程 丹,席吉富,羅子怡,蘇彥玉,龍 兵

(荊楚理工學院數(shù)理學院,湖北 荊門 448000)

0 引言

逆指數(shù)分布是可靠性試驗中一類重要的壽命分布,關于此分布的統(tǒng)計推斷問題受到諸多學者的關注。文獻[1]基于完全樣本,在復合LINEX損失下研究了逆指數(shù)分布模型參數(shù)的Bayes估計,通過蒙特卡洛模擬對估計的優(yōu)良性進行評估。文獻[2]在刻度平方誤差損失函數(shù)下討論了逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計,通過隨機模擬方法說明了刻度參數(shù)對Bayes估計的影響。文獻[3]選取參數(shù)的先驗分布為無信息先驗分布,分別在平方損失、LINEX損失及熵損失下研究了逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計,并對三類損失函數(shù)下的風險函數(shù)進行了比較。文獻[4]在平方損失、LINEX損失下討論了逆指數(shù)分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計,通過隨機模擬方式,論證了估計量的性質(zhì)。文獻[5]以逆指數(shù)分布模型為例,研究了損失函數(shù)及風險函數(shù)的Bayes 估計,說明了Bayes估計的合理性。國外也有許多關于逆指數(shù)分布統(tǒng)計性質(zhì)的研究成果,如文獻[6-8]。

設隨機變量X服從參數(shù)為θ的逆指數(shù)分布,其概率密度函數(shù)及累積分布函數(shù)分別為:

(1)

(2)

其中,θ(>0)為未知參數(shù)。

根據(jù)式(1)及式(2),則可靠度函數(shù)R(t)及失效率函數(shù)h(t)分別為:

(3)

(4)

定義1 假設{Xn,n≥1}是獨立同分布隨機變量序列,令

U(1)=1,U(n+1)=min{j:j>U(n),Xj

記錄值是一種特殊的次序統(tǒng)計量,由觀測值和出現(xiàn)順序決定,其在工程、壽命試驗、體育、經(jīng)濟等方面都有著十分重要的應用。許多學者對記錄值進行了統(tǒng)計分析并得到了一些重要的結(jié)論,文獻[9]基于下記錄值對廣義指數(shù)分布進行了統(tǒng)計推斷。文獻[10]基于記錄值討論了Kumaraswamy分布參數(shù)的區(qū)間估計問題。文獻[11-12]基于記錄值用Bayes方法研究了模型參數(shù)的估計。我國也有一些關于記錄值樣本的研究成果,如文獻[13-15]。但目前還未見到在下記錄值下關于逆指數(shù)分布統(tǒng)計性質(zhì)的研究成果,故對這一問題進行討論。

1 頻率估計

設XU(1)=x1,…,XU(n)=xn是來自逆指數(shù)分布(1)的n個下記錄統(tǒng)計量,根據(jù)文獻[14]可得到似然函數(shù)為:

(5)

將式(1)與式(2)代入式(5)可以得到:

(6)

根據(jù)式(6),對數(shù)似然函數(shù)為:

根據(jù)文獻[14]可知,統(tǒng)計量XU(n)的概率密度函數(shù)為:

因此對于逆指數(shù)分布模型來說,可以進一步得到XU(n)的概率密度函數(shù)為:

2 Bayes估計

在Bayes統(tǒng)計推斷中,需事先確定先驗分布及損失函數(shù),Gamma分布經(jīng)常被用作未知參數(shù)的先驗分布,因此取θ的先驗分布為Gamma分布,其概率密度函數(shù)為:

(7)

超參數(shù)a>0,b>0,Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

在統(tǒng)計決策理論及Bayes分析中,平方誤差損失函數(shù)是一種經(jīng)常被采用的對稱損失函數(shù),其優(yōu)點是可以較容易地計算出被估計量的Bayes估計。平方誤差損失被定義為:LS(φ(β),δ)=[δ-φ(β)]2,其中δ是φ(β)的一個估計。

在平方誤差損失函數(shù)下,φ(β)的Bayes估計為 :

(8)

其中,Eφ(·)表示關于φ(β)的后驗密度函數(shù)求后驗期望。

平方誤差損失函數(shù)是一類對稱損失函數(shù),過高及過低估計帶來的風險是相同的。在某些情況下,高估與低估會有不同的估計風險,因此對稱損失函數(shù)可能是不合理的?？紤]一類非對稱損失函數(shù),即熵損失函數(shù),它被定義為:

在熵損失函數(shù)下,φ(β)的Bayes估計為:

(9)

根據(jù)式(6)及式(7),可得θ的后驗密度函數(shù)為:

(10)

根據(jù)式(10)可得以下定理:

證明:根據(jù)式(8)可得:

證明:根據(jù)式(9)可得:

由式(9)可得熵損失函數(shù)下h(t)的Bayes估計為:

(i)在平方誤差損失函數(shù)下未知參數(shù)θ的E-Bayes估計為:

(ii)在熵損失函數(shù)下未知參數(shù)θ的E-Bayes估計為:

證明:(i)根據(jù)E-Bayes估計的定義,利用超參數(shù)a,b的概率密度函數(shù),對θ的Bayes估計再求一次數(shù)學期望就可以得到θ的E-Bayes估計,因此在平方誤差損失函數(shù)下未知參數(shù)θ的E-Bayes估計為:

類似地也可以證明(ii)。

3 數(shù)值例子

利用頻率方法已經(jīng)得到了逆指數(shù)分布中未知參數(shù)的極大似然估計及一致最小方差無偏估計。利用Bayes方法得到了模型參數(shù)、可靠度及失效率的Bayes估計。針對具體的樣本進行數(shù)值計算,文獻[4]中給出了參數(shù)θ=2的逆指數(shù)分布樣本:8.709 4,45.335 6,3.081 9,15.665 2,1.139 8,97.746 9,1.533 8,1.452 4,15.073 4,6.562 7,1.004 4,0.450 1,17.831 1,1.239 3,1.655 3,4.838 7,1.590 7,2.643 1,0.730 8,170.450 2。

由此可以得到樣本總數(shù)為 5 的下記錄值:8.709 4,3.081 9,1.139 8,1.004 4,0.450 1。

表1 Bayes估計

4 結(jié)束語

基于下記錄值,討論了逆指數(shù)分布參數(shù)、可靠度、失效率的極大似然估計及Bayes估計,研究了未知參數(shù)的一致最小方差無偏估計。根據(jù)E-Bayes估計的定義,討論了未知參數(shù)在平方誤差損失及熵損失函數(shù)下的E-Bayes估計。為了解各類估計的效果,利用數(shù)值例子計算出各類估計的值,對于同一個被估計量在平方誤差損失函數(shù)下的估計值要大于在熵損失函數(shù)下的估計值?？梢钥紤]計算可靠度及失效率的E-Bayes估計,由于沒有顯式表達式,可通過隨機模擬的方法計算出近似值。利用本方法基于上記錄值也可研究逆指數(shù)分布參數(shù)、可靠度及失效率的估計問題。