文/杜攀登

引 言

數(shù)學(xué)概念是關(guān)于事物本質(zhì)特征的描述，是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)[1]。數(shù)學(xué)思維是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的“工具”。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，學(xué)生要發(fā)揮思維作用，不斷探究，一步步地認(rèn)知概念內(nèi)容。與此同時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)展批判思維能力、創(chuàng)新思維能力等，提高數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平。但是，在傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，部分教師單向講解概念內(nèi)容，剝奪學(xué)生思維機(jī)會(huì)。學(xué)生往往被動(dòng)接受數(shù)學(xué)概念，無法做到知其然而知其所以然，難以深刻地認(rèn)知數(shù)學(xué)概念，更加不知道如何應(yīng)用數(shù)學(xué)概念。此外，學(xué)生的思維能力發(fā)展也受到嚴(yán)重的阻礙。要想改變此現(xiàn)狀，教師必須引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。深度學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，主動(dòng)遷移已有認(rèn)知，解決實(shí)際問題，并在此過程中將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，發(fā)展高階思維能力的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，學(xué)生會(huì)自覺經(jīng)歷概念引入、概念建立和概念鞏固三個(gè)環(huán)節(jié)，深入探究概念內(nèi)容，做到知其然而知其所以然，建立深刻的認(rèn)知，同時(shí)提高高階思維發(fā)展水平。教師引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)概念的策略有如下幾方面。

一、概念引入策略

（一）應(yīng)用問題引入概念

由于數(shù)學(xué)概念具有抽象性和復(fù)雜性，小學(xué)生難以對(duì)數(shù)學(xué)保持持久興趣。所以，在數(shù)學(xué)課堂上，教師要依據(jù)數(shù)學(xué)概念內(nèi)容設(shè)計(jì)趣味性問題，吸引學(xué)生注意力。同時(shí)，在趣味性問題的作用下，學(xué)生會(huì)積極思索，便于進(jìn)行深入探究。

以“探索活動(dòng)：平行四邊形的面積”為例，在課堂上，教師可以利用生動(dòng)的語言講述本市的創(chuàng)城故事。學(xué)生在傾聽之際，進(jìn)入了真實(shí)的生活場(chǎng)景。在講到“本市準(zhǔn)備修建兩個(gè)巨型花壇”時(shí)，教師操作電子白板，展示一幅主題圖。學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖片有一個(gè)長方形花壇和一個(gè)平行四邊形花壇?；诖耍處煱l(fā)問：“大家覺得這兩個(gè)花壇哪一個(gè)較大？”學(xué)生紛紛思考，共給出三種不同的回答。教師面露好奇，詢問：“比較花壇的大小，實(shí)際上是在比較什么？”學(xué)生遷移已有認(rèn)知，很容易聯(lián)想到“面積”。教師追問：“我們可以怎樣準(zhǔn)確地比較這兩個(gè)花壇的面積？”有學(xué)生踴躍發(fā)言：“可以用數(shù)學(xué)公式計(jì)算出兩個(gè)花壇的面積，再進(jìn)行比較?！苯處煱l(fā)問：“怎樣計(jì)算長方形花壇的面積？怎樣計(jì)算平行四邊形的面積？”學(xué)生積極思維，回想起了長方形的面積計(jì)算公式，但是在思索平行四邊形的面積公式時(shí)毫無頭緒。面對(duì)學(xué)習(xí)困惑，學(xué)生產(chǎn)生了探究興趣。于是，教師和學(xué)生一起探究平行四邊形的面積。

在真實(shí)的情境中，學(xué)生不斷思維，利用已有認(rèn)知解決問題，提高了思維的積極性和知識(shí)應(yīng)用的靈活性，便于深度學(xué)習(xí)概念。

（二）應(yīng)用實(shí)物引入概念

小學(xué)生往往對(duì)數(shù)學(xué)概念感到陌生，但是熟悉各種實(shí)物。實(shí)物是學(xué)生深度學(xué)習(xí)概念的依托[2]。學(xué)生通過與實(shí)物“互動(dòng)”，可以逐步剖析、了解概念本質(zhì)。在實(shí)施概念教學(xué)時(shí)，教師可以依據(jù)概念內(nèi)容，呈現(xiàn)相關(guān)的實(shí)物，讓學(xué)生產(chǎn)生親切感，自覺與之“互動(dòng)”，夯實(shí)深度學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

以“面的旋轉(zhuǎn)”為例，在這節(jié)課上，學(xué)生要認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐。在教授圓柱時(shí)，教師呈現(xiàn)一些圓柱體物品，如筆筒、卷紙、水杯等。在學(xué)生觀察時(shí)，教師發(fā)問：“這些物品是什么形狀的？”在生活經(jīng)驗(yàn)的助力下，大部分學(xué)生很容易給出答案——圓柱體。教師再次引導(dǎo)學(xué)生觀察，并發(fā)問：“這些圓柱體有哪些特征？”學(xué)生邊觀察邊思考，發(fā)現(xiàn)圓柱體的不同特征，如“圓柱體上下有兩個(gè)圓”“圓柱體的中間是一個(gè)曲面”“圓柱體的表面很光滑”等。教師提出疑問：“到底什么是圓柱？圓柱的特征是否如大家所說的這樣？”同時(shí)，教師提出操作任務(wù)：“請(qǐng)大家剪切拼貼學(xué)具，再次觀察、思考，總結(jié)圓柱的特征?！蓖瑫r(shí)，學(xué)生在觀察、思考的過程中，借助實(shí)物抽象出了“圓柱體”，了解了圓柱體的共同特征。如此，為深度學(xué)習(xí)圓柱體的概念做好了準(zhǔn)備。

二、概念建立策略

（一）借助生活經(jīng)驗(yàn)，理解概念本質(zhì)

在建構(gòu)主義者看來，生活經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)者進(jìn)行有意義建構(gòu)的基礎(chǔ)[3]。數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)生活，現(xiàn)實(shí)生活是數(shù)學(xué)概念抽象的源泉。在體驗(yàn)生活的過程中，不少學(xué)生接觸了各種各樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，建立了感性的數(shù)學(xué)認(rèn)知。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師可以依據(jù)概念內(nèi)容，呈現(xiàn)相關(guān)的生活現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生遷移生活經(jīng)驗(yàn)。在遷移生活經(jīng)驗(yàn)的過程中，學(xué)生會(huì)主動(dòng)感知、分析、比較、抽象、歸納，感悟概念內(nèi)涵，理解概念本質(zhì)。

以“比例尺”為例，在生活中，大部分學(xué)生有閱讀地圖的經(jīng)歷，在一定程度上認(rèn)知了比例尺?；诖耍處熃柚娮影装逭故緦W(xué)校平面圖。與此同時(shí)，教師認(rèn)真描述：“按照一定的比例縮小我們的學(xué)校，得到了這張平面圖。誰能解釋一下‘按一定的比例縮小’是什么意思？”部分學(xué)生展開思維，聯(lián)想生活經(jīng)歷，提道：“學(xué)校各部分的長、寬縮小相同的比例”。教師給予贊賞，并提出要求：“閱讀導(dǎo)學(xué)案上的題目，按要求畫出縮小后的平面圖。”在學(xué)生作圖時(shí)，教師巡視課堂，了解具體情況。同時(shí)，教師耐心地給予每個(gè)學(xué)生指導(dǎo)。

在學(xué)生作圖結(jié)束后，教師隨機(jī)選擇一幅作品，用電子白板進(jìn)行展示。在學(xué)生介紹作圖方法的過程中，教師提出問題：“為什么要將米統(tǒng)一為厘米？”“怎樣才能讓人知道你畫的是長50 米、寬30 米的籃球場(chǎng)呢？”學(xué)生無法解答問題。于是，教師鼓勵(lì)他們自讀教材，探尋問題答案。學(xué)生帶著問題走進(jìn)數(shù)學(xué)教材中，認(rèn)真閱讀，積極思考，發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵信息。在閱讀后，有學(xué)生說道：“可以在圖中標(biāo)注出比例尺?！苯處煶脵C(jī)追問：“什么是比例尺？比例尺有什么用處？”在閱讀認(rèn)知的助力下，一些學(xué)生主動(dòng)作答。有學(xué)生說道：“比例尺是圖上距離和實(shí)際距離的比。”教師面帶不解，詢問：“什么是圖上距離和實(shí)際距離？”學(xué)生拿出自己的作品，指著不同的內(nèi)容進(jìn)行作答：“圖上籃球場(chǎng)的長是5 厘米，寬是3 厘米。實(shí)際上，籃球場(chǎng)的長是50 米，即5000 厘米，寬是30米，即3000 厘米。5∶5000=1∶1000，3∶3000=1∶1000”。教師就此總結(jié)：“在保證圖形不變的情況下，我們?cè)谧鲌D時(shí)，要將它的長、寬按照一定的比例進(jìn)行縮小。”同時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生描述比例尺的內(nèi)涵，然后，說出自己對(duì)“1∶1000”的理解。

在學(xué)生描述的過程中，教師發(fā)問：“比例的前項(xiàng)一定是1 嗎？”在學(xué)生思考時(shí)，教師借助電子白板呈現(xiàn)細(xì)胞圖、零件圖等。學(xué)生在不同圖像的輔助下，探尋比例中的前項(xiàng)和后項(xiàng)的特點(diǎn)，感知比例尺的本質(zhì)。

在課堂上，學(xué)生受到教師的引導(dǎo)，不斷地遷移生活認(rèn)知，抽象出了數(shù)學(xué)概念，深刻感知數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。同時(shí)，學(xué)生因此鍛煉了數(shù)學(xué)抽象能力、概括總結(jié)能力等，提升了數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平。

（二）利用正、反例，把握概念外延

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，部分學(xué)生會(huì)出現(xiàn)概念混淆問題。這是因?yàn)閷W(xué)生沒有深層次理解概念的外延。針對(duì)此情況，教師要善用正例和反例。正例是具有關(guān)鍵特性的實(shí)例。反例是含有部分特性的實(shí)例。在正例、反例的對(duì)比作用下，學(xué)生會(huì)遷移已有認(rèn)知，深入剖析概念，了解概念的關(guān)鍵特性，由此掌握概念的外延，增強(qiáng)概念學(xué)習(xí)效果。

仍以“面的旋轉(zhuǎn)”為例，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，不斷探究，了解了圓柱的特征。但是，一些學(xué)生尚且不了解圓柱的粗細(xì)、高低和哪些因素有關(guān)。對(duì)此，教師可應(yīng)用正例和反例，引導(dǎo)學(xué)生探尋概念外延。

具體而言，教師可操作電子白板，改變一個(gè)圓柱的粗細(xì)和高低（如圖1）。在操作的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，并思考問題：與之前的圓柱相比，現(xiàn)在的圓柱發(fā)生了怎樣的變化？

圖1

在教師的直觀操作下，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)它們的粗細(xì)不同?；诖耍處熥穯枺骸皥A柱的粗細(xì)和什么有關(guān)系？”學(xué)生自覺回顧操作過程，有所發(fā)現(xiàn)。有學(xué)生說道：“圓柱的粗細(xì)和底面圓的大小有關(guān)系。當(dāng)?shù)酌鎴A大時(shí)，圓柱粗；當(dāng)?shù)酌鎴A小時(shí)，圓柱細(xì)。”教師肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，并追問：“能猜測(cè)一下圓柱的長短和什么有關(guān)系嗎？”大部分學(xué)生發(fā)揮想象力，在腦海中想象壓短圓柱的過程，提出猜測(cè)。有學(xué)生猜測(cè)：“圓柱的長短和圓柱側(cè)面的高有關(guān)系?！苯處煶脵C(jī)操作電子白板，展現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象。學(xué)生認(rèn)真觀看，驗(yàn)證自己的猜測(cè)。

學(xué)生在正例的支撐下，想象、猜測(cè)、驗(yàn)證、歸納，一步步地總結(jié)出了影響圓柱粗細(xì)、高低的因素，由此增強(qiáng)了對(duì)圓柱的認(rèn)知。同時(shí)，學(xué)生因此鍛煉了空間想象能力、歸納總結(jié)能力等，發(fā)展了高階思維能力。

三、概念鞏固策略

（一）隨堂練習(xí)，深入了解概念

隨堂練習(xí)是學(xué)生遷移認(rèn)知、解決問題的活動(dòng)。在體驗(yàn)此活動(dòng)的過程中，學(xué)生會(huì)積極思維，分析問題條件，把握關(guān)鍵信息，聯(lián)想概念內(nèi)容，確定解題思路和方法，繼而認(rèn)真運(yùn)算，解決問題。學(xué)生會(huì)因此鞏固概念內(nèi)容，鍛煉分析能力、邏輯思維能力等，增強(qiáng)概念深度學(xué)習(xí)效果。在學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念后，教師要依據(jù)概念內(nèi)容精選題目，組織隨堂練習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生深入了解概念。

以“分?jǐn)?shù)的意義”為例，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下逐步了解了“分?jǐn)?shù)單位的意義”。但是，在認(rèn)知水平差異的影響下，學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)單位的意義”的認(rèn)知結(jié)果不同。于是，教師依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知差異，設(shè)計(jì)難度不同的填空題，具體如下：

（1）2 個(gè)1/3 是（ ），3/8 里 有（ ）1/8 個(gè)。（2）10 dm=（ ）m。7 dm 是1 m 的（ ）。（3）4/7的分?jǐn)?shù)單位是（ ），再加上（ ）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位就是1。（4）將20 個(gè)香蕉平均分為4 份，每份是（ ）個(gè)，占所有蘋果的（ ）。

在完成練習(xí)時(shí)，學(xué)生回想“分?jǐn)?shù)單位的意義”，靈活應(yīng)用并解決問題。在學(xué)生解決問題后，教師組織自主講評(píng)活動(dòng)。教師認(rèn)真傾聽，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識(shí)漏洞，并有針對(duì)性地給予點(diǎn)撥。

學(xué)生在體驗(yàn)隨堂練習(xí)活動(dòng)的過程中，發(fā)揮邏輯思維作用，分析、解決問題，實(shí)現(xiàn)了學(xué)以致用，加深了對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

（二）比較分析，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是深度學(xué)習(xí)的特征之一。數(shù)學(xué)中有諸多概念相似的情況。學(xué)生通過比較、分析相似概念，可以深刻地認(rèn)知其差異，理清每個(gè)概念，建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，在學(xué)生學(xué)了一個(gè)數(shù)學(xué)概念后，教師可以呈現(xiàn)與之相似的概念，引導(dǎo)學(xué)生比較、分析。

以“百分?jǐn)?shù)”為例，在學(xué)生學(xué)了百分?jǐn)?shù)后，教師可呈現(xiàn)兩個(gè)例題，引導(dǎo)學(xué)生判斷正誤。

（1）甲車裝載的米為75 噸，可以說甲車載重的米重75%。（2）甲車裝載的米的重量是乙車裝載的米的重量的3/4，可以說甲車裝載的米重量是乙車裝載的米重量的75%。

在呈現(xiàn)例題后，教師要求學(xué)生先獨(dú)立思考，再與小組成員交流。在交流的過程中，各組成員大都否定了例題（1）的說法。但是，面對(duì)例題（2），他們有不同的看法。不同的看法催生了思維火花。在思維火花的作用下，學(xué)生積極剖析百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系。

在學(xué)生交流后，教師鼓勵(lì)他們毛遂自薦，表述看法。有學(xué)生提道：“例題2 的說法是正確的。但是，百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)不同。百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量的關(guān)系，分?jǐn)?shù)不但可以表示量的關(guān)系，還可以表示具體數(shù)。”立足于此，教師鼓勵(lì)學(xué)生建立“百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系表”，梳理百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的區(qū)別與聯(lián)系。

學(xué)生通過對(duì)比百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的概念，理清了二者之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的總結(jié)，建立了完善的認(rèn)知，增強(qiáng)了深度學(xué)習(xí)效果。

結(jié) 語

總而言之，在實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，教師要以具體的數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)，應(yīng)用適宜的策略，如使用問題引入概念，使用實(shí)物引入概念，借助生活經(jīng)驗(yàn)理解概念本質(zhì)等，使學(xué)生發(fā)揮思維作用，積極探究，扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)概念，同時(shí)發(fā)展高階思維能力，提高概念學(xué)習(xí)質(zhì)量。