江蘇南京理工大學(xué)實(shí)驗(yàn)小學(xué)（210014） 邱 迪

一、周長(zhǎng)和面積的量感現(xiàn)狀學(xué)情調(diào)研

人天生具備對(duì)數(shù)量多少和距離遠(yuǎn)近的感知力，并有抽象和想象的特殊能力，這是形成量感的思維基礎(chǔ)。那么，學(xué)生天生對(duì)周長(zhǎng)和面積的感知力如何？在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)和面積之后，學(xué)生產(chǎn)生困惑的根源究竟是什么？如何讓學(xué)生從度量的角度體會(huì)周長(zhǎng)和面積在本質(zhì)上的區(qū)別與聯(lián)系？基于以上問題，筆者從度量思想的角度出發(fā)，為還未學(xué)習(xí)周長(zhǎng)和面積的三年級(jí)學(xué)生安排了周長(zhǎng)和面積的學(xué)習(xí)前測(cè)，為已經(jīng)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)和面積的四年級(jí)學(xué)生安排了周長(zhǎng)和面積的學(xué)習(xí)后測(cè)。期望通過不同學(xué)習(xí)進(jìn)程的學(xué)情調(diào)研，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，以學(xué)定教，對(duì)周長(zhǎng)和面積的度量教學(xué)做出有益探索。

1.調(diào)研形式與學(xué)情分析

本次學(xué)情調(diào)研采用“問卷答題+訪談”的形式，調(diào)研對(duì)象來自本市某所普通公辦小學(xué)，在三年級(jí)和四年級(jí)各隨機(jī)抽取兩個(gè)班，參與調(diào)研人數(shù)為三年級(jí)97人，四年級(jí)90人。調(diào)研時(shí)間是2022年9月末，此時(shí)三年級(jí)學(xué)生還沒有開始周長(zhǎng)和面積的學(xué)習(xí)，而四年級(jí)學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積的學(xué)習(xí)已經(jīng)過了數(shù)月，存在一定程度的遺忘。

2.調(diào)研內(nèi)容設(shè)計(jì)及理念

基于三、四年級(jí)學(xué)生在周長(zhǎng)和面積學(xué)習(xí)進(jìn)程上的不同，調(diào)查問卷分為A、B 兩卷，A 卷是“周長(zhǎng)和面積學(xué)習(xí)前測(cè)”，由三年級(jí)學(xué)生完成；B 卷是“周長(zhǎng)和面積學(xué)習(xí)后測(cè)”，由四年級(jí)學(xué)生完成。

A 卷設(shè)置了2 個(gè)情境式的調(diào)研問題，從周長(zhǎng)和面積的“直觀感知”“識(shí)別理解”“度量表征”三個(gè)維度進(jìn)行設(shè)計(jì)；B 卷也設(shè)置了2 個(gè)調(diào)研問題，從“概念辨析”“度量方法”兩個(gè)維度比較周長(zhǎng)和面積，讓學(xué)生感知周長(zhǎng)和面積的聯(lián)系。

3.問卷設(shè)計(jì)與結(jié)果反饋

【A卷】周長(zhǎng)和面積學(xué)習(xí)前測(cè)

調(diào)研問題：（1）下面兩幅圖是分別用6 塊相同的灰色小正方形設(shè)計(jì)的圖形，兩個(gè)圖形一樣大嗎？在你認(rèn)為正確的答案后面畫“√”。

①

②

①號(hào)大（ ） ②號(hào)大（ ） 一樣大（ ）

（2）下圖是用籬笆圍的兩塊種植田。

①圍（ ）種植田用的籬笆更長(zhǎng)。如果分別用一個(gè)數(shù)來表示圍這兩塊種植田的籬笆有多長(zhǎng)，你認(rèn)為a種植田是（ ），b種植田是（ ）。

②（ ）種植田更大，可以種更多的菜。如果分別用一個(gè)數(shù)來表示這兩塊種植田的大小，你認(rèn)為a種植田是（ ），b種植田是（ ）。

調(diào)研結(jié)果：

根據(jù)表1 可知，大部分三年級(jí)學(xué)生對(duì)面積的大小已經(jīng)具備一定的感知。兩個(gè)圖形雖然形狀不同，但教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用圖中的小正方形作為統(tǒng)一單位去度量，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形所包含的單位面積的“量”是一樣的，這有助于學(xué)生后續(xù)建立面積守恒觀念。

表1 調(diào)研問題（1）的學(xué)生完成情況

結(jié)合表2、表3可知，大部分三年級(jí)學(xué)生即使沒有開始學(xué)習(xí)周長(zhǎng)和面積，在具體的情境中也能識(shí)別它們，還能借助方格邊數(shù)、方格數(shù)對(duì)它們進(jìn)行度量及數(shù)據(jù)表征。這說明學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積這樣的幾何量具備天生的直覺。其中，有74.2%的學(xué)生可以準(zhǔn)確感知并能借助方格邊數(shù)表示籬笆有多長(zhǎng)，而有86.6%的學(xué)生可以準(zhǔn)確感知并能借助方格數(shù)正確度量表征種植田有多大，這說明學(xué)生天生對(duì)面積的感知與理解要優(yōu)于對(duì)周長(zhǎng)的觀察與理解。

表2 調(diào)研問題（2）中學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的識(shí)別理解與度量表征情況

表3 調(diào)研問題（2）中學(xué)生對(duì)面積的識(shí)別理解與度量表征情況

【B卷】周長(zhǎng)和面積學(xué)習(xí)后測(cè)

調(diào)研問題：（1）比較下面兩個(gè)圖形的面積和周長(zhǎng)。

①面積：A○B(yǎng)。我是這樣比的：_____。

②周長(zhǎng)：A○B(yǎng)。我是這樣比的：___。

（2）一張長(zhǎng)8 cm、寬7 cm 的長(zhǎng)方形紙，最多可以剪成多少?gòu)堖呴L(zhǎng)為2 cm 的正方形紙？（注：可以借助方格紙驗(yàn)證，1個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1 cm）

調(diào)查結(jié)果：

結(jié)合表4、表5 可知，在比較長(zhǎng)方形、正方形的面積和周長(zhǎng)時(shí)，學(xué)生的正確率高達(dá)80%～90%，在選擇列式計(jì)算的學(xué)生中，沒有人將周長(zhǎng)和面積的公式用反或用錯(cuò)，錯(cuò)誤主要出現(xiàn)在單位名稱上。筆者通過訪談發(fā)現(xiàn)，有個(gè)別學(xué)生認(rèn)為單位不重要，只需比較相應(yīng)的數(shù)值即可，這是圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量教學(xué)中對(duì)學(xué)生量感培養(yǎng)的忽視所致。

表4 調(diào)研問題（1）中學(xué)生對(duì)面積的概念辨析與度量方法情況

表5 調(diào)研問題（1）中學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的概念辨析與度量方法情況

表6 反映了一道面積易錯(cuò)題的答題情況，數(shù)據(jù)顯示，僅有48%的學(xué)生能夠準(zhǔn)確表達(dá)每一步列式的含義，并寫出度量的實(shí)際步驟和結(jié)果。在“解答正確，驗(yàn)證失敗”“解答正確，無驗(yàn)證”和“解答有誤，驗(yàn)證后獲得正確解法”的學(xué)生中，筆者各選一名進(jìn)行訪談。

表6 調(diào)研問題（2）中學(xué)生從度量角度感知周長(zhǎng)和面積聯(lián)系情況

師：這道題你做對(duì)了，你的方法是什么？

生1（解答正確，驗(yàn)證失?。豪蠋熃踢^這種類型題目的解法，我是用同樣的方法去解的。

師：但你的驗(yàn)證失敗了，你知道原因嗎？

生1：不是特別清楚。

師：這道題你做對(duì)了，但為什么沒有使用方格紙驗(yàn)證呢？

生2（解答正確，無驗(yàn)證）：我覺得已經(jīng)做完了，我怕驗(yàn)證錯(cuò)了。

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)第一種解法錯(cuò)了呢？

生3（解答有誤，驗(yàn)證后獲得正確解法）：我一開始算的答案是14 張，接著在方格紙中畫了畫，發(fā)現(xiàn)最后一行的寬不足2厘米。

師：為什么換了第二種方法？

生3：第二種方法可以與方格紙上的圖對(duì)應(yīng)上，比較符合實(shí)際。

這道題的設(shè)計(jì)意圖有兩點(diǎn)：一是通過方格紙讓面積的抽象度量回歸到實(shí)際度量，讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際測(cè)量情況，理解每一步算式的實(shí)際含義，如此，學(xué)生不僅對(duì)數(shù)有感知，對(duì)量也有感知；二是通過用方格紙驗(yàn)證的方式找到周長(zhǎng)度量和面積度量的相通性，感受度量從“一維到二維”的延伸。該題的易錯(cuò)點(diǎn)在于長(zhǎng)8 厘米、寬7 厘米的長(zhǎng)方形的面積為56 平方厘米，這個(gè)數(shù)據(jù)正好可以被4 整除，若沒有“借助方格紙驗(yàn)證”這一步，學(xué)生的錯(cuò)誤率會(huì)進(jìn)一步上升。

二、周長(zhǎng)和面積教學(xué)中存在的問題

周長(zhǎng)和面積是“圖形與幾何”領(lǐng)域“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題中的兩個(gè)幾何量概念。根據(jù)蘇教版教材的編排，三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“周長(zhǎng)”，下冊(cè)學(xué)習(xí)“面積”。學(xué)生從周長(zhǎng)到面積的學(xué)習(xí)，是空間觀念“由線及面”的延伸，也是空間思維由“一維到二維”的拓展。

1.量感概念建構(gòu)混淆

每次空間認(rèn)知形式上的飛躍，都容易造成學(xué)生對(duì)圖形認(rèn)識(shí)和測(cè)量上的混淆。學(xué)生先學(xué)習(xí)了周長(zhǎng)，就會(huì)對(duì)后續(xù)面積的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一些負(fù)遷移。比如，在初步認(rèn)識(shí)面積概念時(shí)，要表示地圖上一片湖面的大小，學(xué)生往往會(huì)錯(cuò)把湖的周長(zhǎng)當(dāng)作面積，在計(jì)算時(shí)也會(huì)以線代面，對(duì)線和面的感知混亂。

2.缺乏對(duì)度量單位的直觀感知

度量單位是對(duì)周長(zhǎng)和面積這樣的物理屬性賦值的度量標(biāo)準(zhǔn)（也叫“測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)”）。比如，在認(rèn)識(shí)面積單位平方厘米、平方分米、平方米時(shí)，對(duì)于1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的獨(dú)立感知，學(xué)生較為清晰，但是這些單位之間的進(jìn)率是一個(gè)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，有的教師為了“提高效率”，直接出示面積單位的進(jìn)率關(guān)系，這樣一來，就造成了學(xué)生只有對(duì)數(shù)的感知，而無對(duì)量的感知。學(xué)生在面臨需要先進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換，再進(jìn)行面積大小的估測(cè)和比較的問題時(shí)，空間想象力就顯得十分薄弱。究其原因，是學(xué)生對(duì)各類度量單位的實(shí)際感知模糊，以及沒有在同類度量單位之間建立關(guān)聯(lián)感知。

3.忽略對(duì)計(jì)算公式內(nèi)涵的理解

刻畫周長(zhǎng)與面積的本質(zhì)是度量。起初，學(xué)生在探究的過程中是用度量單位直接度量的，周長(zhǎng)由長(zhǎng)度單位累積而成，面積由面積單位累積而成。根據(jù)度量對(duì)象的幾何特征形成不同的數(shù)學(xué)模型，再抽象提煉出度量單位的計(jì)算公式，學(xué)生就可以運(yùn)用公式間接地度量圖形的周長(zhǎng)和面積了。然而，到了小學(xué)高年級(jí)，學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積的認(rèn)知往往僅剩下抽象的公式，這與教師在復(fù)習(xí)時(shí)只整理相關(guān)公式有一定的關(guān)系，這樣的復(fù)習(xí)忽視了學(xué)習(xí)的過程，學(xué)生自然遺忘公式的內(nèi)涵，于是造成運(yùn)用時(shí)的混淆。

三、基于量感現(xiàn)狀調(diào)研的度量教學(xué)啟示

基于上述學(xué)情調(diào)研及結(jié)果反饋，筆者發(fā)現(xiàn)，在以往周長(zhǎng)和面積的教學(xué)過程中，教師往往僅以量的計(jì)算技能為重心，而忽視了學(xué)生對(duì)度量單位本質(zhì)的感悟。這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)概念混淆、度量單位感知缺失、計(jì)算公式缺乏內(nèi)涵理解等情況。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022 版課標(biāo)”）特別引入量感作為當(dāng)代學(xué)生應(yīng)具備的核心素養(yǎng)，并提出了相應(yīng)的培養(yǎng)要求。這意味著量感是學(xué)生缺一不可的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。量感是什么呢？它和度量有著怎樣的關(guān)系？量感的培養(yǎng)要求又會(huì)給度量教學(xué)帶來哪些新的啟示與導(dǎo)向？

1.加強(qiáng)度量具身體驗(yàn)，為量感生長(zhǎng)鋪墊基石

2022 版課標(biāo)指出：“量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)屬性及大小關(guān)系的直觀感知?！闭J(rèn)知心理學(xué)研究表明，學(xué)生要想逐漸發(fā)展與完善量的直觀感知，就需要積累具身性實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

因此，教學(xué)中要給予學(xué)生充分觀察、操作、體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，如教學(xué)“身體上的尺子”主題活動(dòng)課時(shí)，讓學(xué)生以自己“身體上的尺子”——一拃、一步、一庹為單位去估測(cè)周圍物體的長(zhǎng)、寬、高等參數(shù)。又如，在教學(xué)了“面積”后，讓學(xué)生挑選一張自己喜歡的長(zhǎng)方形照片，并為它制作一個(gè)精美的相框。在制作過程中，學(xué)生需要根據(jù)照片的周長(zhǎng)制作相框的邊框，根據(jù)照片的面積選擇玻璃面的大小，還要感知因度量方法引起的測(cè)量誤差，等等。學(xué)生只有全身心投入這些有意義的、多層次的具身度量體驗(yàn)活動(dòng)時(shí)，他們才能親自體驗(yàn)客觀事物的屬性特征，從而厘清量的概念，擁有量的直覺。由此學(xué)生的量感從“感性描述”逐漸跨越到“理性刻畫”。

2.感悟度量本質(zhì)思想，為量感刻畫建立錨點(diǎn)

量感的經(jīng)驗(yàn)性特征決定了學(xué)生只有對(duì)常見物體的可測(cè)屬性與實(shí)際測(cè)量的真實(shí)結(jié)果有多次體驗(yàn)，獲取直觀經(jīng)驗(yàn)，才可以逐步形成和發(fā)展自身量感。因而度量是量感形成的基礎(chǔ)。

（1）回歸度量的本質(zhì)和意義，初步建立度量思維

由表4、表5 可知，調(diào)查問卷B 卷第（1）題的答題準(zhǔn)確率明顯高于同類型的練習(xí)，學(xué)生基本沒有發(fā)生概念混淆、計(jì)算失誤的情況。究其原因，是這道題在圖形下面增添了方格紙，學(xué)生可以清晰地看到周長(zhǎng)是由圖形外圍一周的方格線累積而得，面積是由圖形內(nèi)部包含的方格累積而得，感受到了量是度量單位的累積，因此周長(zhǎng)、面積這兩個(gè)抽象概念在學(xué)生眼里變得具象可感。借助方格紙，學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積的度量本源會(huì)有更充分的理解：周長(zhǎng)的加法結(jié)構(gòu)是“逐邊累積”，面積的乘法結(jié)構(gòu)是“每排有幾個(gè)單位面積，有幾排”。這樣，學(xué)生就不僅僅停留在“數(shù)的記憶”層面，還加持著“量的感悟”，對(duì)圖形幾何量的量感理解會(huì)更加豐厚。

（2）認(rèn)識(shí)度量的對(duì)象屬性，理解度量單位并形成實(shí)際大小觀念

度量單位實(shí)際是度量的標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)情調(diào)查中筆者發(fā)現(xiàn)，在比較面積或周長(zhǎng)時(shí)，有的學(xué)生會(huì)把面積單位寫成“cm”，有的學(xué)生只計(jì)算不寫單位。學(xué)生認(rèn)為“單位就是字母，算出來就能比較了，不寫單位不影響比較”。由此可見，在一部分學(xué)生的心中，周長(zhǎng)和面積僅僅是一個(gè)“數(shù)”，后面跟著的單位是個(gè)“麻煩”。事物的可測(cè)屬性，如圖形的周長(zhǎng)和面積，都是幾何量，教師需要強(qiáng)調(diào)“數(shù)字+度量單位”的科學(xué)表達(dá)，這樣才能幫助學(xué)生形成度量單位的實(shí)際大小觀念。

3.建立度量橫縱聯(lián)系，為量感發(fā)展優(yōu)化結(jié)構(gòu)

量感的發(fā)展旨在讓學(xué)生養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問題的習(xí)慣，從而形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)。因此，在度量教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看待世界，厘清不同維度的量之間的區(qū)別與聯(lián)系。

（1）注重同類度量單位的縱向聯(lián)系

幾乎所有度量單位的產(chǎn)生和發(fā)展都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的由多元到統(tǒng)一、由粗略到精細(xì)的過程。因此，同種量的度量單位之間存在科學(xué)化、精細(xì)化的邏輯關(guān)聯(lián)，有些常見的度量單位易于觀察和感知，如1平方分米由100 個(gè)1 平方厘米構(gòu)成；有些不常見的度量單位則難以感知，如千米和公頃。這就需要教師打通同種量的度量單位在大小關(guān)系或距離遠(yuǎn)近上的邏輯關(guān)聯(lián)，尋找易于感知的參照度量標(biāo)準(zhǔn)，幫助學(xué)生從量的轉(zhuǎn)換、分割、累積等方面展開推理和想象。

（2）聚焦異質(zhì)度量單位的橫向關(guān)聯(lián)

小學(xué)階段學(xué)習(xí)的不少單位量之間雖然屬性不同，但卻有著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。就如周長(zhǎng)、面積和體積，如果沒有一維空間的1 cm，就無法衍生二維空間的1 cm2和三維空間的1 cm3。

筆者嘗試通過調(diào)查問卷B 卷的第（2）題，助力學(xué)生主動(dòng)溝通一維度量與二維度量的聯(lián)系。學(xué)生解答完成并借助方格紙驗(yàn)證時(shí)，就是讓面積的抽象度量回歸到實(shí)際度量。在結(jié)合實(shí)際測(cè)量情況，理解每一步算式的實(shí)際含義的基礎(chǔ)上，學(xué)生不僅對(duì)數(shù)有感知，對(duì)量也有感知，于是順利地在方格紙的驗(yàn)證中找到周長(zhǎng)度量和面積度量的相通性，感受度量從“一維到二維”的延伸。學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中能夠發(fā)現(xiàn)異質(zhì)度量單位之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，并在教師的指導(dǎo)下嘗試用理性的量感去概括這種聯(lián)系的本質(zhì)，從而優(yōu)化量感的發(fā)展。