金 波 田俊彤 方棋洪

* (湖南大學(xué)土木工程學(xué)院,工程結(jié)構(gòu)損傷診斷湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙 410082)

? (湖南湖大建設(shè)監(jiān)理有限公司,長(zhǎng)沙 410082)

** (湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410082)

引言

國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展、城市規(guī)模不斷擴(kuò)大、城市之間聯(lián)系愈發(fā)緊密,客流量與貨物運(yùn)輸量急劇增加,為了緩解城市交通壓力、節(jié)約土地資源和開(kāi)發(fā)地下空間,建設(shè)一批市政管道和跨水域隧道成為最優(yōu)方案.特別是在沿海城市,海底隧道具有抗震性能好、不影響貨船航運(yùn)、隱蔽性高和不受氣候影響等優(yōu)勢(shì)而被廣泛采用.這些隧道部分區(qū)段往往埋深較淺,建設(shè)中不可忽視地下水壓、巖體自重以及地表邊界上其他復(fù)雜工況的影響.準(zhǔn)確得出隧道周邊應(yīng)力分布與變形對(duì)指導(dǎo)隧道設(shè)計(jì)以及安全施工具有重要的理論意義和工程價(jià)值.

20 世紀(jì)初,俄國(guó)力學(xué)家Kolosov[1]采用復(fù)應(yīng)力函數(shù)法解決二維彈性靜力學(xué)問(wèn)題,Muskhelishvili[2]系統(tǒng)論述了彈性力學(xué)平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)法,極大促進(jìn)該方法的應(yīng)用與發(fā)展.保角映射能將復(fù)雜區(qū)域轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單規(guī)則區(qū)域,使得復(fù)變函數(shù)在研究平面含孔洞問(wèn)題時(shí)具有明顯優(yōu)勢(shì),因此,平面問(wèn)題復(fù)變函數(shù)方法在巖土工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.

深埋單孔隧道屬于無(wú)限單連通域問(wèn)題,研究中可忽略巖體重力梯度的影響,不同孔型的深埋隧道其映射函數(shù)均可采用Laurent 級(jí)數(shù)表示,對(duì)深埋隧道的理論研究已趨于成熟[3-17].采用復(fù)變函數(shù)方法研究淺埋隧道問(wèn)題起步較晚,1997 年Verruijt[9-10]提出分式映射函數(shù),將含圓孔的半平面巖石物理區(qū)域保角映射為像平面上同心圓環(huán)域,獲得了在不考慮巖體重力影響,僅有孔口均布徑向位移與均布徑向面力邊界條件時(shí)的解答;Verruijt 等[11]考慮周?chē)鷰r體自重應(yīng)力對(duì)開(kāi)挖淺埋單孔隧道的影響,將未被開(kāi)挖的初始狀態(tài)、考慮巖體作用時(shí)開(kāi)挖巖石等效合力狀態(tài)和孔口附加等效載荷3 種狀態(tài)的解疊加成為最終解;Verruijt 等[12]在原有復(fù)應(yīng)力函數(shù)中增加了能夠反映彈性體在不平衡力系作用下的影響項(xiàng),給出了二維平面問(wèn)題在不平衡力系作用下復(fù)應(yīng)力函數(shù)的一般形式,并對(duì)孔口位移邊值條件進(jìn)行了研究.蔚立元等[13]、王志良等[14]和陸文超等[15]得到地面任意分布載荷下的圍巖應(yīng)力場(chǎng);韓凱航等[16]基于復(fù)變函數(shù)法并結(jié)合柯西-黎曼方程得出淺埋隧道應(yīng)力及位移函數(shù)的級(jí)數(shù)顯式表達(dá)式;宋文杰等[17]求解了不排水黏土淺埋盾構(gòu)隧道地層變位和地層應(yīng)力;宋浩然等[18-19]與Fang 等[20]研究圍巖自重及水的作用,將問(wèn)題分解為四部分求解,分析水對(duì)隧道圍巖應(yīng)力的影響;楊公標(biāo)等[21]研究在重力影響下的含空洞地層淺埋隧道圍巖應(yīng)力及位移解析解.

最近,許多學(xué)者對(duì)隧洞不均勻邊界條件問(wèn)題展開(kāi)了研究.Lu 等[22-24]、Zeng 等[25-26]和Cai 等[27]研究了實(shí)際開(kāi)挖過(guò)程引起的邊界不平衡力分布,提出不平衡力系由整個(gè)開(kāi)挖邊界決定,并給出淺埋非圓孔隧道映射函數(shù),對(duì)地表有水平初始應(yīng)力作用的淺埋隧道、水工隧道以及馬蹄形非圓孔隧道等工程問(wèn)題進(jìn)行了研究.申航等[28]研究矩形孔口徑向位移邊界條件下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng);文明[29]提出在重力作用下淺埋非圓形隧道力學(xué)分析的解耦保角映射方法.Lu 等[30]和Kong 等[31-33]利用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示圓形淺埋隧道橫截面變形的統(tǒng)一位移函數(shù),在地表水平以及邊坡邊界模型中考慮隧道“浮力效應(yīng)”得到單孔隧道解析解,并在此基礎(chǔ)上采用Schwartz 交替法得到雙孔隧道解答;采用傅里葉級(jí)數(shù)表示出水下淺埋隧道周邊復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的統(tǒng)一應(yīng)力函數(shù),以此作為孔口應(yīng)力邊界條件,給出了應(yīng)力和位移的彈性解析解.

采用平面彈性復(fù)變函數(shù)方法求解淺埋隧道問(wèn)題一直存在復(fù)勢(shì)函數(shù)系數(shù)求解困難的問(wèn)題.Verruijt 等[12]在求解孔口應(yīng)力邊界條件問(wèn)題時(shí)借助復(fù)勢(shì)函數(shù) φ(ζ)和 ψ (ζ)在像平面圓環(huán)域內(nèi)的收斂性,假設(shè)1 階正冪項(xiàng)系數(shù)為0,利用迭代方程組經(jīng)過(guò)多次迭代(比如1000 或10000 次)直至高冪次項(xiàng)系數(shù)為非零常數(shù),以此得到其余系數(shù).Lu 等[30]推導(dǎo)時(shí)取 2N個(gè)線性組方程求 2N個(gè)未知數(shù),并假定其余正負(fù)高冪次項(xiàng)為零,其中N需要足夠大才能保證足夠的精度.

本文利用無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)應(yīng)力有界性對(duì)解析函數(shù)的Laurent 級(jí)數(shù)展開(kāi)式冪次項(xiàng)進(jìn)行了確定,從而得到1 階正負(fù)冪次項(xiàng)系數(shù),再根據(jù)邊界條件所得迭代公式解出完整的解析函數(shù).此方法區(qū)別于以上兩種方法,通過(guò)從低次冪系數(shù)迭代求解至高次冪系數(shù),復(fù)勢(shì)函數(shù)每一項(xiàng)系數(shù)都能夠用公式明確表示,使淺埋隧道復(fù)勢(shì)函數(shù)求解更方便,更容易實(shí)現(xiàn)編程計(jì)算.以淺埋海底隧道孔口受不均勻應(yīng)力邊界條件為例,得出孔口應(yīng)力冪級(jí)數(shù)解,與有限元數(shù)值解對(duì)比驗(yàn)證冪級(jí)數(shù)解的可靠性;研究了復(fù)勢(shì)函數(shù) φ (ζ)和 ψ (ζ)級(jí)數(shù)展開(kāi)后取不同冪次項(xiàng)和不同函數(shù)系數(shù)對(duì)求解結(jié)果的影響機(jī)理;分析了淺埋隧道埋深對(duì)環(huán)向壓應(yīng)力的影響.此方法可求解半無(wú)限平面含孔洞問(wèn)題,求解結(jié)果具有較高精度,將程序嵌入小型計(jì)算儀器中可方便工程應(yīng)用.

1 問(wèn)題描述和基本理論

根據(jù)文獻(xiàn)[11-32]提出的海底隧道力學(xué)模型可知,所研究的淺埋單孔海底隧道位于完全飽和且均勻、各向同性的彈性含水地層中,力學(xué)模型如圖1 所示.水平地表上作用有深度為hw,容重為 γw的海水,海水處于不可壓縮的穩(wěn)定狀態(tài).隧道半徑為r,隧道中心至地面距離為h,巖石容重為 γ,側(cè)壓力系數(shù)為k0.將該力學(xué)模型分解為兩部分(圖2 和圖3),其關(guān)系式如下

圖1 海底隧道力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of subsea tunnel

圖2 第1 部分模型Fig.2 Part I model

圖3 第2 部分模型Fig.3 Part II model

第1 部分解答為

運(yùn)用平面彈性復(fù)變函數(shù)法研究第2 部分模型的圍巖應(yīng)力.第2 部分為半無(wú)限平面含單圓孔模型,共包含地表和孔口兩個(gè)邊界條件,對(duì)于巖體任意點(diǎn)的應(yīng)力和位移均可用復(fù)勢(shì)函數(shù) φ (z) 和 ψ (z)表示.可求得第2 部分應(yīng)力解

式中,G為剪切模量,G=E/[2(1+μ)],對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題K=3-4μ,μ 為泊松比,k0=μ/(1-μ).

復(fù)勢(shì)函數(shù) φ (z) 和 ψ (z)是區(qū)域內(nèi)的單值解析函數(shù),其形式如下

其中,φ0(z) 和 ψ0(z)為單值解析函數(shù),可將其展開(kāi)成Laurent 級(jí)數(shù).在本文中考慮巖體自重和水壓力,則Fx=0,Fy=πr2(γ+γw).

2 復(fù)數(shù)形式的邊界條件

2.1 應(yīng)力邊界條件和映射函數(shù)

采用平面彈性復(fù)變函數(shù)解法的應(yīng)力邊界條件如下

其中,C為積分得到的復(fù)常數(shù),Xn和Yn分別表示邊界上一點(diǎn)沿x軸與y軸平行的面力分量,l和m是所討論邊界點(diǎn)的單位外法向量的方向余弦,如圖4 所示.

圖4 隧道孔口任意點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)Fig.4 Stress state at any point of tunnel orifice

第2 部分解中地表沒(méi)有施加載荷,則地表邊界L1上有Xn=0,Yn=0,此時(shí)不失計(jì)算結(jié)果的有效性,復(fù)常數(shù)C可以假設(shè)為0,地表邊界的應(yīng)力邊界條件可以表示為

圖2 中的虛線表示未開(kāi)挖的虛擬孔口,其與圖3兩模型疊加得到開(kāi)挖后的模型如圖1,開(kāi)挖后孔口面力分量為0.在隧道孔口邊界L2上施加面力分量Xn和Yn,該面力分量與圖2 中虛擬孔口邊界上面力分量大小相等,方向相反,孔口邊界L2的應(yīng)力邊界條件表達(dá)式中復(fù)常數(shù)C不能再假設(shè)為0.

運(yùn)用保角變換方法通過(guò)映射函數(shù)z=ω(ζ)將圖3中Z平面中巖土區(qū)域映射到復(fù)平面 ζ區(qū)域上的圓環(huán)中,圓環(huán)外徑為1,內(nèi)徑為 α.α是與隧洞埋深h和隧洞半徑r有關(guān)的系數(shù),其可通過(guò)如下確定.

將映射函數(shù)z=ω(ζ) 代入 φ0(z) 和 ψ0(z)中有

2.2 地表邊界條件求解

為方便求解和表示復(fù)平面圓環(huán)上的點(diǎn),令ζ=ρσ, ρ為半徑,σ=eiθ′.圖3 中z平面地表邊界y=0 映射到 ζ平面的單位圓|ζ|=1,地表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn) ζ=1,則地表邊界在復(fù)平面中用 ζ=σ表示.將φ(z) 和 ψ(z) 代入地表應(yīng)力邊界條件得到z平面的表達(dá)式

將映射函數(shù)z=ω(ζ)代入式(20),其中

地表邊界 ζ=σ,可將式(20)左右各轉(zhuǎn)換為 ζ平面中有關(guān) σ的表達(dá)式,分別如下所示

Ak可展開(kāi)為

將式(23)與式(25)相應(yīng)的k階冪指數(shù)對(duì)應(yīng)有

為確定函數(shù) φ0(ζ) 和 ψ0(ζ)中ak與bk的系數(shù)還需要通過(guò)孔口邊界條件得到其余關(guān)系式.

2.3 孔口邊界條件求解

隧道孔口x2+(y+h)2=r2經(jīng)過(guò)映射成復(fù)平面ζ上半徑為 α的單位圓 ζ=ασ.在孔口邊界為

將復(fù)勢(shì)函數(shù) φ (z),ψ (z)和映射函數(shù)式(16) 代入邊界條件(27)變換為有關(guān) σ的表達(dá)式

將式(29)左側(cè)展開(kāi)

式(29)右側(cè)用級(jí)數(shù)形式表示

將式(26)代入式(32)中可以得到迭代公式如下

當(dāng)k=0和k=1時(shí)

可求得復(fù)常數(shù)C,其實(shí)部與虛部為

其中Ak已由地表邊界得出,Bk可根據(jù)隧道孔口邊界求得.將式(2)、式(13)和映射函數(shù)(16)代入孔口應(yīng)力邊界條件(27)右側(cè)積分項(xiàng)中并將其展開(kāi)為有關(guān) σ的多項(xiàng)式得到式(39),則式(29)左側(cè)可以展開(kāi)為式(40),式(40)通過(guò)同冪次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)可得到級(jí)數(shù)系數(shù),復(fù)常數(shù)C已知從而求得Bk

3 解析函數(shù)求解與說(shuō)明

將復(fù)勢(shì)函數(shù) φ0(ζ) 和 ψ0(ζ)Laurent 級(jí)數(shù)展開(kāi),其中未知系數(shù)ak和bk可由迭代式(33)和式(34)求出,但當(dāng)k=0和k=1時(shí)得到相同的等式,則無(wú)法直接求解a-1和,其余ak和bk也無(wú)法根據(jù)迭代公式求得.為解決這一問(wèn)題,利用無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)應(yīng)力有界性提出一種求解方法.在圖3 模型中僅有隧道孔口邊界L2施加載荷,則距離邊界L2無(wú)窮遠(yuǎn)的巖體應(yīng)力有界.為保證無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)應(yīng)力有界性這一條件,根據(jù)式(3)和式(4),則復(fù)勢(shì)函數(shù)可表達(dá)為

3.1 解析函數(shù)求解

將z=w(ζ)代入上式,并將映射函數(shù)中含 ζ分式級(jí)數(shù)展開(kāi)為

從上式可知當(dāng)k≤-2 時(shí)有ak=0和bk=0.

由式(35)得

式(26)中k=0時(shí),有

將式(46)和式(47)實(shí)部與虛部分開(kāi)計(jì)算,再采用復(fù)變函數(shù)方法能夠求出冪級(jí)數(shù)解工況中 Re(a-1)值為趨于0 的極小值,假定 Re(a-1)=0,則a1實(shí)部 Im(a-1)和 Im(a1)可由下式準(zhǔn)確求得

根據(jù)迭代式(33),有

根據(jù)地表邊界條件(26)可求得系數(shù)bk

式(48)～式(53) 即為復(fù)勢(shì)函數(shù) φ0(ζ)和ψ0(ζ)Laurent 級(jí)數(shù)展開(kāi)中各未知系數(shù)的求解公式.

3.2 求解方法說(shuō)明

從映射函數(shù)式中可知點(diǎn) ζ=1為奇點(diǎn),由于這一奇點(diǎn)的存在給解析計(jì)算帶來(lái)很大的困擾.從3 個(gè)不同的方向趨近于該奇點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)物理平面中巖體的3 個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處.在 ζ平面單位圓 ζ=eiθ′上,當(dāng) θ′→0和 θ′→2π其分別對(duì)應(yīng)z平面地表邊界無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)x=+∞和x=-∞處,ζ沿ξ軸ζ →1對(duì)應(yīng)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)y=-∞處.同時(shí)表達(dá)式1/(1-ζ)在 |ζ|＜1區(qū)域內(nèi)收斂,可以表示為冪級(jí)數(shù),但其在奇點(diǎn)所處的單位圓上,不能將其展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)而無(wú)法采用冪級(jí)數(shù)解法.

為保證求解精準(zhǔn)性和計(jì)算的可行性,我們重新定義地表邊界L*(如圖5 所示)為z平面中y→0的直線和 ζ平面中ζ=(1-t)σ,t∈(0,0.1)的近似單位圓.當(dāng)t足夠小時(shí),新定義的地表邊界L*將趨近于原地表邊界L1,這不僅能夠確保邊界條件與原地表的邊界條件相同,還能確保巖體映射后的討論域 ζ均在表達(dá) 式 1/(1-ζ)的收斂域內(nèi).雖然 ζ平面上邊界L*(ρ=1-t)和邊界L1(ρ=1)所表示的物理含義不同,但在解析計(jì)算時(shí)可以將 ρ=1-t近似為 ρ=1,這并不影響最后的計(jì)算結(jié)果.

圖5 L*邊界示意圖Fig.5 L* boundary diagram

4 應(yīng)力求解

將映射函數(shù)代入式(3)和式(4)得到迪卡爾坐標(biāo)系下的應(yīng)力求解公式

在極坐標(biāo)中各應(yīng)力分量的關(guān)系式為

將復(fù)勢(shì)函數(shù) φ (ζ) 和 ψ (ζ)代入式(54)～式(57)即可得到不同坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量.

5 不同方法對(duì)比

當(dāng)本文淺埋海底隧道模型所含參數(shù)hw=0 和γw=0 時(shí)即可簡(jiǎn)化為文獻(xiàn)[22]中考慮重力和任意側(cè)向應(yīng)力作用下的彈性半平面含圓孔模型.為了驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性,對(duì)側(cè)壓力系數(shù)k0=0.5下的工況求解,將其與Lu 等[22]得出的結(jié)果和有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.復(fù)勢(shì)函數(shù) φ0(ζ) 和 ψ0(ζ)分別計(jì)算至a6和b5.分析孔口應(yīng)力時(shí)所取計(jì)算范圍與文獻(xiàn)[22]相同即隧道右半部分,α=0°為隧道底部,α=180°為隧道頂部.其余參數(shù)也與文獻(xiàn)[22] 中參數(shù)相同: μ=0.3,E=10.0 MPa,γ=25.0 kN/m3和h/r=2.0.極 坐標(biāo)系中的計(jì)算結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖6.

圖6 不同方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of calculation results by different methods

從圖6 可知,本文解得的復(fù)勢(shì)函數(shù)所計(jì)算的孔邊環(huán)向應(yīng)力與Lu 等[22]得出結(jié)果和有限元結(jié)果基本相同.與其他兩種方法相比,本文計(jì)算結(jié)果壓應(yīng)力偏大.當(dāng)k0=0.5,h/r=2.0時(shí),Lu 等[22]計(jì)算復(fù)勢(shì)函數(shù)需求解32 元線性方程組.本文只需根據(jù)復(fù)勢(shì)函數(shù)系數(shù)的顯式求解式(52)和式(53)分別求出系數(shù)a6與b5,根據(jù)不同精度需求可確定k的取值,k取值越高精度越高,同時(shí)本計(jì)算過(guò)程也減少了依靠地表和孔口邊界條件所求系數(shù)Ak和Bk的需求.因此,在滿(mǎn)足工程精度需求下,運(yùn)用復(fù)勢(shì)函數(shù)顯式計(jì)算公式求解,計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便,計(jì)算量小.

6 算例分析

為了驗(yàn)證本文理論方法的可靠性,將本文在迪卡爾坐標(biāo)系下的理論解答與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.此例定義參數(shù)如下: 隧道孔洞半徑r=4 m,埋深h=10 m,海水深度hw=2 m,海水重度 γw=10 kN/m3,土體重度 γ=25 kN/m3,泊松比μ=0.3,彈性模量E=200 MPa.規(guī)定應(yīng)力拉為正,壓為負(fù).利用ANSYS 軟件建立第2 部分解答的有限元模型計(jì)算數(shù)值解,模型尺寸為100 m×60 m,采用PLANE183單元,共劃分單元3028 個(gè),圖7 為網(wǎng)格劃分情況.模型上邊界為自由邊界,對(duì)模型左右邊界施加x向約束,下邊界施加y向約束,隧道圓形孔口施加與冪級(jí)數(shù)解邊界L2相同的面力.

圖7 有限元模型網(wǎng)格劃分結(jié)果Fig.7 Finite element model meshing results

本文主要是對(duì)第2 部分模型(圖3)采用復(fù)變函數(shù)方法求解,同樣利用ANSYS 對(duì)第2 部分解答模型進(jìn)行模擬.通過(guò)有限元模擬得出應(yīng)力分量,和的應(yīng)力云圖,如圖8 所示.利用MATLAB 軟件編程計(jì)算得到冪級(jí)數(shù)解.分別將冪級(jí)數(shù)解和有限元結(jié)果與第1 部分解疊加得到隧道開(kāi)挖后的圍巖應(yīng)力.孔邊應(yīng)力冪級(jí)數(shù)解和數(shù)值解對(duì)比見(jiàn)圖9.

(2) 環(huán)青藏高原東側(cè)第一階梯坡降區(qū)的復(fù)雜地形地貌，是川藏高速公路崩塌發(fā)育的根本原因之一，其地形陡、坡降大，岷江、大渡河流經(jīng)的高山峽谷區(qū)，為崩塌危巖的發(fā)生奠定了良好的地形地貌基礎(chǔ)。

圖8 第2 部分模型有限元應(yīng)力云圖Fig.8 Finite element stress nephogram of part II model

圖9 不同系數(shù)的冪級(jí)數(shù)解和數(shù)值解對(duì)比Fig.9 Comparison of power series and numerical solutions with different coefficients

6.1 數(shù)值解對(duì)比

從圖9 可以看出冪級(jí)數(shù)解(power series solutions 1)與數(shù)值解能較好吻合,驗(yàn)證了本文方法的正確性.當(dāng) θ ∈[0°,180°]時(shí)為隧道上半部分,冪級(jí)數(shù)解與數(shù)值解得到的孔邊應(yīng)力(σx,σy和 σxy)基本一致;但當(dāng) θ ∈(180°,360°)時(shí)為隧道下半部分,冪級(jí)數(shù)解與數(shù)值解具有一定的差異.冪級(jí)數(shù)解與數(shù)值解產(chǎn)生的計(jì)算差異是由所選映射函數(shù)造成的.與數(shù)值解相比,冪級(jí)數(shù)解得到的 σy略小于數(shù)值解,而孔口下半部分各點(diǎn)應(yīng)力分量 σx與σxy的絕對(duì)值則比數(shù)值解的絕對(duì)值大.冪級(jí)數(shù)解最終計(jì)算結(jié)果比數(shù)值解相對(duì)保守.

6.2 解析函數(shù)系數(shù)影響分析

為了研究單值解析函數(shù) φ0(ζ)與 ψ0(ζ)中系數(shù)ak與bk取不同項(xiàng)數(shù)對(duì)運(yùn)算結(jié)果的影響,取3 組ak與bk展開(kāi)不同項(xiàng)數(shù)時(shí)的冪級(jí)數(shù)解進(jìn)行對(duì)比.系數(shù)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)見(jiàn)表1,冪級(jí)數(shù)解對(duì)比見(jiàn)圖9.

表1 項(xiàng)數(shù)展開(kāi)表Table 1 Number of terms expansion table

從圖9 中可以看出power series solutions 1 與power series solutions 3 在3 個(gè)應(yīng)力分量 σx,σy和 σxy的計(jì)算結(jié)果都基本保持一致,power series solutions 2與其結(jié)果相比在不同位置、不同應(yīng)力分量上均有一定的差距.特別在隧道孔口上半部分 θ ∈[0°,180°],power series solutions 3 要優(yōu)于power series solutions 2.

從中可以得出單值解析函數(shù) φ0(ζ)對(duì)最終結(jié)果準(zhǔn)確性的影響要大于 ψ0(ζ).求解時(shí)為了保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,φ0(ζ) 需要展開(kāi)足夠多的項(xiàng),ψ0(ζ)則至少要展開(kāi)b-1～b1項(xiàng).

6.3 隧道埋深影響分析

為了分析淺埋隧道埋深對(duì)環(huán)向應(yīng)力的影響,隧道中心埋深h分別取8,10,12 和14 m,單值解析函數(shù) φ0(ζ) 與 ψ0(ζ)中系數(shù)ak與bk展開(kāi)項(xiàng)與power series solutions 1 相同,其余條件與參數(shù)不變,不同隧道埋深孔口應(yīng)力情況見(jiàn)圖10.隧道底部(θ=270°)及兩側(cè)孔腰處(θ=200°或 θ=340°)環(huán)向壓應(yīng)力隨著隧道埋深h增大而增大,而孔口頂部(θ=90°)環(huán)向壓應(yīng)力無(wú)顯著變化.隧道埋深增加1.75 倍,腰部及底部環(huán)向壓應(yīng)力增加3～4 倍.隧道腰部與底部環(huán)向應(yīng)力的差值也隨著隧道埋深的增大而增大.由此可見(jiàn)隧道埋深對(duì)隧道底部及腰部環(huán)向壓應(yīng)力的大小影響較大,且對(duì)腰部的影響最為顯著.

圖10 不同埋深孔口環(huán)向應(yīng)力對(duì)比Fig.10 Comparison of annular stress at orifices with different burial depth

7 結(jié)論

本文運(yùn)用平面彈性復(fù)變函數(shù)方法研究了淺埋圓孔海底隧道在圍巖重力和海水靜水壓力作用下的圍巖應(yīng)力冪級(jí)數(shù)解.采用分式映射函數(shù)將半無(wú)限平面含圓孔模型映射為像平面上的圓環(huán)域,在圓環(huán)域內(nèi)將復(fù)勢(shì)單值解析函數(shù)展開(kāi)為L(zhǎng)aurent 級(jí)數(shù).利用無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)應(yīng)力有界性對(duì)級(jí)數(shù)展開(kāi)式的冪次項(xiàng)進(jìn)行確定,根據(jù)級(jí)數(shù)系數(shù)迭代公式得到復(fù)勢(shì)函數(shù)的顯式解,運(yùn)用應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式得到孔邊各點(diǎn)的應(yīng)力分量,將冪級(jí)數(shù)解與有限元結(jié)果對(duì)比得出以下結(jié)論.

(1) 為保證無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)應(yīng)力有界,根據(jù)應(yīng)力求解公式,將復(fù)勢(shì)單值解析函數(shù) φ0(ζ) 和 ψ0(ζ)的Laurent 級(jí)數(shù)重新定義為負(fù)一項(xiàng)至正無(wú)窮項(xiàng).在 R e(a-1)=0條件下,由地表與孔口邊界條件得出復(fù)勢(shì)解析函數(shù)系數(shù)顯式解,此解可迭代求得其余系數(shù),從而實(shí)現(xiàn)級(jí)數(shù)系數(shù)從低次冪迭代至高次冪這一過(guò)程,使得淺埋隧道復(fù)勢(shì)函數(shù)求解更方便.

(2)冪級(jí)數(shù)解與有限元數(shù)值解能很好吻合.在隧道上半部分(θ ∈[0°,180°]) 冪級(jí)數(shù)解與數(shù)值解得到的孔邊應(yīng)力(σx,σy,σxy)基本一致;在隧道下半部分(θ ∈(180°,360°))由于所選映射函數(shù)的影響,冪級(jí)數(shù)解得到的 σy略小于數(shù)值解,σx與 σxy的絕對(duì)值則比數(shù)值解的絕對(duì)值大.冪級(jí)數(shù)解最終計(jì)算結(jié)果較數(shù)值解偏保守.

(3) 單值解析函數(shù) φ0(ζ)對(duì)最終結(jié)果準(zhǔn)確性的影響要大于 ψ0(ζ).求解時(shí)為了保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,φ0(ζ)需 要展開(kāi)足夠多項(xiàng),ψ0(ζ)則 至少要展開(kāi)b-1～b1項(xiàng).

(4) 隨著海底隧道埋深增大,隧道底部及兩側(cè)孔腰處的環(huán)向壓應(yīng)力隨之增大.隧道埋深增加1.75 倍,腰部及底部環(huán)向壓應(yīng)力增加3～4 倍;而孔口頂部環(huán)向壓應(yīng)力無(wú)顯著變化.隧道腰部與底部環(huán)向應(yīng)力的差值也隨著隧道埋深的增大而增大.隧道埋深對(duì)隧道底部及腰部環(huán)向壓應(yīng)力的大小影響較大,且對(duì)腰部的影響最為顯著.

數(shù)據(jù)可用性聲明

支撐本研究的科學(xué)數(shù)據(jù)已在中國(guó)科學(xué)院科學(xué)數(shù)據(jù)銀行(science data bank) ScienceDB 平臺(tái)公開(kāi)發(fā)布,訪問(wèn)地址為https://www.doi.org/10.57760/sciencedb.j00140.00011 或http://resolve.pid21.cn/31253.11.sciencedb.j00140.00011.