江蘇省常熟市海虞高級中學(xué) 劉 瑩

軌跡意識是平面解析幾何中的一種重要行為意識,也是平面解析幾何中的重要思想方法.除在解析幾何中熟練應(yīng)用外,在解三角形、平面向量以及立體幾何等其他場合,也經(jīng)常借助軌跡意識來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,直觀形象.

1 解析幾何中的軌跡意識

解析幾何中的軌跡問題,其實質(zhì)就是由曲線上的動點變化規(guī)律,按照一個條件的變化引起其他相關(guān)新動點的變化情況,利用對圖形結(jié)構(gòu)的理解、探索與聯(lián)想,構(gòu)建“形”與“數(shù)”之間的聯(lián)系,進(jìn)而探究新動點的軌跡.

分析：根據(jù)條件設(shè)出重心的坐標(biāo),通過相關(guān)點法構(gòu)建重心的軌跡方程,同時引入直線的斜率參數(shù)構(gòu)建對應(yīng)的直線方程;通過聯(lián)立方程組,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程有根的情況,利用判別式法來構(gòu)建不等式,確定斜率的最值問題.

代入橢圓方程,可得點G的軌跡方程為

2 解三角形中的軌跡意識

解三角形中的軌跡問題,其實質(zhì)就是將三角形問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的代數(shù)問題,合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,利用代數(shù)問題所對應(yīng)的軌跡,反過來數(shù)形結(jié)合,直觀應(yīng)用,往往可以出奇制勝,簡捷有效.

例2(創(chuàng)新題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,記△ABC的面積為S.

分析：(1)以條件中對應(yīng)邊與角的關(guān)系確定三角形的外接圓半徑,根據(jù)動點A的軌跡,結(jié)合平面幾何圖形的直觀來確定△ABC的面積最大時動點A的位置,進(jìn)而求解相應(yīng)的面積.

(2)結(jié)合三角形中一邊為定值,另兩邊涉及倍數(shù)關(guān)系,根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,將解三角形問題轉(zhuǎn)化為平面解析幾何中的動點軌跡問題,數(shù)形結(jié)合確定動點A的位置,進(jìn)而求解面積的最大值.

圖1

數(shù)形結(jié)合,易知當(dāng)頂點A位于優(yōu)弧BC的中點D處時,△ABC的面積S最大.

此時,△ABC是正三角形,所以

(2)如圖2所示,以BC邊所在的直線為x軸,以BC邊的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則B(-1,0),C(1,0).

圖2

(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2].

整理并化簡,可得(x-3)2+y2=8(y≠0),此即為頂點A的軌跡方程.

點評：借助解三角形中對應(yīng)三角形的邊或角的某種定量關(guān)系,從平面幾何視角或平面解析幾何視角來確定動點的軌跡,合理構(gòu)建平面幾何或平面解析幾何模型,借助“形”的直觀去分析與處理一些相關(guān)的最值或綜合應(yīng)用問題,更加直觀形象,簡捷有效.

3 平面向量中的軌跡意識

平面向量中的軌跡問題,其實質(zhì)就是抽象出平面向量中相關(guān)關(guān)系式的幾何意義,或?qū)⒕€性運算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算等,有效確定動點的軌跡,進(jìn)而利用動點的變化規(guī)律與運動軌跡,依題解答.

分析：根據(jù)題意,構(gòu)建平面幾何圖形加以數(shù)形結(jié)合,利用條件中t∈R確定點A1的軌跡,結(jié)合不等式恒成立的條件確定AB⊥OA;通過勾股定理的轉(zhuǎn)化,結(jié)合關(guān)系式的特征進(jìn)行三角換元處理,將所求平面向量模的和式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

圖3

根據(jù)題意,對任意t∈R,恒有|b-ta|≥|b-a|,可得|A1B|≥|AB|.

由t∈R,可知點A1的軌跡是直線OA,數(shù)形結(jié)合可知AB⊥OA.

所以|a-b|+|a|的最大值是6.故填答案:6.

點評：借助平面幾何圖形的直觀分析,綜合平面向量的幾何意義與相關(guān)運算,直觀形象來確定對應(yīng)動點的軌跡以及相應(yīng)的變化規(guī)律,數(shù)形結(jié)合,從而破解起來更加直觀,處理起來更加快捷.

4 立體幾何中的軌跡問題

立體幾何中的軌跡問題,其實質(zhì)就是合理進(jìn)行“降維”處理,將將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,結(jié)合動點的軌跡,綜合利用平面幾何或解析幾何等相關(guān)知識來分析與求解.

例4(2022年高考數(shù)學(xué)北京卷·9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區(qū)域的面積為( ).

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合立體幾何性質(zhì),合理構(gòu)建點P在底面△ABC內(nèi)的射影點O;結(jié)合集合的創(chuàng)新設(shè)置進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化,將空間中的距離問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的距離問題,進(jìn)而利用圓的定義與正三棱錐的性質(zhì)來確定動點Q的軌跡,進(jìn)而得以分析與求解.

解析：設(shè)點P在底面三角形ABC內(nèi)的射影為點O.由PA=PB=PC,可知O為△ABC的外心.

由PA=PB=PC=6,得

所以,動點Q的軌跡是△ABC內(nèi)以O(shè)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部,則其對應(yīng)的面積為π.

故選擇答案:B.

以上通過四類典型問題與實例,從不同視角加以剖析,合理引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中抓住軌跡意識,對圖形變化要有動態(tài)認(rèn)識,學(xué)會作圖、構(gòu)圖、識圖;結(jié)合對圖形結(jié)構(gòu)的理解,創(chuàng)新構(gòu)建起良好的“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系,并借助問題破解中的軌跡意識,循序漸進(jìn)地領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合核心素養(yǎng).