沈江天 周和建

(臺州市第一中學,浙江 臺州 318000)

物理學常以行駛的汽車作為聯(lián)系實際的應用場景,汽車力學也是項目化學習的理想學材.但由于汽車機械能流轉(zhuǎn)的機制比較復雜,加上缺乏科學系統(tǒng)的參考文獻,某些涉及牽引力和輪胎摩擦力的問題一直存在認知的誤區(qū),有必要由淺入深逐一探討.

1 汽車的動力和阻力是什么?

圖1

第一,如圖2所示,汽車之所以向左加速前進,是因為驅(qū)動輪在發(fā)動機帶動下“主動”逆時針轉(zhuǎn)動,把路面水平向右

圖2

推動,產(chǎn)生摩擦力f0,從而讓驅(qū)動輪受到一個向左的反作用摩擦力f.地面施加的f就是包括輪子在內(nèi)的汽車的動力.所以“發(fā)動機施加的動力”這種說法說錯了施力物體.發(fā)動機作為汽車整體的一部分,其作用只是通過內(nèi)力做功讓驅(qū)動輪主動轉(zhuǎn)起來,不可能作為施力物體直接對汽車施加能產(chǎn)生整體加速度的外力,就像一個人不可能抓住自己的頭發(fā)把自己提起來.

第二,此題解答中認為地面對汽車的摩擦阻力為μmg,其中包含了兩個錯誤.

首先,如果全部輪子都是驅(qū)動輪(如四驅(qū)型越野車),地面對汽車的摩擦力全部都是動力,不存在摩擦阻力.如果存在非驅(qū)動輪(如前驅(qū)型普通家用轎車),地面對非驅(qū)動輪的摩擦才是阻力.非驅(qū)動輪所受的支持力顯然小于整輛汽車的重力mg,解答卻以為非驅(qū)動輪承載了整輛汽車的重力.

其次,地面對非驅(qū)動輪的摩擦阻力有人稱為滾動摩擦,嚴格地說,并不存在滾動摩擦的概念,[1]滾動摩擦本質(zhì)上是以靜摩擦為主的阻力.因為非驅(qū)動輪繞著潤滑良好的軸承轉(zhuǎn)動,這一阻力遠遠小于輪子在同樣壓力下完全不轉(zhuǎn)動時的滑動摩擦力,解答中卻錯誤地把這個很小的阻力用滑動摩擦力的公式計算.

實際上只有全部車輪都不轉(zhuǎn)動,整輛汽車像一個僵硬的物塊一樣滑動時,才能認為摩擦阻力等于μmg.發(fā)明輪子是人類歷史上最偉大的進步之一.此類習題卻讓汽車退化為可笑的“滑塊”.

小結(jié):汽車前進的動力是地面對驅(qū)動輪的摩擦動力,此力因發(fā)動機而生,并非發(fā)動機所施;汽車的阻力包括空氣阻力和地面對非驅(qū)動輪的摩擦阻力,此摩擦阻力通常遠小于μmg.

2 地面對汽車的摩擦力有沒有做功?

在路面堅硬且輪胎完全不打滑的理想狀態(tài)下,觸及地面的輪胎表面相對于地面靜止,與地面不接觸時才運動.也就是說,輪胎表面與地面接觸的部分受到摩擦力卻沒有位移,分離時有位移卻不受摩擦力.因此驅(qū)動輪受到的摩擦動力和非驅(qū)動輪受到的摩擦阻力都不做功.

當然,實際上汽車輪胎與地面之間不可能完全不打滑.

正常行駛時,對于驅(qū)動輪(如圖2所示),輪胎在地面支持力作用下發(fā)生豎直方向的形變,與地面形成一個近似矩形的接觸面.同時,矩形接觸面上的輪胎表面受到向前的摩擦動力的作用,將出現(xiàn)向前的切向形變.接觸面上靠后(圖2右側(cè))的一小部分輪胎表面在即將離開地面時,壓力快速減小,最大靜摩擦力隨壓力減小而減小,靜摩擦將無法阻止向前的切向形變向后快速恢復(即向著與向前的摩擦動力相反的方向滑動),所以此處出現(xiàn)少許滑動是不可避免的,且滑動摩擦力對輪胎表面做負功.同理,對于非驅(qū)動輪,接觸面上靠后的一小部分輪胎表面也會滑動,滑動摩擦力也要做負功.無論驅(qū)動輪還是非驅(qū)動輪,滑動摩擦力一般都僅僅出現(xiàn)在即將與地面分離的很少一部分接觸面上,其大小遠小于靜摩擦力,所做的負功都可忽略.

非正常行駛時,例如大油門啟動、超高速行駛、緊急制動、急轉(zhuǎn)彎、路況不佳等等,打滑現(xiàn)象會明顯增加,滑動摩擦力做的負功也可明顯增加.以緊急制動為例,現(xiàn)在的汽車幾乎都裝有ABS系統(tǒng)(制動防抱死系統(tǒng)),輪胎滑動率最大值一般控制在20%左右.[2]此時地面對輪胎的滑動摩擦力做的負功顯著增加,成了機械能快速耗散的重要途徑,不過比起剎車片摩擦發(fā)熱耗散的機械能,還是相對較少.正因為如此,長下坡連續(xù)剎車時需要注意輪胎磨損和發(fā)熱的隱患,更需要注意剎車片過熱造成剎車失靈的隱患.

小結(jié):正常行駛時,路面對驅(qū)動輪和非驅(qū)動輪的摩擦都以靜摩擦為主,靜摩擦力不做功,同時存在的滑動摩擦力做少量的負功.非正常行駛時這個負功可以顯著增加.

3 能做正功的牽引力究竟是什么?

推動汽車前進的摩擦動力不做正功,那為什么平常所說的牽引力卻能做正功呢?牽引力到底是什么?

牽引力與摩擦動力做的功截然不同,顯然不是一樣的概念.這一點也獲得了主流觀點的認同.遺憾的是,究竟何謂牽引力的爭議從未停息,以至于至今尚未形成公認的牽引力定義.

主流觀點中文獻[3]提出的看法相對比較合理:如圖3所示,汽車向左運動,“汽車的驅(qū)動輪所受地面的靜摩擦力f并不是汽車的牽引力,而驅(qū)動輪施加在車軸上的、方向向前的推力F才是汽車前進時的牽引力”.

圖3

該文把平動的車身與轉(zhuǎn)動(同時在平動)的車輪分開作為研究對象.以車身為研究對象時,作用在車身軸承上的推力(即牽引力)F成了外力.文章認為這個牽引力F大小和方向都與摩擦動力f相同,性質(zhì)和作用點都與f不同.這個定義既保留了牽引力產(chǎn)生車身加速度的功能,又解釋了f不做正功而F卻能做正功(受力點有向左的速度)的疑問.

可是,如此界定牽引力,又會帶來一個新的問題.以車身為研究對象用外力F計算加速度時,要把車輪的質(zhì)量排除在外;當車輪質(zhì)量m及其平動加速度a的乘積ma不可忽略時,F與f顯然不相等.而我們平常所說的牽引力,卻是可以產(chǎn)生汽車整體平動加速度的外力,理論上必須與f大小相等.因此,文章盡管為解決牽引力做正功的懸疑提供了富有啟發(fā)性和創(chuàng)造性的簡明思路,還是不夠完美.

筆者認為,我們計算汽車整體平動的加速度時,實際上已經(jīng)很自然地把整輛汽車的質(zhì)量集中到了質(zhì)心,看成了一個質(zhì)點,對車輪的轉(zhuǎn)動已視而不見.此時地面對驅(qū)動輪的摩擦動力也被自然地“假想”遷移到質(zhì)心上.這個被遷移到質(zhì)心的摩擦動力,保持原來的大小和方向不變,因而對汽車整體平動的加速度沒有任何影響.另一方面,把汽車簡化為質(zhì)點之后,發(fā)動機和驅(qū)動輪都不再“存在”,內(nèi)力做正功使汽車動能增加的內(nèi)部機制已經(jīng)在研究者的視野中“消失”,而本來作用在驅(qū)動輪上不做正功的摩擦動力,變成了作用在平動質(zhì)心上能做正功的牽引力,恰好等效補償了內(nèi)力做正功機制的“消失”.所以,與其把牽引力看作驅(qū)動輪對軸承的水平推力,留下與摩擦動力可能不相等的遺憾,不如把牽引力簡單地視為作用點被遷移到質(zhì)心的摩擦動力.賦予遷移后的摩擦動力做正功的能力,是把汽車理想化為質(zhì)點時理所當然的等效變通.

小結(jié):牽引力是因為作用點被“假想”遷移到汽車的質(zhì)心而附加了做正功能力的摩擦動力.

4 牽引力的功是不是驅(qū)動力矩做的功?

傳統(tǒng)汽車理論還給牽引力下了一個模糊的流行定義:牽引力是汽車發(fā)動機對驅(qū)動輪的驅(qū)動力矩使汽車前進的力.據(jù)此多數(shù)文獻認為“牽引力做的功就是驅(qū)動力矩做的功”.[4]還有研究者進一步深刻分析了能量轉(zhuǎn)化機制,指出:“可將發(fā)動機的驅(qū)動力矩和(地面對)驅(qū)動輪的摩擦力的綜合作用等效為牽引力.”[5]這些研究清晰揭示了汽車動能來自發(fā)動機而不是地面,豐富和發(fā)展了汽車力學理論.

然而,通過以下推導,筆者發(fā)現(xiàn)牽引力做的功與驅(qū)動力矩做的功還是存在著本質(zhì)的區(qū)別.

把驅(qū)動輪理想化為剛體,不考慮制動等特殊的狀態(tài),設發(fā)動機對驅(qū)動輪的驅(qū)動力矩大小為M驅(qū);地面對驅(qū)動輪的摩擦力f對平動而言是動力,對轉(zhuǎn)動卻是阻力(參見圖3),設其力矩大小為Mf;軸承摩擦和空氣對轉(zhuǎn)動也有阻礙,設其合力矩大小為M阻;若驅(qū)動輪轉(zhuǎn)動慣量為J,在驅(qū)動輪轉(zhuǎn)過角度θ的過程中,初、末角速度分別為ω1、ω2.則它們的關(guān)系可表示為

(1)

可見即使在常規(guī)情況下,由于軸承和空氣對驅(qū)動輪的阻力矩做了負功-M阻θ,以及可能的車速變化導致ω的變化,驅(qū)動力矩做的功M驅(qū)θ與驅(qū)動輪克服地面摩擦力矩做的功Mfθ也可以不相等.

如果出現(xiàn)特殊的情況,這兩個功差值可能變得更大.例如,設想一種極端的狀況——地面光滑,或者驅(qū)動輪因路面起伏暫時離開地面,司機仍踩下油門,則驅(qū)動輪將在驅(qū)動力矩的作用下快速空轉(zhuǎn),汽車將完全喪失前進的動力,驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)動動能將完全喪失轉(zhuǎn)變?yōu)槠嚻絼觿幽艿耐緩?只能通過克服軸承和空氣的阻力矩做功而耗散.此時M驅(qū)θ>0,Mfθ=0,兩者的區(qū)別更是顯而易見.

從(1)式還可看出,Mfθ表示Mf對轉(zhuǎn)動動能的“吸收量”,那么這部分被吸收的轉(zhuǎn)動動能是否等于牽引力做的功呢?若驅(qū)動輪半徑為r,牽引力大小為F引,汽車平動位移大小為x,則按照公認的計算習慣,牽引力做的功等于F引x.唯有再加上不打滑的條件,才能導出Mfθ=frθ=F引rθ=F引x,才能認為被Mf吸收的轉(zhuǎn)動動能全部以牽引力做的功F引x為量度,轉(zhuǎn)化為汽車整體的平動動能.然而,如前文所述,無論汽車是否正常行駛,打滑都不可避免,即Mfθ>F引x.

總之,從數(shù)值上看,M驅(qū)θ≠Mfθ≠F引x.正常行駛時這3個功差異并不顯著,非正常狀態(tài)時可以明顯不同.

其實不只是數(shù)值,站在物理意義的角度考量,它們也有區(qū)別.由(1)式可知,驅(qū)動力矩做的功M驅(qū)θ是來自發(fā)動機的能量向著驅(qū)動輪轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)化的量度,Mfθ是摩擦動力對轉(zhuǎn)動動能的吸收量的量度.而牽引力做的功F引x是被Mf吸收的轉(zhuǎn)動動能最終向著平動動能轉(zhuǎn)化的量度.

小結(jié):無論從數(shù)值上看,還是從能量轉(zhuǎn)化的意義上看,牽引力做的功與驅(qū)動力矩做的功都不相同.