劉艷杰 上海市松江二中（集團(tuán)）初級(jí)中學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中指出，課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”），發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。如何在課堂教學(xué)中有效落實(shí)“四基”，獲得“四能”，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，成為優(yōu)化課堂教學(xué)的著手點(diǎn)。教師借助問(wèn)題鏈為學(xué)生的思考指明方向，通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)與實(shí)踐，將課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施自然地嵌入教學(xué)過(guò)程中。深化學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解。通過(guò)對(duì)問(wèn)題鏈的解決，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)基本思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供行之有效的途徑。

一、概述

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的源泉和動(dòng)力?！钡?，并不是課堂上有了數(shù)學(xué)問(wèn)題和用了常見(jiàn)的“師生一問(wèn)一答”教學(xué)行為就能稱為問(wèn)題鏈教學(xué)。數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)指在教學(xué)活動(dòng)中，教師在課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)目標(biāo)引導(dǎo)下，把一節(jié)課的一個(gè)或幾個(gè)知識(shí)、技能等構(gòu)建成問(wèn)題系列，把數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、鞏固和鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維鏈接在一起，從而激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，提高課堂效率。

二、數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)的意義

1.促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是數(shù)學(xué)的靈魂。問(wèn)題鏈教學(xué)用問(wèn)題引發(fā)思考，用鏈把問(wèn)題引向深入，能幫助學(xué)生打開(kāi)思維的閘門，逐步形成良好的思維品質(zhì)。

2.建構(gòu)知識(shí)間的聯(lián)系。“問(wèn)題鏈”并不是幾個(gè)問(wèn)題的簡(jiǎn)單羅列，而是將教材知識(shí)轉(zhuǎn)化為層次分明、相互關(guān)聯(lián)的一系列精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題，能讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)知識(shí)的形成和發(fā)展脈絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系。

3.增強(qiáng)學(xué)生參與探究意識(shí)。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)過(guò)程中始終堅(jiān)持以生為本，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)意識(shí)的能動(dòng)作用。以問(wèn)題為導(dǎo)向，學(xué)生不再被動(dòng)學(xué)習(xí)，而是主動(dòng)參與，積極探索，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)的積極性。

三、數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)的原則

精心設(shè)計(jì)教學(xué)中的每一個(gè)問(wèn)題，串“問(wèn)”成“鏈”，才能提高課堂效率。設(shè)計(jì)有價(jià)值的問(wèn)題鏈要遵循一定的原則。

（一）基于教材原則

要圍繞教學(xué)目標(biāo)，針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)和中心點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)的問(wèn)題要有邏輯性和遞進(jìn)性。問(wèn)題之間需要環(huán)環(huán)相扣，以舊引新，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平中逐漸引出新的問(wèn)題，在新問(wèn)題之間建立聯(lián)系，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的逐漸完善。還要先易后難、層層深入，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，建構(gòu)出新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）面向?qū)W生原則

問(wèn)題要有一定的挑戰(zhàn)性，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)；注重學(xué)生深層學(xué)習(xí)；注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)；注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（三）應(yīng)用性原則

問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)要具有應(yīng)用性。我們?cè)谡n堂上所教、所學(xué)的東西都是非常有限的。因此，設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈要讓學(xué)生能夠舉一反三，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展遷移，將所學(xué)知識(shí)和技能應(yīng)用到其他領(lǐng)域和其他學(xué)科當(dāng)中。

四、數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)的實(shí)施策略

（一）指向核心目標(biāo)，有尺度

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，是課堂教學(xué)的靈魂。一切教學(xué)活動(dòng)都應(yīng)圍繞教學(xué)目標(biāo)來(lái)進(jìn)行。因此，問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)不能盲目隨意，而是要緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)，以核心教學(xué)目標(biāo)為衡量尺度。

案例1：在講授因式分解法解一元二次方程x2-3x=0 時(shí)，圍繞著“降次”解一元二次方程這一核心目標(biāo)，設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題鏈：

問(wèn)題1：解一元二次方程的指導(dǎo)思想是什么？我們學(xué)過(guò)的方法是什么？

問(wèn)題2：應(yīng)用學(xué)過(guò)的開(kāi)平方方法可以解這個(gè)方程嗎？（讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)求知欲。）

問(wèn)題3：觀察此方程的特點(diǎn)，怎樣進(jìn)行降次呢？

問(wèn)題4：能否把方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的積？

問(wèn)題5：這兩個(gè)因式的積是零，這兩個(gè)因式都一定是零嗎？

問(wèn)題6：像這樣解一元二次方程的方法叫因式分解法。

和學(xué)生一起提煉總結(jié)出因式分解法解一元二次方程的方法，然后再讓學(xué)生通過(guò)幾道題目進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，這樣就順利完成了這節(jié)課的核心教學(xué)內(nèi)容。可見(jiàn)，圍繞核心目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，學(xué)生有了“問(wèn)題”，教師有了“尺度”，教學(xué)效率大大提高。

（二）契合認(rèn)知水平，現(xiàn)梯度

問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)要切合學(xué)生的實(shí)際，要從學(xué)生已有的知識(shí)與能力出發(fā)，爭(zhēng)取“跳一跳能摘到桃子”。遵循科學(xué)的認(rèn)知規(guī)律，按照層層深入、梯度推進(jìn)的思想設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，使學(xué)生進(jìn)行真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

案例2：第七章“線段與角的畫法”是初中階段幾何學(xué)習(xí)的起始內(nèi)容，本章學(xué)習(xí)的是平面幾何中最基本的圖形——線段和角的有關(guān)概念、大小比較、計(jì)算、畫圖等知識(shí)和技能。小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)于這些知識(shí)的獲得是直觀的、形象的和感性的，所以學(xué)生還處于對(duì)幾何知識(shí)的直觀體驗(yàn)階段。而初中階段，對(duì)于幾何課程的學(xué)習(xí)更加注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念，訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維和邏輯關(guān)系，以及更有條理的表達(dá)能力。

其中，“7.1線段大小的比較”這節(jié)課的核心任務(wù)是：讓學(xué)生從直觀體驗(yàn)階段過(guò)渡到操作幾何階段，提升由感性到理性的認(rèn)知水平，為今后的推理幾何打下基礎(chǔ)。在這節(jié)課的教學(xué)中進(jìn)行了這樣的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)：

1.基于舊知設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”

復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)的“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì)為：

如圖，問(wèn)題1：哪個(gè)是線段？

問(wèn)題2：你判斷的依據(jù)是什么？

問(wèn)題3：其他的圖形是什么？

問(wèn)題4：直線、射線和線段之間的區(qū)別與聯(lián)系？

通過(guò)辨析線段、射線和直線，重構(gòu)三線的區(qū)別和聯(lián)系，引出線段的兩種表示方法，并為接下來(lái)研究線段做好知識(shí)鋪墊。

2.基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”

（1）活動(dòng)一環(huán)節(jié)的“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì)為：

問(wèn)題1：老師和某某同學(xué)（選取身高差明顯的同學(xué)）比身高，誰(shuí)高？

問(wèn)題2：老師和某某同學(xué)（身高差不明顯的同學(xué)）比身高，誰(shuí)高？

問(wèn)題3：能用哪些方法來(lái)比較？

問(wèn)題4：（教師站到臺(tái)階下）這樣是不是我變矮了？

問(wèn)題5：比身高時(shí)要注意什么？

通過(guò)課前訪談發(fā)現(xiàn)，對(duì)于長(zhǎng)短差異明顯的兩只鉛筆都選擇直接觀察；對(duì)于長(zhǎng)短差異不明顯的放到一起比；當(dāng)物體不能移動(dòng)時(shí)，會(huì)想到借助尺或其他的工具?？梢?jiàn)觀察法和度量法都是學(xué)生所熟知的。課上借助比身高，歸納出第三種方法——疊合法。從熟悉的實(shí)例出發(fā)引出新知，學(xué)生更易接受，同時(shí)也直觀地感受疊合法的關(guān)鍵是一端對(duì)齊。

（2）活動(dòng)二環(huán)節(jié)的“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì)為：

如圖5，問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們利用身邊的工具，比一比這三條線段，哪條最長(zhǎng)？哪條最短？

圖5

問(wèn)題2：有沒(méi)有其他的方法來(lái)比較呢？小組間從可行性、便利性、準(zhǔn)確性、獨(dú)創(chuàng)性這幾個(gè)角度進(jìn)行相互評(píng)價(jià)。

從比身高引出線段長(zhǎng)短的比較，將熟悉的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（即線段大小的比較），然后借助身邊（除尺子外）的工具（圓規(guī)等）進(jìn)行線段長(zhǎng)短的比較，從猜想到實(shí)驗(yàn)，從而理解疊合法比較線段的大小，并為接下來(lái)用尺規(guī)畫一條線段等于已知線段埋下伏筆。

3.基于生活常識(shí)設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”

如圖6，在公園景點(diǎn)甲、乙之間有三條路，小杰想盡快地從景點(diǎn)甲趕到景點(diǎn)乙，請(qǐng)你幫他判斷該選擇走哪條路，為什么？

圖6

問(wèn)題1：走哪條路？

問(wèn)題2：你可以得到什么結(jié)論？

學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)直觀獲得“兩點(diǎn)之間有很多連線，最短的那條是線段”，其實(shí)，這就是數(shù)學(xué)“公理”。此處，只要在具體情境中，直接喚醒學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)，并充分認(rèn)識(shí)即可。本課未按照教材上的設(shè)計(jì)，而是通過(guò)實(shí)際生活中的情景，直觀引出了“兩點(diǎn)之間，線段最短”的公理。

（三）啟發(fā)自主探究，重參與度

自主學(xué)習(xí)能力是從平時(shí)學(xué)習(xí)中逐步培養(yǎng)的，不是一朝一夕就能做到的。教師在問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)時(shí)要重視學(xué)生自主學(xué)習(xí)的參與度和能力的培養(yǎng)。

案例3：在探究反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)這節(jié)課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生帶著問(wèn)題思考：

問(wèn)題1：正比例函數(shù)圖像是什么？有什么性質(zhì)？

問(wèn)題2：猜猜反比例函數(shù)的圖像會(huì)是什么？有什么性質(zhì)？

問(wèn)題3：怎樣畫函數(shù)圖像，具體步驟是什么？要注意什么？

（1）函數(shù)圖像分別位于哪幾個(gè)象限內(nèi)？

（2）在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著x值的增大，y的值是怎樣變化的？能說(shuō)明這是為什么嗎？

（3）反比例函數(shù)的圖像可能與x軸相交嗎？可能與y軸相交嗎？為什么？

通過(guò)設(shè)計(jì)此問(wèn)題鏈把學(xué)習(xí)自主權(quán)交給學(xué)生。類比正比例函數(shù)，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上利用問(wèn)題層層引導(dǎo)學(xué)生自主探究，逐步抓住問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生自主構(gòu)建反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，能促進(jìn)學(xué)生積極參與，幫助學(xué)生自主有效地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)。這樣具有探究性、層次性的問(wèn)題，能激發(fā)學(xué)生的思考，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。

（四）提高推理能力，拓深度和廣度

思維永遠(yuǎn)是從問(wèn)題開(kāi)始的。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要精心設(shè)計(jì)開(kāi)放性的問(wèn)題鏈，用以鏈成串的問(wèn)題為載體，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，提高推理能力，拓展思維的深度和廣度，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

案例4：在初三二模復(fù)習(xí)中，對(duì)于一道綜合題的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)如下：

在⊙O中，AB、AC是兩條弦，且AB=AC，D是AO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。

（1）求證：BD=CD；

（2）如果AB2=AO·AD，求證：四邊形ABDC是菱形；

（3）延長(zhǎng)BO交AC邊于點(diǎn)E，求證△ABE∽△OAE；

（4）如果△COE是直角三角形，且圓O的半徑為1，求B、C兩點(diǎn)間的距離。

本題改編自2017年、2019年的兩道中考題，由于這兩道題都是以同圓中的兩條等弦為主要條件，因此作了整合，改編成4 個(gè)小題，由易到難，同時(shí)結(jié)合了四邊形、相似三角形的知識(shí)，最后一問(wèn)還涉及分類討論的方法。通過(guò)這道題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)中考題中以圓為背景的綜合題的解題思路和分析策略，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。為了解決班級(jí)學(xué)生遇到綜合性題目就犯難、無(wú)從入手的困境，在解決這道題目時(shí)，設(shè)置了這樣的問(wèn)題鏈：

問(wèn)題1：證明線段相等的基本方法有哪些？

這一問(wèn)完成度很高，基本都能做出來(lái)，但是90%的同學(xué)用的方法是聯(lián)結(jié)半徑，通過(guò)二次全等來(lái)證明，也有同學(xué)利用線段垂直平分線的逆定理來(lái)證明。其實(shí)這個(gè)題目通過(guò)聯(lián)結(jié)BC，用垂徑定理的推論證明更加簡(jiǎn)潔。這一小問(wèn)體現(xiàn)出，學(xué)生總是對(duì)三角形青睞有加，用起來(lái)也得心應(yīng)手，對(duì)于圓的基本性質(zhì)理解不夠透徹和深刻，而這一小問(wèn)的本質(zhì)其實(shí)就是圓的軸對(duì)稱性的具體體現(xiàn)。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，總結(jié)基本方法，拓寬思維的廣度，引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化解法，并逐步探索知識(shí)的本質(zhì)，進(jìn)一步深化理解。

問(wèn)題2：第（2）小問(wèn)見(jiàn)到等積式想什么？證明菱形有哪些方法？

第（2）小問(wèn)在問(wèn)題引導(dǎo)下基本解題思路比較清晰，利用等積式化比例式，尋找相似三角形。但是，對(duì)于怎么利用相似三角形的結(jié)論去證明四邊形ABDC是菱形，有些同學(xué)會(huì)出現(xiàn)解題思路不明晰的問(wèn)題。是用邊還是角？是先證平行四邊形還是直接證四邊相等？問(wèn)題解決時(shí)，要教會(huì)學(xué)生分析問(wèn)題的方法，思路清晰，優(yōu)化解法。

問(wèn)題3：第（3）小問(wèn)如何尋找兩個(gè)三角形相似的條件？

問(wèn)題4：△COE是直角三角形有幾種情況？

問(wèn)題5：不同情況的分類依據(jù)分別是什么？

第（4）小問(wèn)是特定條件的分類討論，對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，本身就是個(gè)比較難突破的點(diǎn)。因此，在課堂上以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生有方向可尋。師生一起分析完成、當(dāng)堂反饋的時(shí)候，能夠理解的同學(xué)占到了75%，基本達(dá)到預(yù)期。

以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維為核心目標(biāo)，遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從知識(shí)結(jié)構(gòu)本身入手，通過(guò)課堂中數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)和實(shí)踐，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)思維發(fā)展，幫助他們養(yǎng)成勤于思考，不斷探究的好習(xí)慣，提高分析和解決問(wèn)題的能力，不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高課堂教學(xué)效率。