浙江臺州市路橋區(qū)路北街道中心小學(xué)（318050） 林鼎奇

“因數(shù)”的定義是a×b=c，a和b稱為乘數(shù)，乘數(shù)也稱為因數(shù)?！氨稊?shù)”的定義是已知兩個數(shù)a，b（a是整數(shù)，b是正整數(shù)），要求兩個整數(shù)q，r，使q，r滿足以下條件：a=bq+r（0≤r＜b），a稱為被除數(shù)，b稱為除數(shù)，q稱為不完全商（簡稱商），r稱為余數(shù)；當r=0時，稱a被b整除，此時b為a的因數(shù)，a為b的倍數(shù)。

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》是由兩排飛機的數(shù)量引出乘法算式2×6=12，說明2和6 是12 的因數(shù)，12 是2 的倍數(shù)，也是6 的倍數(shù)，再引出3×4=12，說明3 和4 也是12 的因數(shù)，12 是3 和4的倍數(shù)，同時還補充說明“在研究因數(shù)和倍數(shù)的時候，我們所說的數(shù)指的是整數(shù)（一般不包括0）”。

《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》是通過讓學(xué)生觀察一組除法算式并分類，引導(dǎo)學(xué)生把除法算式根據(jù)商的結(jié)果分成整數(shù)和非整數(shù)這兩類，從而總結(jié)出“在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)，就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)”，并以除法算式12÷2=6 為例，說明12 是2 和6 的倍數(shù)，2和6是12的因數(shù)。

因數(shù)和倍數(shù)的含義體現(xiàn)了兩者相互依存的關(guān)系。學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗認為乘法算式中的乘數(shù)叫因數(shù)，在除法算式中有誰是誰的幾倍，就認為因數(shù)和倍數(shù)是單獨存在的。面對這種認知沖突，教師在教學(xué)中如何幫助學(xué)生重新建立因數(shù)和倍數(shù)的概念？筆者在特級教師吳正憲的“因數(shù)與倍數(shù)”課堂中找到了答案。

一、課堂實錄與賞析

1.根據(jù)已有經(jīng)驗，初步感知此非彼

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)“因數(shù)與倍數(shù)”。在過去的學(xué)習(xí)中，你們在哪里見過因數(shù)和倍數(shù)？能舉個例子嗎？

生1：我們學(xué)乘法的時候，乘法算式里有因數(shù)，比如6×2=12，6 和2 都是因數(shù)。在除法算式里有倍數(shù)，比如12÷3=4，12是3的4倍。

師：這是你心目中的因數(shù)和倍數(shù)。我也來舉個例子，比如一本書6元，2本書多少錢？如果一本書2.5 元，2 本書多少錢？在這兩個乘法算式中，因數(shù)又是哪個呢？

生2：6×2=12，6 和12 是因數(shù)，2.5×2=5，2.5 和2是因數(shù)。

師：今天我們對因數(shù)和倍數(shù)又有什么新的規(guī)定呢？這里有12人，我們用12顆磁鐵表示，你能將它們分組嗎？分的過程，我們一起用算式記錄下來。

生3：我把12 人平均分成了4 組，每組有3 人，算式是12÷4=3（人）。我把12 人平均分成了3 組，每組有4 人，算式是12÷3=4（人）。我把12 人平均分成了2 組，每組有6 人，算式是12÷2=6（人）。我把12人平均分成了6組，每組有2人，算式是12÷6=2（人）。我把12 人平均分成了12 組，每組有1 人，算式是12÷12=1（人）。我把12 人分成1 組，每組有12人，算式是12÷1=12（人）。

師：很好，一口氣說出了那么多算式。如果有12 人，每組5 人，可以分成幾組？用你學(xué)過的知識表示。

生4：12÷5=2……2，可以分成2組，還多2人。

【賞析】著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“每一個學(xué)生是一個完全脫俗的、獨一無二的世界?！睂W(xué)生進入數(shù)學(xué)課堂時不是一張白紙，而是帶著對數(shù)學(xué)知識獨特的感知。因此，教師不能把學(xué)生當作知識的容器，往學(xué)生頭腦中灌輸各種知識。吳老師尊重學(xué)生的認知規(guī)律，她沒有回避學(xué)生對因數(shù)和倍數(shù)的已有認識，而是與學(xué)生聊天，充分了解學(xué)生的理解水平，一方面是為了幫助學(xué)生初步感知今天這節(jié)課學(xué)習(xí)的因數(shù)和倍數(shù)與以前學(xué)過的知識不一樣，另一方面是讓學(xué)生寫出更多除法算式，為建立因數(shù)和倍數(shù)的含義做好準備。

2.打破已有認知，在總結(jié)中下定義

師：比如12÷4=3，我們可以說12 是4 的倍數(shù)，4是12 的因數(shù)，也可以說12 是3 的倍數(shù)，3 是12 的因數(shù)。比如2×6=12，我們可以說2 是12 的因數(shù)，12 是2 的倍數(shù)，也可以說6 是12 的因數(shù)，12 是6 的倍數(shù)。接下來有幾個問題，什么是倍數(shù)，什么是因數(shù)？因數(shù)和倍數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？每個同學(xué)先獨立思考，想的時候可以借助算式，然后說一說你的想法。

沖突1：辨析乘除法中都有因數(shù)和倍數(shù)。

生1：我們小組認為只有在除法中才有因數(shù)和倍數(shù)，比如25÷5=5，25是5的倍數(shù)，5是25的因數(shù)。

生2：我不同意，我認為在乘法中也有因數(shù)和倍數(shù)。比如5×7=35，7 是35 的因數(shù)，35 是7 的倍數(shù)，5 是35 的因數(shù)，35是5的倍數(shù)，它們也有因數(shù)與倍數(shù)。

生3：我覺得這樣是不對的，因為5是因數(shù)，7也是因數(shù)，它們乘起來就是積。

生4：剛才吳老師舉的例子，比如2×6=12，可以說2 是12 的因數(shù)，12 是2 的倍數(shù)，也可以說6 是12的因數(shù)，12 是6 的倍數(shù)。這個算式不就是乘法嗎？為什么你認為要在除法里才有因數(shù)和倍數(shù)？

師：在過去的經(jīng)驗中，你認為乘法里有因數(shù)，除法里有倍數(shù)。今天我們給倍數(shù)和因數(shù)新的規(guī)定，在乘法和除法里都有因數(shù)和倍數(shù)。

【賞析】吳老師通過呈現(xiàn)哪些算式里有因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系，以及怎樣描述因數(shù)和倍數(shù)等，引導(dǎo)學(xué)生在比較中認識因數(shù)和倍數(shù)的含義。當學(xué)生面對因數(shù)和倍數(shù)的新定義時，他們產(chǎn)生了認知沖突，有的學(xué)生還是認為乘法中有因數(shù)，除法中有倍數(shù)。為了讓學(xué)生體會到乘除法中都有因數(shù)和倍數(shù)，吳老師組織學(xué)生進行說理辯論，讓他們在有理有據(jù)地爭論中打破舊認知，重建新認識。

沖突2：辨析因數(shù)和倍數(shù)必須是整數(shù)。

生5：我們小組認為，如果除法算式里有余數(shù)和小數(shù)，就沒有因數(shù)和倍數(shù)，商必須是整數(shù)且沒有余數(shù)的才有因數(shù)和倍數(shù)。

生6：我有不同意見。如果是小數(shù)除以一個整數(shù)，比如10.5÷5=2.1，我想說明有小數(shù)的除法也可以算出倍數(shù)。

生7：剛才吳老師說像2.5×2=5 中是沒有因數(shù)和倍數(shù)的，你的算式里有小數(shù)，怎么說它有因數(shù)和倍數(shù)呢？

師：因數(shù)和倍數(shù)必須是什么樣的數(shù)？

生8：整數(shù)。

【賞析】吳老師在舉例時明確告知學(xué)生2.5×2=5這樣的算式是沒有因數(shù)和倍數(shù)的。不過有學(xué)生沒有建立因數(shù)和倍數(shù)的新認知，認為小數(shù)除法中是有因數(shù)和倍數(shù)的。吳老師組織學(xué)生展開辯論，最終讓學(xué)生深刻體會到因數(shù)和倍數(shù)必須是整數(shù)。

沖突3：辨析因數(shù)和倍數(shù)結(jié)果是整數(shù)倍。

生9：我來舉個例子，5÷2=2.5，5 和2 雖然都是整數(shù)，但是它們沒有倍數(shù)關(guān)系。

師：為什么？

生9：比如2×6=12，12 是2 的6 倍。5÷2=2.5，雖然5 和2 是整數(shù)，但是2.5 是小數(shù)，所以它們沒有倍數(shù)關(guān)系。

師：不管乘法還是除法里，一個數(shù)都要是另一個數(shù)的……

生10：整數(shù)倍。

師：誰能再來舉幾個例子？

生11：比如2×8=16，8 和16 都是整數(shù)，16 是8的2倍，可以說16是8的倍數(shù)，8是16的因數(shù)。

師：老師也來舉個例子，因為1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6的2倍，對嗎？

生12：不對，1.2和0.6不是整數(shù)。

【賞析】學(xué)生的思考是逐步深入的，他們在不斷打破原有認知，重建因數(shù)和倍數(shù)的新定義。此時，學(xué)生已經(jīng)從上一環(huán)節(jié)關(guān)注兩個數(shù)必須是整數(shù)，轉(zhuǎn)移到關(guān)注兩個數(shù)的運算結(jié)果。一開始，學(xué)生認為除法算式的結(jié)果不能有余數(shù)，隨著吳老師的追問，他們想出了整數(shù)倍，即乘法和除法的結(jié)果必須是整數(shù)，不能是小數(shù)。

沖突4：辨析因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。

師：12是倍數(shù)，這樣的說法對嗎？

生13：不對，要說12 是誰的倍數(shù)，比如12 是6的倍數(shù)，12是4的倍數(shù)……

師：因數(shù)和倍數(shù)是成對出現(xiàn)的。

【賞析】數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不僅要通過正向的舉例，讓學(xué)生看到成立的因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系，還要通過反向的舉例，讓學(xué)生看到不成立的因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，吳老師巧妙地通過判斷“12 是不是倍數(shù)”，讓學(xué)生感受到因數(shù)和倍數(shù)是成對出現(xiàn)的，它們相互依存，不能單獨存在。

3.借助豎線模型，有序找出因數(shù)

師：同學(xué)們，請找一找36的因數(shù)。

（有的學(xué)生找了4個，即12、4、3、9；有的學(xué)生找了7個，即3、36、1、9、6、4、12；有的學(xué)生找到了6、9、12、3、2、18、36、1、4）

師：同學(xué)們寫得有點亂。這樣，我借助一條豎線，豎線左邊寫1，右邊36，接下來該怎么寫？

生14：2和18，3和12，4和9，6和6。

師：我們一起找36的倍數(shù)，36的1 倍是36，2倍是72……它的倍數(shù)越來越大，它的倍數(shù)找不全，但是因數(shù)的個數(shù)能找全。這個例子告訴我們什么？

生15：一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，它的倍數(shù)個數(shù)卻是無限的。一個數(shù)最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。

師：我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要學(xué)會有序思考。

【賞析】在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生嘗試找一個數(shù)的因數(shù)，剛開始他們都在無序地找，出現(xiàn)了找不全的局面。這時，吳老師借助豎線，不僅帶領(lǐng)學(xué)生體會了有序思考的魅力，還讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了因數(shù)和倍數(shù)的奧秘。

二、對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示

皮亞杰的認知發(fā)展理論中的觀點是，個體的認知發(fā)展是在認知不平衡時通過同化或順應(yīng)來達到認知平衡，認知不平衡有助于學(xué)生構(gòu)建自己的知識體系。吳老師在教學(xué)“因數(shù)與倍數(shù)”一課中利用當前知識與學(xué)生已有認知之間的矛盾，讓學(xué)生經(jīng)歷了“認知沖突—打破已有認知—建立新的認知”的過程，建立了因數(shù)和倍數(shù)的含義，并運用概念探究找一個數(shù)的因數(shù)和找一個數(shù)的倍數(shù)的方法。

其實，許多數(shù)學(xué)概念的教學(xué)都可以像吳老師那樣充分利用課堂中學(xué)生的認知沖突。比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)“萬以內(nèi)數(shù)的認識”一課時，他們發(fā)現(xiàn)數(shù)到9999 就不能再數(shù)了，這時教師要在認知沖突中引導(dǎo)學(xué)生利用十進制創(chuàng)造新的計數(shù)單位。又如，在學(xué)習(xí)“軸對稱圖形”一課時，有的學(xué)生在“平行四邊形是否是軸對稱圖形”這一問題上產(chǎn)生了分歧，此時教師要把全班學(xué)生分成“贊同派”和“反對派”，讓學(xué)生在舉例說理中深刻理解軸對稱圖形的本質(zhì)，并判斷一個平面圖形是否是軸對稱圖形。又如，在學(xué)習(xí)“加法交換律”后，有的學(xué)生猜想在減法、乘法和除法中是否有交換律，也有的學(xué)生聯(lián)想到三個加數(shù)、四個加數(shù)，甚至更多個加數(shù)相加是否都能用加法交換律計算，此時，教師就要讓學(xué)生在認知沖突中展開驗證活動。

總之，教師在開展教學(xué)活動時充分利用教育學(xué)和心理學(xué)中的原理，結(jié)合數(shù)學(xué)教材和學(xué)生學(xué)情，才能讓學(xué)生在思考和理解中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)想明白、做出來，從而掌握數(shù)學(xué)思維方法。