黃暉明|福建省廈門市集美區(qū)灌口中學

一、大概念及其分類

現行數學教材以知識的內在邏輯關系為基本依據編排.編寫者先對“具有某種內在關聯性”的內容進行分析、重組、整合，以形成相對完整的單元模塊，再按研究數學對象的基本套路（背景—概念—要素—表示—分類—關系—運算—性質—應用）為線索劃分課時，最后設計符合知識自然發(fā)生發(fā)展及學生認知規(guī)律的問題情境，以便教師展開單元整體教學.用于統(tǒng)攝和組織上述單元教學的便是大概念.

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價值［1］.按照所在層級，大概念可以分為課程大概念、單元大概念、課時大概念.根據教學功能的不同，這些不同層級的大概念還可以分為以下三類：一是指向內容“是什么”的大概念，如“幾何圖形的性質是什么”“解析幾何的數學思維方式是什么（先用幾何眼光觀察，再用代數解決幾何問題）”等；二是指向內容“怎么學”的大概念，如“借助單位圓研究三角函數”“通過運算研究數列問題”“運用導數研究函數性質”等；三是指向內容所蘊含數學基本思想的大概念，如“向量是自由的，是溝通幾何與代數的橋梁”“三角函數性質是圓幾何性質（主要是對稱性）的直接反映”等.從教學功能看，大概念具備知識技能和研究方法雙重屬性，能將離散的知識結構化、方法系統(tǒng)化，能統(tǒng)領課堂教學的有序展開.

二、大概念引領下的單元教學設計要點

大概念是高度抽象的，其與具體對象的關聯以及在解決問題中的引導作用并不是顯而易見的；大概念也不可能一蹴而就地學會，而是要經歷一個從接觸到熟悉到領悟再到自覺運用的“生長”過程.因此，高中數學單元教學設計的關鍵在于大概念的引領，主要包含大概念的提取、生成和驅動.

（一）多角度關聯，提取大概念

多角度提取大概念是教師理解數學、理解教學、理解學生的基點，也是單元教學設計的起點.大概念可以通過課程標準、核心素養(yǎng)、專家思維、學習難點等路徑來提取，但經常是幾條路徑相互關聯、共同作用的結果.如人教A版普通高中教科書《數學》選擇性必修第二冊第四章中的“數列求和”知識：其內容本身涉及課時大概念“前n項和公式是數列的一種表示”、單元大概念“數列是一類特殊函數”；從研究方法角度可以提煉課時大概念“減項求和是數列求和的原理”、單元大概念“通過運算研究數列相關問題”；從學生學習難點出發(fā)可以提煉單元大概念“數列求和化簡要立足數列的性質”；從核心素養(yǎng)角度出發(fā)可以提煉課程大概念“數學運算”等.

（二）設計挑戰(zhàn)性學習任務，生成大概念

專家思維是以大概念來組織的，常常鑲嵌在具體情境之中，大概念的層次越高，越需要更多的具體案例來支撐.生成大概念往往需要具體與抽象思維協(xié)同作用，因此在實際教學中，“具體—抽象—具體”是一種常用的生成機制，而挑戰(zhàn)性學習任務則是承載大概念生成的重要依托.圍繞大概念，在學生的最近發(fā)展區(qū)設計挑戰(zhàn)性學習任務，將大概念滲透于學習任務的逐步解決中，是單元教學設計的重要考量和關鍵環(huán)節(jié).

筆者將“數列求和”知識整合為1個單元4個課時，并設置了7項挑戰(zhàn)性學習任務，具體如下.

第一課時：（1）求1+2+3+···+n；（2）推導一般等差數列前n項和公式；（3）用其他方法得到等差數列前n項和Sn公式.

第二課時：（4）等差數列前n項和公式的應用.

第三課時：（5）棋盤麥粒數問題；（6）求一般等比數列前n項和Sn公式.

第四課時：（7）等比數列前n項和公式的應用.

通過以上學習任務，學生既經歷“首尾配對—倒序相加”的知識發(fā)現之旅，循序漸進地積累代數推理的數學活動經驗，又經歷從特殊到一般再回到特殊的等差、等比數列前n項和的公式推導及應用過程，逐步生成、滲透、應用大概念.這樣螺旋上升地安排學習任務，可讓大概念（數列求和化簡要立足數列的性質）得到反復理解的機會，使學生深度體驗解決數列求和問題的思考結構、思維方式，并能在新的求和情境中激活、運用，從而感受大概念在問題解決過程中的引領作用.

（三）設置問題鏈，驅動大概念

問題鏈是大概念的“門窗”，為大概念的滲透“鋪路”，為大概念的理解提供脈絡化探索路徑，為核心素養(yǎng)的培育提供現實載體.數學問題鏈是根據教學內容及其所蘊含的思維脈絡，立足學生的認知水平而設計的具有系統(tǒng)性、層次性、結構化的一系列問題，由橫向的主干問題及縱向的追問組成.教師要以從整體到局部的結構化思想為指導，先融合學習任務及其所蘊含的思維主線，設置主干問題，搭建問題鏈整體框架，構建思維層次，再細化局部，設計追問，延展思維深度.主干問題是驅動數學知識發(fā)生、發(fā)展過程中的核心問題；追問是遵循學生認知過程、聯結主干問題間的思維跨度、指引學生深入思考的重要問題［2］.

三、大概念引領下的單元教學設計案例

筆者綜合考慮從各個角度提煉出來的大概念，確定以“數列求和”為主題進行單元教學的原則：組織教學內容時，以課時大概念“前n項和公式是數列的一種表示”、單元大概念“數列是一類特殊函數”、課程大概念“數學運算”為統(tǒng)領；梳理教學思路、設計問題鏈、開展教學活動時，以“怎么學”方面的大概念“減項求和是數列求和的原理”“通過運算研究數列相關問題”為思維引領.

在具體的教學設計中，筆者將教學重點放在公式推導的“思想方法”上，引導學生感受代數推理的一般方法，經歷探究數學公式的代數思維過程.如在“等比數列前n項和公式”的教學中，筆者按照“多角度并聯—設計挑戰(zhàn)性學習任務—設置問題鏈”的單元教學流程，設計了如下探究過程及問題鏈.

【環(huán)節(jié)一】創(chuàng)設情境提出問題

［問題情境］棋盤中的麥粒數問題

主干問題1：棋盤中麥?？倲档膯栴}可以轉化為一個什么數學問題？你準備如何解決這個問題？

［師生活動］學生自主抽象出等比數列模型，并將實際問題轉化為求首項為1、公比為2的等比數列前64項和的數學問題；學生獨立思考求和方法后，與同桌交流解決方案.

設計意圖：數學源于生活，用一個有趣的實際問題情境引入等比數列求和問題，激發(fā)學生的探究欲望；讓學生嘗試解決數學問題，積累解決問題的經驗，為后續(xù)學習提供思考空間.

【環(huán)節(jié)二】合作探究推導公式

主干問題2：如何求一個數列的前n項和公式？你有哪些求和的經驗可以借鑒？

［師生活動］教師引導學生歸納數列前n項和公式的推導是將Sn=a1+a2+a3+…+an中的省略號部分消除，然后用“有限”項數的式子表示，經常用基本量來表示；學生回顧首尾配對、分組求和、迭代、倒序相加等求和經驗.

追問1：你能歸納出等差數列求和的原理嗎？

［師生活動］教師引導學生再次歸納數列求和單元的大概念“減項求和是數列求和的原理”“通過運算研究數列相關問題”“數列求和化簡要立足數列的性質”.

追問2：等比數列前n項和公式可以用上述方法推導嗎？

［師生活動］學生借鑒等差數列求和方法（倒序相加），對等比數列的前n項和進行直接相加、相減、相乘、迭代運算，發(fā)現都達不到消項的效果.教師再引導學生在大概念“數列求和化簡要立足數列的性質”的思維引領下進行運算，考慮乘以某數再兩式相加或相減，觀察①Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1與②qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn的聯系，發(fā)現①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn?(q≠1)，再聯系其他情況，最終可得Sn=

追問3：考慮等比數列的性質，還有其他推導方法嗎？

［師生活動］學生回想并羅列等比數列性質=q（n≥2），教師引導學生將其與前n項和Sn相關聯，對上述連等式變形化簡可得到(q≠1)，注意驗證n=1時等式是否成立.根據關系Sn-1=Sn-an(n≥2)及等比數列性質，進行如下變形Sn=a1+a2+···+an=a1+q(a1+a2+···+an-1)=a1+qSn-1，控制變量留基本量，得Sn=a1+qSn-1=a1+q(Snan)，化簡可得(q≠1)，注意驗證n=1時等式是否成立.

追問4：以上三種思路各有何特點？你是如何想到這些求和方法的？

［師生活動］學生回顧思路1“根據等比數列前n項和的特點，運用乘比錯位相減”，思路2“運用等比數列定義及合比定理”，思路3“運用an與Sn關系巧妙構造”，都能達到減項求和效果.教師引導學生歸納這三個思路的由來，學生發(fā)現它們都是基于大概念“通過運算研究數列相關問題”“數列求和化簡要立足數列的性質”“減項求和是數列求和的原理”的思維引領而進行的化簡求和.

設計意圖：如何避免“強行”得到錯位相減法是教學設計過程中需要重點突破的問題，而這主要是由學生思想方法層面（化多為少，化繁為簡）的知識準備不充分造成的.在學生經歷了第一環(huán)節(jié)的“試錯”后，立即引導其回顧總結歸納出數列求和的原理（即大概念）.學生基于大概念，從兩個方向思考：一是消項思想貫穿整個數列求和單元；二是要抓住等比數列定義和性質再進行代數運算.這可強化大概念在求和過程中的思維引領作用，化解求和過程中“想不到”的尷尬.然后通過追問，引導學生總結該課時所學的錯位相減法與另外兩種思路“形異神似”，本質上都是利用等比數列的定義，通過不同的方式進行消項，其中錯位相減法對定義的利用更充分、適用性更強，也更易于理解和操作.最后通過不同思路的公式推導過程，讓學生多次經歷基于等比數列性質，尋找代數運算技巧，將多項、不同數求和化歸為相同數求和的過程，從而切實掌握求和中的代數變換技巧.

主干問題3：當公差不為零時，等差數列前n項和公式是一個特殊的二次函數，那么，等比數列前n項和公式又跟什么函數有關聯呢？

［師生活動］學生思考后小組交流、展示結論.當q=1時，Sn=na1是關于n的一次函數，當q≠1時=kqn+b是一個特殊的指數型函數.

追問5：你覺得故事里的國王能夠兌現承諾嗎？

［師生活動］利用推導出來的公式解決實際問題，讓學生感受數學的實用性，及指數爆炸式增長的“威力”.

設計意圖：通過問題引導學生進行知識的多元聯系，感受教學過程的前后邏輯連貫性，加深對公式的理解，建構知識的結構.

四、大概念引領下的單元教學實踐反思

（一）大概念讓單元教學有邏輯可循

核心素養(yǎng)是對教學目標的描述，而素養(yǎng)形成的前提是理解大概念，形成專家思維.單元是素養(yǎng)目標達成的單位，大概念是單元教學設計的“靈魂”，為單元教學“引路”.在大概念的引領下進行單元教學設計，將散布在教材中“具有關聯性”的知識按“是什么”的大概念進行串聯、整合、重構，找到單元整合的依據和標準，可使單元教學設計有邏輯可循.而“怎么學”的大概念，則為單元教學提供了整體設計思路，引領教師開展課堂教學實踐，實現單元教學的“上接下聯”（即上接學科核心素養(yǎng)、下聯課時教學目標）、上位學科核心素養(yǎng)與下位課時教學目標的貫通，促進學科核心素養(yǎng)的落地.

（二）問題鏈促進大概念的具象化

大概念看不見、摸不著，具有內隱性.大概念引領下的數學問題鏈設計應以大概念滲透為核心目標，教學過程中需要借助具體研究對象，以問題為載體，將大概念的生成融于有邏輯、有結構的問題鏈中，讓學生更容易直觀感知大概念及內隱化的數學基本思想和方法.教師還要適當變化問題情境，讓學生應用大概念解決新問題.這樣設計問題鏈，能有效地細化、具象化大概念，破解大概念的抽象性.問題鏈為大概念的滲透和理解提供脈絡化探索路徑，能夠引發(fā)與大概念相關的持續(xù)性思考，不斷激活具體經驗，逐步引領學生經歷大概念的建構過程，進而建立復雜認知結構，達成對知識的深度理解.

（三）大概念可提供解決問題的思維支架

大概念引領下的單元教學以培養(yǎng)學生解決真實問題的專家思維為核心目標.通過重組的單元教學內容，學生有機會反復體驗同一類屬知識建構過程中的大概念，對知識背后的邏輯、方法關聯有更深刻的體會.教師要設計一系列緊密聯系的問題，將大概念引領問題解決的思維過程具象化，構建解決實際問題的思維支架，使學生體會問題解決過程中專家的思維方式，而不僅僅是記住“專家結論”.由此，學生在面對新問題時就能從模仿自然過渡到應用，最終學會像專家那樣思考.