范志曄　林永忠　翁建新

在“一核四層四翼”的高考評價體系總體框架下，試題的命制要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性.試題命制必然要關(guān)注試題如何體現(xiàn)對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.為此，筆者在我市一次?？贾幸曰跈E圓第三定義命制了一道解析幾何多選題壓軸題，現(xiàn)成文，旨在與同行共同學(xué)習(xí)交流.

1 試題展示

（多選題） 已知A、B是橢圓E：x2/4+y2=1的左右頂點，過點P（1，0）且斜率不為零的直線與E交于M、N兩點，kAM，kBM，kAN，kBN分別表示直線AM，BM，AN，BN的斜率，則下列結(jié)論中正確的是（）.

A.kMA·yd·kMB=－1/4B. kBM·yd·kBN=－3/4 C.kMA=3kBN D.直線AM與BN的交點的軌跡方程是x=4

2 設(shè)計過程

2.1 命題意圖

本題是以橢圓的第三定義為背景命制的一道多選題，旨在考查直線與圓錐曲線位置中的定值定量、軌跡等問題；本題綜合性較高，旨在考查學(xué)生對圓錐曲線知識的掌握情況，檢測學(xué)生的綜合能力.

2.2命題過程

（1）立意與選材

在圓錐曲線的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)課本有較多的二級結(jié)論，在研究二級結(jié)論的基礎(chǔ)上加以拓展是教學(xué)的重難點，也是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑，基于此，若能在教材原有的題目上進一步延伸拓展，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三、觸類旁通，從而高效學(xué)習(xí).人教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊P108例3和P121探究就是雙曲線的第三定義，故有以此為背景進一步拓展并命制相關(guān)題目的想法.

（2）聯(lián)系與搭架

教材以雙曲線為背景，在命題時進行遷移，拓展出一般化的結(jié)論.但作為一道多項選擇題，若是用一般化結(jié)論進行命題，學(xué)生不好下手，又學(xué)生對橢圓相對熟悉，故以具體的橢圓為背景命制試題.并以橢圓上的動點（不與左右頂點重合）到左右頂點兩項的斜率的積為定值－b2/a2為基調(diào)，進一步拓展命制.

（3）加工與調(diào)整

第一稿：已知A、B是橢圓E：x2/4+y2=1的左右頂點，M、N是異于A、B的兩點，且kBN·kMB=－3/4，則下列選項中是正確的有（ ）.

4 試題評析

本題是在橢圓的第三定義背景下命制的一道多項選題壓軸題，試題設(shè)想考查學(xué)生對直線與圓錐曲線位置中的定量、軌跡等知識的掌握熟練程度；同時也考查學(xué)生在解題過程中根據(jù)題設(shè)條件適時調(diào)整運算方向和運算策略方案的能力，這也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的有效途徑.當(dāng)然在關(guān)注通性通法的基礎(chǔ)上，作為選擇題也可以從特殊值角度分析來降低難度，如從特殊點M（0，1）入手，結(jié)合對稱性取兩個特殊位置分析便于找到直線AM與BN交點的軌跡方程就是x=4.這符合現(xiàn)行的高考命題目的.本題當(dāng)中若不借助kMA與kBN的關(guān)系求軌跡方程，過程略顯麻煩，實際本題設(shè)置選項C就是為D選項做鋪墊用的.本題的測試具備一般性解決、功能性檢測、特殊性反饋，對后續(xù)的復(fù)習(xí)能夠起到很好的示范作用，可作為一道選擇壓軸題.

5 命題拓展

拓展一：已知A、B是橢圓E：x2/a2+y2/b2=1的左右頂點，過E的右焦點F的直線與E交于M、N兩點，則直線AM、BN交點的軌跡方程是x=a2/c.反之：點P是直線x=a2/c上的一點，直線AP、BP分別與E交于M、N兩點，則MN過定點F.（證明略）

拓展二：已知P是橢圓E：x2/a2+y2/b2=1的定點，M、N是E上的兩動點，若kMP·kNP為定值，則直線MN過定點.（證明略）

基于教材中橢圓的第三定義背景進行試題命制，源于教材又高于教材，符合中國考試評價要求，試題能夠有效檢測學(xué)生對所習(xí)知識的掌握情況，考查數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)達成情況，同時試題命制心路的呈現(xiàn)也能正確引導(dǎo)后續(xù)教學(xué).

參考文獻

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［3］翁建新. 窺一角而知全貌 處一隅而觀全局［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2021，（9）：1-3.