有限元模型Fig.6 Finite element model of a self-anchored suspension bridge with spatial cables

為便于后續(xù)特征參數(shù)敏感性分析時(shí)驗(yàn)證吊索相對軸向彈性軸向剛度的貢獻(xiàn)，按照是否考慮吊索拉伸效應(yīng)，連續(xù)體模型分為2 類：CM-Ext 為考慮吊索拉伸效應(yīng)的連續(xù)體模型，χ2為實(shí)際參數(shù)計(jì)算值；反之，CM-InExt 則不考慮吊索拉伸效應(yīng)，認(rèn)為吊索剛度足夠大而無法變形，設(shè)定χ2=1×106。

連續(xù)體模型形函數(shù)階次設(shè)定為N=24，求解固有頻率及振型，程序運(yùn)行共耗時(shí)90.49 s。前8 階對稱與反對稱模態(tài)的固有頻率，與有限元模型固有頻率結(jié)果對比見表3，1 階反對稱模態(tài)固有頻率誤差為?6.47%，2 階反對稱模態(tài)固有頻率誤差為?7.89%，其余各階次模態(tài)固有頻率誤差均在±6%以下，連續(xù)體模型與有限元模型結(jié)果基本吻合，用于動(dòng)力特性的連續(xù)參數(shù)化分析是可靠、準(zhǔn)確的；限于篇幅，僅展示前3 階對稱、反對稱振型，如圖7、圖8 所示。

表3 連續(xù)體模型與有限元模型固有頻率結(jié)果對比Table 3 Comparison of natural frequency between the continuum model and finite element model

圖7 連續(xù)體模型與有限元模型對稱振型對比Fig.7 Comparison of symmetric mode shapes between the continuum model and finite element model

圖8 連續(xù)體模型與有限元模型反對稱振型對比Fig.8 Comparison of antisymmetric mode shapes between the continuum model and finite element model

3.3 特征參數(shù)敏感性分析

在研究相對剛度特征參數(shù)和空間索面傾角對動(dòng)力特性的影響時(shí)，僅改變既定分析參數(shù)，保證其他參數(shù)維持不變。分別將主梁相對彈性抗彎剛度設(shè)定為 α2/5、α2、5 α2；主纜相對彈性軸向剛度設(shè)定為λ2/2、λ2、2λ2；空間索面傾角設(shè)定為60°、70°、80°、90°。除此之外，將同時(shí)采用CM-Ext與CM-InExt 分別進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算，來分析吊索相對彈性軸向剛度的貢獻(xiàn)。

3.3.1 空間索面傾角

圖9 展示了空間索面傾角對固有頻率的影響。總體而言，空間索面傾角對各階次模態(tài)頻率的影響甚為微弱，僅對低階次(1 階～3 階)模態(tài)影響稍強(qiáng)，θ從60°增至90°過程中，如圖9(a)所示，1S 頻率增長分別為3.76%、2.22%和0.73%；如圖9(b)所示，1AS 頻率增長分別為3.74%、2.28%和0.76%，變化幅度逐漸放緩。高階次(4 階～8 階)模態(tài)頻率增長均低于0.55%，基本不受索面傾角影響。值得注意的是，改變空間索面傾角的同時(shí)，關(guān)于主纜的積分項(xiàng)LE也會(huì)同步變動(dòng)，進(jìn)而導(dǎo)致主纜相對彈性軸向剛度 λ2變更，但其在懸索橋面內(nèi)的分量仍保持近似一致，這也是模態(tài)頻率基本不受空間索面傾角影響的原因所在。

圖9 空間索面傾角變化對固有頻率的影響Fig.9 Influence of horizontal angle of the inclined hanger plane on natural frequencies

3.3.2 主梁相對彈性抗彎剛度

圖10 給出了主梁相對彈性抗彎剛度對固有頻率的影響?？傮w而言，α2增大將顯著提升結(jié)構(gòu)整體剛度，使得各階次頻率均隨著 α2而增長。圖10(a)中，較之高階次(4 階～8 階) 對稱模態(tài)而言，低階次 (1 階～3 階)對稱模態(tài)頻率增幅較為緩和，其中，3S 頻率自 α2/5 增大到 α2時(shí)僅增大38.51%，2S 頻率自 α2變至5 α2時(shí)僅增大64.82%；而高階次對稱模態(tài)，各階次增幅均高于110%，其中，8S 頻率自 α2/5 增大到 α2時(shí)提升124.85%。如圖10(b)所示，與之不同的是，反對稱模態(tài)頻率隨著 α2增大均普遍得到顯著提升，其各階次頻率增幅均高于115%，且低階次頻率較高階次增幅稍大。

圖10 主梁相對彈性抗彎剛度對固有頻率的影響Fig.10 Influence of relative elastic bending stiffness of the main girder on natural frequencies

除此之外，當(dāng)自 α2/5 增大到 α2時(shí)，先后出現(xiàn)的前6 階模態(tài)自“1S-1AS-2AS-2S-3AS-3S”變動(dòng)至“1S-1AS-2AS-2S-3S-3AS”，其中的3AS、3S發(fā)生交叉，分別自0.3054 Hz、0.3607 Hz 遷移至0.6922 Hz、0.4996 Hz；后隨著 α2增大到5 α2時(shí)，先后出現(xiàn)的前6 階模態(tài)自“1S-1AS-2AS-2S-3S-3AS”變動(dòng)至“1S-1AS-2S-2AS-3S-3AS”，其中的2AS、2S 模態(tài)發(fā)生交叉(cross-over)，分別自0.2732 Hz、0.3545 Hz 遷移至0.6135 Hz、0.5843 Hz，在結(jié)構(gòu)抗風(fēng)抗震等動(dòng)力設(shè)計(jì)過程中尤其應(yīng)注意由主梁相對彈性抗彎剛度變化引起的模態(tài)交叉現(xiàn)象。

3.3.3 主纜相對彈性軸向剛度

圖11 反映了主纜相對彈性軸向剛度對固有頻率的影響。與2不同，λ2對各階次模態(tài)頻率影響有限，對于提升結(jié)構(gòu)整體剛度的效果稍弱。圖11(a)中，λ2對于低階次(1 階～3 階)對稱模態(tài)影響較為明顯，其中，2S 頻率自λ2/2 變至λ2時(shí)提升15.51%，3S 頻 率 自λ2變 至2λ2時(shí) 增 大17.99%；高 階 次(4 階～8 階)模態(tài)增長率均低于0.2%，基本不受λ2影響。圖11(b)中，各階次反對稱模態(tài)頻率增長均為0，與λ2無關(guān)，原因在于在反對稱模態(tài)下式15 第 1、3 分 式 中 與 λ2相 關(guān) 聯(lián) 的 積 分 項(xiàng)結(jié)果為0，這反映了反對稱模態(tài)下主纜并不能提供相對彈性軸向剛度。

圖11 主纜相對彈性軸向剛度對固有頻率的影響Fig.11 Influence of the relative elastic axial stiffness of the main cable on natural frequencies

3.3.4 吊索相對彈性軸向剛度

圖12 反映了空間索面傾角與是否考慮吊索拉伸效應(yīng)的兩類連續(xù)體頻率差的變化關(guān)系。總體而言，不同空間索面傾角下，各階次模態(tài)頻率差變化規(guī)律基本一致，其中，對稱模態(tài)最大頻率差為索面傾角60°時(shí)的0.0069 Hz(圖12(a))，反對稱模態(tài)最大頻率差為索面傾角90°時(shí)的0.0040 Hz(圖12(b))。結(jié)果表明，吊索相對彈性軸向剛度與空間索面傾角敏感度甚為微弱。

圖13 給出了 α2、λ2與是否考慮吊索拉伸效應(yīng)的兩類連續(xù)體模型頻率差的變化關(guān)系?？傮w上，CM-Ext 計(jì)算得到的頻率均低于CM-InExt，這反映了增大吊索相對彈性軸向剛度會(huì)提升部分結(jié)構(gòu)剛度。對于對稱模態(tài)而言，如圖13(a)所示，當(dāng)主纜相對彈性軸向剛度為2λ2時(shí)，3S 頻率差達(dá)0.0231 Hz；而當(dāng)主梁相對彈性抗彎剛度為5 α2時(shí)，8S 頻率差達(dá)0.1088 Hz，其余各階次頻率差均低于0.0125 Hz。對于反對稱模態(tài)而言，如圖13(b)所示，各階次頻率差均不受λ2變動(dòng)影響，當(dāng)主梁相對彈性抗彎剛度為5 α2時(shí)，8AS 頻率差則高達(dá)0.2128 Hz，CMExt 得出的頻率6.9633 Hz 也更接近FEM 得出的6.8173 Hz，其余各階次頻率差均低于0.015 Hz。結(jié)果表明，吊索相對彈性軸向剛度與主纜相對彈性剛度關(guān)聯(lián)并不密切，且僅影響低階次對稱模態(tài)；與主梁相對彈性抗彎剛度敏感度更為顯著，尤其當(dāng) α2較大時(shí)，對高階次模態(tài)影響較為強(qiáng)烈，反對稱模態(tài)尤甚。相比于CM-InExt，CM-Ext 與FEM 計(jì)算結(jié)果更為吻合，結(jié)果也更為準(zhǔn)確、可靠。

圖13 主梁相對彈性抗彎剛度、主纜相對彈性軸向剛度與兩類連續(xù)體模型(CM-InExt, CM-Ext)頻率差的關(guān)系Fig.13 Relationship between relative elastic bending stiffness of the main girder, relative elastic axial stiffness of the main cable and frequencies difference of two types of continuum models (CM-InExt, CM-Ext)

4 結(jié)論

本文基于振動(dòng)形態(tài)撓度理論，結(jié)合纜-索-梁空間耦合變形方程與相容方程，建立了考慮吊索拉伸效應(yīng)的空間索面自錨式懸索橋連續(xù)體模型；為便于識別其動(dòng)力特性，通過無量綱處理得到包含6 個(gè)無量綱特征參數(shù)和空間索面傾角在內(nèi)的無量綱連續(xù)體模型；采用伽遼金求解方法求解模態(tài)頻率與振型，結(jié)合數(shù)值算例和有限元模型驗(yàn)證其準(zhǔn)確性，并對其中特征參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。得出以下結(jié)論：

(1) 空間索面自錨式懸索橋因其空間纜索耦合特性與子系統(tǒng)間的內(nèi)部自平衡性與彈性協(xié)調(diào)性，使得建模分析過程冗長復(fù)雜；解析方法基于振動(dòng)形態(tài)撓度理論，結(jié)合吊索拉伸效應(yīng)的纜-索-梁空間耦合變形方程與考慮自平衡性的相容方程推導(dǎo)出可考慮吊索拉伸的無量綱連續(xù)體模型；力學(xué)機(jī)理清晰明確，高效解決了因其特性而造成非線性求解的難題。

(2) 吊索相對彈性軸向剛度χ2與主纜相對彈性軸向剛度λ2關(guān)聯(lián)并不密切，僅影響低階次對稱模態(tài)頻率；而與主梁相對彈性抗彎剛度 α2敏感度更為顯著，尤其 α2較大時(shí)，是否考慮吊索拉伸效應(yīng)將顯著影響高階次模態(tài)頻率的準(zhǔn)確性，反對稱模態(tài)尤甚，故考慮吊索拉伸效應(yīng)的連續(xù)體模型結(jié)果更為準(zhǔn)確可靠。

(3) 吊索相對彈性軸向剛度χ2與空間索面傾角θ關(guān)聯(lián)度較為微弱；各階次頻率受傾角的影響甚微，低階次模態(tài)頻率增幅隨傾角增大而漸緩，高階次模態(tài)頻率則基本不受其影響，原因在于懸索橋面內(nèi)主纜相對彈性軸向剛度仍近似一致。

(4) 主梁相對彈性抗彎剛度 α2將顯著提升各階次模態(tài)頻率，且對高階次對稱模態(tài)頻率與各階次反對稱模態(tài)頻率影響更為強(qiáng)烈，隨著 α2增大，模態(tài)間會(huì)出現(xiàn)交叉現(xiàn)象，需在動(dòng)力設(shè)計(jì)中引起重視；主纜相對彈性軸向剛度僅對低階次對稱模態(tài)影響較為顯著，而對反對稱模態(tài)頻率無影響。

與有限元模型相比，本文提出的連續(xù)體模型能高效準(zhǔn)確地計(jì)算不同類型索面自錨式懸索橋的模態(tài)參數(shù)，進(jìn)行動(dòng)力特性的連續(xù)參數(shù)化敏感性分析，并作為工程初步設(shè)計(jì)、有限元模型修正和損傷識別的基準(zhǔn)解析模型來提供必要前置數(shù)據(jù)。