海南省昌江黎族自治縣昌江中學(xué) 林瑞記

知過(guò)去,才能謀未來(lái).我們的高中生從來(lái)都不缺乏練習(xí)題、高考題的訓(xùn)煉,但大多都淺嘗輒止,缺乏上下求索的學(xué)習(xí)態(tài)度,導(dǎo)致各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系沒(méi)有得到很好的構(gòu)建,知識(shí)的外延也沒(méi)能得到很好的拓展.實(shí)際上,很多高考題具有很強(qiáng)的教學(xué)意義和研究?jī)r(jià)值.筆者曾參與海南省2018年高考閱卷工作,現(xiàn)試著從2018年全國(guó)Ⅱ卷第22題關(guān)于參數(shù)方程問(wèn)題的研究出發(fā),剖析該參數(shù)方程題的不同解法,歸納解該類題目的思想方法.首先介紹考生的常見(jiàn)解題思路,并分析不同考生解法的思維特點(diǎn),然后進(jìn)一步研究不同的解法,最后揭示不同數(shù)學(xué)思維水平的考生該如何在考場(chǎng)中“揚(yáng)長(zhǎng)避短”,以及教師在教學(xué)中如何做到“因材施教”,落實(shí)新課標(biāo)提出的高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)[1].

1 試題呈現(xiàn)

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;

(2)若曲線C截直線l所得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.

當(dāng)cosα≠0時(shí),l:y=tanα·x+2-tanα;當(dāng)cosα=0時(shí),l:x=1.(2)直線l的斜率為-2.

2 參數(shù)方程問(wèn)題的解題策略分析

該題在高考中屬于選考題,因?yàn)槠渲饕疾榈膬?nèi)容是三角函數(shù)和解析幾何,屬學(xué)生較為熟悉的知識(shí)點(diǎn),故而在高考考場(chǎng)上選擇的考生頗多.第(1)問(wèn)主要考查學(xué)生將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的能力,盡管該問(wèn)較為簡(jiǎn)單,但是直線l的轉(zhuǎn)換出錯(cuò)較多.對(duì)于第(2)問(wèn),學(xué)生的解法主要是將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中去求解,思維的切入點(diǎn)不同,解題的方法往往就大相徑庭[2].

當(dāng)cosα≠0時(shí),直線l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x+2-tanα;當(dāng)cosα=0時(shí),直線l的直角坐標(biāo)方程為x=1.

(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.

①

具體策略分析：解法1在閱卷中屬于司空見(jiàn)慣的,由于其解題思路清晰及步驟操作偏模式化,因此有很多考生青睞這種解法,也體現(xiàn)了這類考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)較強(qiáng).因此,在教學(xué)中針對(duì)這類學(xué)生,教師應(yīng)當(dāng)著重加強(qiáng)計(jì)算能力和運(yùn)算技巧的訓(xùn)練,這樣才能做到有的放矢地教學(xué),這應(yīng)該也算是數(shù)學(xué)學(xué)科的“因材施教”吧!

解法2：(ⅰ)當(dāng)cosα=0時(shí),曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)為(1,0),不合題意.

整理得(4+tan2α)x2+2tanα(2-tanα)x+tan2α-4tanα-12=0.

故直線l的斜率為-2.

具體策略分析：解法2較之解法1,在思維上走的彎路較少,聯(lián)立后整理得到的方程的解本身就是題目所求,沒(méi)必要牽涉到參數(shù)t的含義,所以考場(chǎng)上運(yùn)用解法2的考生也較多.但是,很多學(xué)生運(yùn)用該解法總是拿不到滿分,原因是沒(méi)有考慮cosα=0的情況,即直線l的斜率不存在的情況.針對(duì)這類學(xué)生,課堂上教師應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

具體策略分析：解法3是常用于解圓錐曲線問(wèn)題的點(diǎn)差法,思想就是未知參量設(shè)而不求,最后直接整理得斜率的表達(dá)式并求解.考場(chǎng)上運(yùn)用該解法的學(xué)生思路清晰,基本都能拿滿分,不過(guò)也有部分學(xué)生忽略了x1=x2時(shí)斜率不存在的情況,導(dǎo)致被扣兩分.從側(cè)面來(lái)看,用解法3還出錯(cuò)的學(xué)生表現(xiàn)出其邏輯推理及直觀想象素養(yǎng)不夠強(qiáng),教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)見(jiàn)微知著,有目的地補(bǔ)齊這類學(xué)生的短板.

(ⅱ)當(dāng)直線l垂直于x軸,即直線l的斜率不存在時(shí),曲線C截得直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),不符合題意.

具體策略分析：解法4與解法2有著異曲同工之妙,都是將兩方程聯(lián)立并整理,再應(yīng)用韋達(dá)定理和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)求解.這類解法在考場(chǎng)上較為罕見(jiàn),主要原因是設(shè)直線方程再聯(lián)立求解,其中的運(yùn)算量較大,很多考生都望而卻步.因此,在日常教學(xué)中,教師要有意識(shí)地強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),只有夯實(shí)基礎(chǔ)才能更上一層樓.

解法5：如圖1,曲線C是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上、長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8、短軸長(zhǎng)2b=4的橢圓,上頂點(diǎn)為A(0,4),右頂點(diǎn)為B(2,0),線段AB的中點(diǎn)為(1,2),所以直線AB滿足題目要求.故直線l的斜率為-2.

圖1

具體策略分析：解法5鮮為考生所知,能用該法解決第(2)問(wèn)的考生體現(xiàn)了其較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng),在爭(zhēng)分奪秒的高考考場(chǎng)上思維仍能做到簡(jiǎn)明扼要、抽絲剝繭,的確令人激賞.

總之,參數(shù)方程問(wèn)題的求解不僅要掌握參數(shù)方程中參數(shù)的含義,有時(shí)還需運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)思考和解答問(wèn)題.通過(guò)這道參數(shù)方程題來(lái)審視我們的教學(xué)效果,確實(shí)還有很多需要改進(jìn)的地方,很多素養(yǎng)需要加強(qiáng).教師只有終身學(xué)習(xí)才能站好三尺講臺(tái)的崗,對(duì)以往高考題解法的回顧,能讓思維得到鍛煉和發(fā)散,能厘清知識(shí)間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.作為人民教師的我們,應(yīng)生命不息教與學(xué)不止.