惠 宇

(江蘇省無錫市第一女子中學(xué) 214002)

1 教學(xué)背景

人教A版普通高中教科書于2019年由國家教材委員會專家委員會審核通過,并于2020年秋學(xué)期全面印發(fā)使用.人教版新教材從教學(xué)理念到內(nèi)容編排均有較大變化,更加注重真實情景的應(yīng)用、知識內(nèi)在的聯(lián)系、學(xué)科邏輯的建構(gòu)、學(xué)生素養(yǎng)的落實及能力的培養(yǎng).在此背景下,筆者應(yīng)邀于2021年12月在江蘇省無錫市青山高級中學(xué)參加主題為“構(gòu)建沉穩(wěn)課堂,實現(xiàn)靈動教學(xué)”的教學(xué)研討活動,并開設(shè)題為“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”的教學(xué)研討課.本文就本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計談?wù)剬π陆滩氖褂玫慕虒W(xué)理解和思考.

2 教學(xué)過程

2.1 復(fù)習(xí)回顧,啟發(fā)新知

問題1上節(jié)課我們在單位圓的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義及其在各個象限的符號,請同學(xué)們回憶一下,我們是如何定義一個角的三角函數(shù)的?其所在象限的符號呢?

設(shè)計意圖三角函數(shù)定義既是上節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的核心,又為這節(jié)課探究同角三角函數(shù)基本關(guān)系奠定理論基礎(chǔ),是學(xué)生知識的源點、探究的起點、素養(yǎng)提升的立足點.通過對三角函數(shù)定義及 各象限符號的復(fù)習(xí),既了解學(xué)生的知識基礎(chǔ),也為實現(xiàn)知識的發(fā)展、深入、聯(lián)系、貫通提供抓手和保證.

2.2 回歸定義,建立聯(lián)系

師:為了解決這一問題,我們需要找到sinα,cosα,tanα之間的關(guān)系.說說你的發(fā)現(xiàn).

師:“回到定義中去”是著名數(shù)學(xué)家波利亞在其著作《怎樣解題》中所闡述的一項重要的解題思維策略.這兩組關(guān)系可以由定義直接得到,因此被稱為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

思考1 當角的終邊與坐標軸重合時,這個結(jié)論也成立嗎?

思考2 對任意角α,這兩個關(guān)系都成立嗎?

設(shè)計意圖圍繞核心問題提出反映這節(jié)課探究主線的問題情境,即同角的正弦、余弦、正切之間所滿足的關(guān)系.新課標及教材更加注重知識的本質(zhì)及知識結(jié)構(gòu)的邏輯聯(lián)系.本節(jié)課的探究主線是回歸定義得出同角三個三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,這樣的設(shè)問既建立在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上,又引發(fā)學(xué)生認知發(fā)展的需要,從知識的內(nèi)在聯(lián)系中實現(xiàn)思維水平的必然深入和素養(yǎng)能力的必然發(fā)展.

2.3 深入辨析,深化理解

小試牛刀:判斷下列結(jié)論是否正確.

(1)sin2123°+cos2123°=1;

(2)sin230°+cos260°=1;

(7)sin230°-cos230°=1;

問題3你是如何理解“同角”的?關(guān)系式是哪些量之間的關(guān)系?具有怎樣的結(jié)構(gòu)特征?(同角與角的形式無關(guān),同角三角函數(shù)基本關(guān)系是正弦、余弦、正切三者之間的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系)

設(shè)計意圖通過對結(jié)論核心概念的辨析、基本關(guān)系的認識以及本質(zhì)結(jié)構(gòu)的觀察,學(xué)生進一步強化了對關(guān)系式的理解,為應(yīng)用和推演結(jié)論提供保障.關(guān)系式的核心概念是“同角”,從本質(zhì)結(jié)構(gòu)上分析,關(guān)系式是同角三角函數(shù)之間所滿足的一組方程組.因此,同角的正弦、余弦及正切這三者之間可以“知一求二”,這一點在其后由學(xué)生自行得出.通過“小試牛刀”和問題3的設(shè)計,引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)“同角”的概念,自主辨認關(guān)系式的結(jié)構(gòu),主動體會關(guān)系式就是方程,利用關(guān)系式解決問題的過程就是解方程(組)的過程.

2.4 探究應(yīng)用,發(fā)散思維

問題4回到問題2,是否存在同時滿足三個三角函數(shù)值的角α?(不存在)請你選擇其中一個或幾個(如果需要)作為條件,求出角α的其他三角函數(shù)的值.

學(xué)生自主選擇條件.大部分學(xué)生選擇其中一個作為條件,應(yīng)用同角三角函數(shù)的兩組基本關(guān)系求出該角其他三角函數(shù)的值.少數(shù)學(xué)生先是選擇兩個作為條件,但在計算過程中主動發(fā)現(xiàn)了矛盾并修正.極個別學(xué)生選擇兩個三角函數(shù)值進行計算.

條件3 已知tanα=2,求sinα,cosα的值.

師:大部分同學(xué)都選擇其中一個作為條件,就能求出這個角的其他三角函數(shù)的值.請你說說這樣選擇的理由.

生:同角三角函數(shù)基本關(guān)系相當于已知正弦、余弦、正切之間所滿足的一組方程組.要求解這三個未知量,只要再給出一個條件即可.

師:我們通過探究得出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系,你能直接由正弦或余弦求出正切嗎?

師:如果已知余弦求正切呢?

2.5 創(chuàng)新思維,拓展延伸

師:你還能將這一基本關(guān)系變形得到其他一些結(jié)論嗎?

生2:(sinα±cosα)2=sin2α±2sinαcosα+cos2α=1±2sinαcosα.

師:很好.為了證明(*)式,除了直接利用公式變形以外,還有其他方法可以證明嗎?

分析法(略).

設(shè)計意圖同角三角函數(shù)基本關(guān)系揭示了同角正弦、余弦、正切的內(nèi)在聯(lián)系.對關(guān)系式變形的過程既是將結(jié)論等價轉(zhuǎn)化證明三角恒等式的過程,又是創(chuàng)造性地應(yīng)用關(guān)系式發(fā)現(xiàn)新命題、建立新聯(lián)系的創(chuàng)新過程.因此在教學(xué)中,筆者整合教材例題,引導(dǎo)學(xué)生在利用關(guān)系式進行證明的同時,啟發(fā)學(xué)生進一步深入對關(guān)系式的理解與思考,進一步強化對同角三角函數(shù)基本關(guān)系的抽象認識,進一步體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理水平,實現(xiàn)理性思維及創(chuàng)新能力的提高.

2.6 歸納總結(jié),凝練提升

師:這節(jié)課我們研究了哪些公式?這些公式是怎么來的?主要有哪些應(yīng)用?

師:利用這一關(guān)系我們可以衍生出一系列三角恒等式.這節(jié)課我們所研究的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可以直接由定義得出,并且也是這些恒等關(guān)系中最基本的一個,因此我們稱之為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

圖1

設(shè)計意圖通過學(xué)生自己歸納總結(jié),實現(xiàn)對課堂核心知識的凝練與提升,體會知識發(fā)生與生長的脈絡(luò).最后通過回歸單位圓和三角函數(shù)的發(fā)展史,不僅激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,感受數(shù)學(xué)之美、探究之趣,更促其形成科學(xué)和完整的知識體系,為建立知識間更加廣泛的聯(lián)系奠定基礎(chǔ).

3 教學(xué)思考

3.1 圍繞核心問題設(shè)計教學(xué)意圖明確的教學(xué)過程

人教A版新教材與原教材相比更加注重知識結(jié)構(gòu)的整體性,突出“主線—主題—核心內(nèi)容”的基本脈絡(luò),揭示數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì).在教學(xué)中,這不僅需要教師立足課程整體理清知識脈絡(luò),更需要教師在章節(jié)教學(xué)明確教學(xué)意圖,設(shè)計基于單元整體的結(jié)構(gòu)化教學(xué)過程,使得教學(xué)內(nèi)容更為系統(tǒng),知識結(jié)構(gòu)更為完整,思維層次更加豐富,從而形成前后一致、邏輯連貫、更加科學(xué)的教學(xué)體系.

本節(jié)課圍繞的核心問題是研究“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”,什么是“同角”?為什么稱之為“基本關(guān)系”?這既是對核心內(nèi)容的辨析,又是對探究主線的體現(xiàn).因此,筆者通過預(yù)設(shè)教學(xué)意圖明確的六個環(huán)節(jié),從定義、辨析、應(yīng)用的知識維度和化歸、聯(lián)系、創(chuàng)新的能力維度對本節(jié)課研究的核心進行整體、多維、結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計.人教A版教材采用單位圓法定義三角函數(shù),將坐標定義法作為例題,這樣的邏輯順序不僅遵循三角函數(shù)的發(fā)展史,揭示其本質(zhì),更體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究思路以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法,引導(dǎo)學(xué)生思維層層遞進.

3.2 圍繞核心問題整合意義廣泛聯(lián)結(jié)的教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)知識之間具有廣泛的聯(lián)系.這種聯(lián)系越豐富,與已形成的認知結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)就越密切,越容易被學(xué)生接受和理解,促使發(fā)散思維與創(chuàng)新能力的發(fā)展.本節(jié)課內(nèi)容在教材中僅占2頁篇幅,然而其研究對象和研究方法既是對三角函數(shù)概念的深入,又為誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)提供指引,既回歸三角函數(shù)概念的本質(zhì),又體現(xiàn)其在三角恒等關(guān)系中的基本地位,從知識內(nèi)容到知識體系,從邏輯結(jié)構(gòu)到思想方法都具有廣泛聯(lián)系.

教學(xué)內(nèi)容整合的重點是從知識起點、關(guān)鍵問題、學(xué)科邏輯、思維體系等角度出發(fā),通過對教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)梳理,進行必要的整理、加工、補充或調(diào)整.教材在探究得到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系后設(shè)置了已知sinα,求cosα,tanα和證明三角恒等式兩個例題.在本節(jié)課教學(xué)中,筆者圍繞核心問題,將例題的求解與核心內(nèi)容的探究相整合.例如:問題2的設(shè)置是在學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)的概念之后引發(fā)其認知沖突,將本節(jié)課研究方向指向同角三角函數(shù)之間的關(guān)系;問題4的設(shè)置既是對問題2的解決,又引導(dǎo)學(xué)生進一步思考需要已知一個角的幾個三角函數(shù)值可以求出這個角其他三角函數(shù)的值,整合了教材中第一個例題的解決;問題5的設(shè)置是引導(dǎo)學(xué)生自主對同角三角函數(shù)基本關(guān)系進行變形,在得到系列三角恒等式的過程中體會“基本”的含義,同時也整合了教材中三角恒等式的證明.在提出問題、解決問題的過程中實現(xiàn)從知識到技能,從應(yīng)用到思辨意識、創(chuàng)新能力、發(fā)散性思維等品質(zhì)的多元融合發(fā)展.

3.3 圍繞核心問題實施學(xué)生深度參與的教學(xué)活動

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體,學(xué)生在教學(xué)活動中的深度參與和理解是教學(xué)有效性的重要依據(jù).當下,“深度學(xué)習(xí)”已成熱詞,一些教師在課堂教學(xué)中的確設(shè)計了一些學(xué)生參與度很高的探究活動.學(xué)生表面在討論、在研究,但每一個探究問題,教師設(shè)計后都準備好了一套解決的思路、方法和標準答案.對于這樣的課堂探究,學(xué)生真正的自主非常有限,很難從真實情境中提出真實的數(shù)學(xué)問題加以探究解決,思維的深度參與則更難實現(xiàn).例如,學(xué)生在得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系之后,再用幾道例題加以應(yīng)用,也能“熱鬧”地總結(jié)出“知一求二”這一結(jié)論.然而這樣的認知是不深刻、不能反映問題本質(zhì)的.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系反映的是sinα,cosα,tanα所滿足的兩組三角恒等式,而兩個方程無法求解三個未知量,因此只需要再給定一個三角函數(shù)的值.“知一求二”的過程實則是解方程組的過程.筆者通過設(shè)置“請你選擇其中一個或幾個(如果需要)作為條件,求出此時角α的其他三角函數(shù)的值”這一開放的設(shè)問方式,給學(xué)生提供自主思考或試錯的機會,主動辨清同角三角函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系,回歸“知一求二”這一結(jié)論的本質(zhì).

全美數(shù)學(xué)教師理事會(NCTM)在其課程標準中指出:“我們的教學(xué)應(yīng)給學(xué)生提供這樣的機會——從給定情境中提出問題,或通過修改已知問題的條件去產(chǎn)生新的問題.”實現(xiàn)學(xué)生深度參與和理解的教學(xué)活動,需要教師在備課時設(shè)置圍繞教學(xué)核心問題的、有一定知識儲備作支撐的、有一定數(shù)學(xué)思想和策略作引領(lǐng)的問題情境,從而使學(xué)生能主動發(fā)現(xiàn)和提出問題,獨立分析和解決問題,在應(yīng)用、思辨、試錯、糾正、表達中實現(xiàn)深度參與,獲得真知,發(fā)展能力.

4 結(jié)束語

知識不僅是教學(xué)研究的對象,更是素養(yǎng)育成的載體.數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育,而非知識教育.在新高考、新課標、新教材引領(lǐng)下,我們更應(yīng)將教學(xué)著眼于實際應(yīng)用、跨學(xué)科融合以及人的發(fā)展,將教學(xué)圍繞核心問題,指向?qū)W科本質(zhì),凸顯對學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng).