王 明 陳小麗

(江蘇省昆山市第二中學(xué) 215300)(江蘇省昆山市第一中學(xué) 215300)

當(dāng)下課堂“課時(shí)情結(jié)”下,學(xué)生很少在一個(gè)連續(xù)的整體中去建構(gòu)知識(shí)體系,學(xué)生學(xué)到太多符號(hào)化、形式化的知識(shí),較少理解知識(shí)背后所含的邏輯含義、思想方法和價(jià)值意義.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:改變過于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì),推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[1].在這樣的目標(biāo)指向下,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生整體性、系統(tǒng)性地建構(gòu)知識(shí)體系,研究問題,歸納思想方法,形成問題解決策略,發(fā)展核心素養(yǎng).

一般觀念[2]也稱“大概念”(big idea),是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括,是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式、幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么、函數(shù)性質(zhì)指什么、概率性質(zhì)指什么等問題的一般性回答,是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論,對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式對(duì)事物進(jìn)行觀察、思考、分析,以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題等都具有指路明燈的作用.在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,一般指用整體理解來聯(lián)結(jié)相對(duì)分散的事實(shí)(情境)、知識(shí)、技能或經(jīng)驗(yàn),在單元或主題學(xué)習(xí)中促進(jìn)學(xué)習(xí)內(nèi)容、知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法、教育價(jià)值等方面發(fā)生遷移的思想.

一般觀念統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅為學(xué)生解決本節(jié)課的“眼前問題”,更重要的是通過數(shù)學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)方法的總結(jié),準(zhǔn)確把握知識(shí)的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵和生成路徑,滲透數(shù)學(xué)基本思想方法(數(shù)學(xué)化、抽象化、轉(zhuǎn)化與化歸)和關(guān)鍵能力(抽象概括、推理論證能力)的培養(yǎng),實(shí)現(xiàn)教育價(jià)值.基于上述理念,筆者以蘇科版教材八年級(jí)下冊(cè)第九章第三節(jié)“平行四邊形”為例,以“一般觀念”為統(tǒng)領(lǐng),做好單元整體教學(xué),幫助學(xué)生獲得“四基”,發(fā)展“四能”,用數(shù)學(xué)內(nèi)生力量發(fā)展學(xué)生的思維能力,提升核心素養(yǎng).

1 備課思考

一般觀念統(tǒng)領(lǐng)下,幾何問題研究指的是如何研究一類圖形及其關(guān)系的基本套路,是對(duì)內(nèi)容及其發(fā)生、發(fā)展過程中反映的數(shù)學(xué)思想和方法的再概括和再組織.正如吳增生[3]所言,本質(zhì)上是對(duì)諸如以下問題的一般性回答:如何通過抽象獲得研究對(duì)象?概念是怎樣定義的?幾何圖形的性質(zhì)指的是什么?判定是什么?從哪里出發(fā)研究?沿著什么路徑研究?用什么方法研究?

1.1 理解數(shù)學(xué),分析教學(xué)內(nèi)容

平行四邊形是最基本的幾何圖形之一,也是“圖形與幾何”領(lǐng)域中的主要研究對(duì)象.它在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用,“承上”指研究平行四邊形性質(zhì)和判定時(shí)要用到等腰三角形的研究“套路”和平行線、全等三角形、圖形旋轉(zhuǎn)等相關(guān)知識(shí),“啟下”指對(duì)特殊平行四邊形性質(zhì)和判定的研究路徑和思想方法起著重要的奠基作用;既是對(duì)等腰三角形學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的遷移,也是為特殊平行四邊形的學(xué)習(xí)思維模式搭建框架.

1.2 理解教學(xué),設(shè)計(jì)教學(xué)過程

設(shè)計(jì)適切情境來引入研究對(duì)象,讓學(xué)生體悟現(xiàn)實(shí)世界.通過精心設(shè)計(jì)問題,引導(dǎo)學(xué)生基于整體視野理解平行四邊形的知識(shí).感知定義是問題研究的邏輯起點(diǎn),從實(shí)驗(yàn)感知到理性證明,經(jīng)歷分析與思考,逐步從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí),逐步構(gòu)建系統(tǒng)知識(shí)體系,在邏輯層次中有序生成研究幾何對(duì)象的一般方法和基本“套路”,讓學(xué)生真實(shí)體悟平行四邊形內(nèi)容的學(xué)習(xí)歷程和育人價(jià)值.

1.3 理解學(xué)生,確定學(xué)習(xí)路徑

學(xué)生已有學(xué)習(xí)等腰三角形的經(jīng)驗(yàn),具有一定的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作能力,但邏輯推理能力仍需加強(qiáng)培養(yǎng).合理添加輔助線將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形來解決,是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn),是需要重點(diǎn)突破之處.學(xué)生對(duì)平行四邊形的概念、性質(zhì)、判定及應(yīng)用缺乏整體性認(rèn)識(shí).在整體視野下,確定本單元教學(xué)核心元素:邊、角、對(duì)角線.結(jié)合學(xué)情,通過探究式、啟發(fā)式教學(xué)方式,讓學(xué)生經(jīng)歷“情境導(dǎo)學(xué)—實(shí)驗(yàn)助學(xué)—思辨慎學(xué)—例題展學(xué)—反思省學(xué)”的學(xué)習(xí)思路,將平行四邊形的性質(zhì)和判定一體化呈現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力、嚴(yán)謹(jǐn)思維的態(tài)度、樂于探索的情感,發(fā)展學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的生長路徑,以及學(xué)以致用的價(jià)值觀.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 情境導(dǎo)學(xué),最近聯(lián)想,類比回顧一般路徑

適切的情境創(chuàng)設(shè)是課堂教學(xué)成功的重要因素,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的源泉[4].適切的情境設(shè)計(jì)不僅能迅速集中學(xué)生的課堂注意力,還能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與主動(dòng)探索的動(dòng)機(jī),促進(jìn)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng).

問題1在日常生活中,我們對(duì)一些幾何圖形有很多感性認(rèn)識(shí),給我們的生活帶來了許多美觀的感受.下面的圖片中有大家熟悉的圖形嗎?

圖1

追問1 大家認(rèn)為平行四邊形的學(xué)習(xí)可以類比之前學(xué)習(xí)中的哪類圖形?當(dāng)初我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?

教學(xué)說明學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等腰三角形,擁有一定的研究幾何圖形性質(zhì)和判定的經(jīng)驗(yàn).通過問題情境,抽象出平行四邊形這一研究對(duì)象,引導(dǎo)學(xué)生回憶、歸納已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),構(gòu)建單元學(xué)習(xí)路徑.類比等腰三角形的研究方法,對(duì)于平行四邊形的學(xué)習(xí),請(qǐng)學(xué)生類比思考如下問題:平行四邊形要研究哪些內(nèi)容?研究程序是什么?研究思路是什么?研究方法是什么?

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理、全等三角形、旋轉(zhuǎn)變換、中心對(duì)稱等知識(shí),具有一定的研究幾何圖形的經(jīng)驗(yàn).通過情境引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知學(xué)習(xí)路徑,梳理已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),遷移類比到平行四邊形的學(xué)習(xí)研究中,形成單元整體學(xué)習(xí)的先行組織者(圖2).

圖2

2.2 實(shí)驗(yàn)助學(xué),從感性到理性,深度理解性質(zhì)定理

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)艽龠M(jìn)學(xué)生手腦協(xié)同,啟思明理,通過“做數(shù)學(xué)”,經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程,能為學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的形成奠定必要的基礎(chǔ)[5].基于學(xué)情,從實(shí)驗(yàn)感知入手,引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生證明的意識(shí)并理解證明的必要性,進(jìn)一步探索對(duì)角線性質(zhì)的方法和論證路徑,形成數(shù)學(xué)思維的連貫性和一致性.

問題2通過小學(xué)的學(xué)習(xí),大家知道平行四邊形具有哪些性質(zhì)?如何獲得?

學(xué)生簡答:兩組對(duì)邊分別平行且相等,對(duì)角相等;通過直尺和量角器度量獲得.

追問2 你會(huì)證明上述結(jié)論嗎?

追問3 平行四邊形還有其他性質(zhì)嗎?如何獲得?你會(huì)證明嗎?

學(xué)生活動(dòng)通過度量方式驗(yàn)證“對(duì)邊相等,對(duì)角相等”,進(jìn)一步感受對(duì)邊平行,聯(lián)想三角形知識(shí),連接對(duì)角線,構(gòu)造三角形全等,證明性質(zhì)定理(與邊、角相關(guān)).歸納思路,將問題轉(zhuǎn)化為三角形來解決.從平行四邊形的定義出發(fā),結(jié)合平行線的性質(zhì),聯(lián)想并構(gòu)造全等三角形證明實(shí)驗(yàn)結(jié)論.進(jìn)一步觀察并動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作,通過合作旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,培養(yǎng)幾何直觀能力.結(jié)合中心對(duì)稱知識(shí),添加“輔助線”(連接對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O),易證△AOB≌△COD(或△AOD≌△COB),從而證明實(shí)驗(yàn)獲得的結(jié)論.

教學(xué)說明整體視野下教學(xué)設(shè)計(jì)重視知識(shí)體系,超越碎片的知識(shí)觀,追求數(shù)學(xué)知識(shí)生成的整體性、邏輯連貫性和思維一致性,自然形成單元知識(shí)體系,彰顯一般觀念的引領(lǐng).性質(zhì)在本質(zhì)上為圖形組成元素之間的關(guān)系,使學(xué)生明確定義是問題研究的邏輯起點(diǎn).以“實(shí)驗(yàn)+證明”的學(xué)習(xí)方式,讓學(xué)生合作學(xué)習(xí),使學(xué)生主動(dòng)參與實(shí)驗(yàn),自覺參與論證過程,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,能經(jīng)歷體驗(yàn)和感悟,思維力自然發(fā)展.同時(shí),強(qiáng)調(diào)初中幾何研究重點(diǎn)與小學(xué)不同之處就是要從直觀幾何向邏輯幾何(證明幾何)過渡,聚焦學(xué)生的思維邏輯,讓思維發(fā)生有原因、生成有過程、建構(gòu)有邏輯.通過學(xué)生交流經(jīng)驗(yàn)、遷移學(xué)習(xí)、內(nèi)化知識(shí),實(shí)現(xiàn)幾何教學(xué)的教育價(jià)值.追問2讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性,追問3啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、思考問題、研究問題,進(jìn)行有邏輯的思辨.

2.3 思辨慎學(xué),逆向思維,建構(gòu)判定定理

單元整體視野下,幾何教學(xué)可以從數(shù)學(xué)內(nèi)部實(shí)現(xiàn)判定定理的學(xué)習(xí),避免創(chuàng)設(shè)新問題情境導(dǎo)入學(xué)習(xí),割裂知識(shí)體系.將條件和結(jié)論位置互換(互逆命題的關(guān)系),遵循數(shù)學(xué)研究對(duì)象各要素間的內(nèi)在關(guān)系(圖3),順應(yīng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維走向,推動(dòng)教師的教和學(xué)生的學(xué).

圖3

問題3請(qǐng)大家回憶等腰三角形性質(zhì)和判定關(guān)系,能猜想并證明平行四邊形的判定定理嗎?

問題4平行四邊形的判定條件與哪些要素有關(guān)?至少需要幾個(gè)條件?如何證明上述結(jié)論?

追問4 你還可以提出其他命題嗎?請(qǐng)判斷真假.若是真命題,請(qǐng)證明;若是假命題,請(qǐng)舉出反例.

教學(xué)說明類比等腰三角形學(xué)習(xí)路徑,逆命題關(guān)系與反例教學(xué)相結(jié)合,使學(xué)生的思維能力更深層次,更加嚴(yán)謹(jǐn).在分析教材內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了重組,彰顯單元整體視野下平行四邊形性質(zhì)和判定定理的關(guān)系,使學(xué)生學(xué)會(huì)逆向思維,從數(shù)學(xué)內(nèi)部完成定理的生成與證明,邏輯自洽,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考問題.反例教學(xué)更有利于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和邏輯推理能力,自主探究學(xué)生提出的命題是否正確,可調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,深度思維融入到學(xué)生的推理過程中,提升學(xué)生思辨能力.

2.4 例題展學(xué),鞏固圖形特征,體現(xiàn)學(xué)習(xí)價(jià)值

通過例題探究,深刻感知圖形特征,理解圖形性質(zhì)和判定方法,體悟知識(shí)的價(jià)值,提升學(xué)習(xí)力.

圖4

如圖4,O為ABCD的對(duì)稱中心,過點(diǎn)O作直線MN分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,連接AN,CM.求證:四邊形ANCM是平行四邊形.

拓展探究1 條件不變,還可以推出哪些結(jié)論?

拓展探究2 當(dāng)直線MN繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),交ABCD的一組對(duì)邊或其延長線于點(diǎn)M,N,以上討論的結(jié)論還成立嗎?說明理由.

教學(xué)說明進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平行四邊形的本質(zhì)特征,即中心對(duì)稱圖形.在本題的分析和證明過程中,讓學(xué)生深入認(rèn)識(shí)平行四邊形的性質(zhì)和判定,體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系和價(jià)值.

2.5 反思省學(xué),整理知識(shí)結(jié)構(gòu),確定一般路徑

對(duì)于平行四邊形知識(shí)體系的學(xué)習(xí),我們研究了哪些內(nèi)容?它們之間有什么關(guān)聯(lián)?對(duì)后續(xù)研究特殊的平行四邊形有哪些經(jīng)驗(yàn)上的幫助?

教學(xué)說明反思評(píng)價(jià)的目的是對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)和結(jié)果等進(jìn)行多元化評(píng)價(jià),總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、反思不足,尋求改進(jìn)[6].一般觀念引領(lǐng)下,單元整體學(xué)習(xí)的一般路徑:從情境中抽象研究對(duì)象→理解新知識(shí)(猜想、歸納、驗(yàn)證)→建構(gòu)新體系(辨析、內(nèi)化、順應(yīng))→反思提升(感悟數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想).在問題探究中,學(xué)生經(jīng)歷單元整體學(xué)習(xí),建構(gòu)平行四邊形系統(tǒng)化概貌,體悟知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律,見樹木更見森林.

3 單元整體教學(xué)的思考

平行四邊形單元整體教學(xué)的核心育人價(jià)值在哪里?是利用一般觀念構(gòu)建研究幾何圖形的邏輯體系、思維結(jié)構(gòu),能夠一體化培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象能力和邏輯推理能力.

3.1 創(chuàng)設(shè)有效情境,體現(xiàn)單元整體教學(xué)的本源

數(shù)學(xué)教材的體系結(jié)構(gòu)遵循了“一定之規(guī)”,是科學(xué)研究的“基本之道”,讓學(xué)生反復(fù)這個(gè)邏輯,是“講理”的關(guān)鍵之一[2].幾何圖形是怎樣來的?為什么這樣定義?需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適切的情境,喚醒學(xué)生思維生長,抽象數(shù)學(xué)研究對(duì)象.學(xué)生通過知識(shí)整體建構(gòu),體悟到平行四邊形定義是問題研究的邏輯起點(diǎn),即定義是圖形的充要條件,性質(zhì)是一類圖形的必要條件(盡可能多),而判定是一類圖形的充分條件(盡可能少),兩者互為逆命題.從概念中分離出圖形構(gòu)成要素和相關(guān)要素,明確平行四邊形的研究核心是邊與邊的位置及大小關(guān)系,而對(duì)角線之間的位置關(guān)系是由圖形旋轉(zhuǎn)變換的經(jīng)驗(yàn)而產(chǎn)生,幫助學(xué)生抓住知識(shí)的本源.

3.2 注重基本思想,體現(xiàn)單元整體教學(xué)的深度

數(shù)學(xué)思想是在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程中反映出來的,是引導(dǎo)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的腳手架和方向標(biāo).思想方法在何處出現(xiàn),有什么用?在經(jīng)歷一類圖形的整體研究過程中,關(guān)注思想方法在知識(shí)建構(gòu)中的自然滲透.從情境創(chuàng)設(shè)到圖形抽象,再到定義提取,關(guān)注數(shù)學(xué)抽象思想呈現(xiàn)的可視化路徑.在平行四邊形整體建構(gòu)中,基于等腰三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),將原問題轉(zhuǎn)化到三角形問題,體現(xiàn)整體轉(zhuǎn)化思想.研究基本要素:邊(構(gòu)成要素大小),角(構(gòu)成要素位置),對(duì)角線(相關(guān)要素位置),從實(shí)驗(yàn)到猜想,再到演繹證明,體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力和整體學(xué)習(xí)的深度.

3.3 強(qiáng)調(diào)類比學(xué)法,體現(xiàn)單元整體教學(xué)的一致性

類比學(xué)習(xí)是溝通新知和舊知的有效途徑.類比等腰三角形研究路徑,整體規(guī)劃,整體建構(gòu)平行四邊形的邏輯體系,在完整經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的過程中,完整地經(jīng)歷一類圖形的整體研究過程,形成幾何研究的一般路徑,初步體會(huì)幾何研究方式的一致性.根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況,使學(xué)生厘清單元整體學(xué)習(xí)的兩條主線,即知識(shí)線(明線):定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用;思想線(暗線):抽象思維—轉(zhuǎn)化思想—類比思想—推理思想.整體建構(gòu)知識(shí)體系使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷體悟?qū)W法和思維路徑的一致性.