江蘇省口岸中學(xué) 陳春花

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的一大主干知識(shí),其與數(shù)學(xué)文化情境的滲透與融合,有著豐富的應(yīng)用場(chǎng)景,現(xiàn)選取四個(gè)方面的案例與大家分享.

1 數(shù)學(xué)名著

例1[2022—2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)四中高三(上)月考數(shù)學(xué)試題(9月份)]南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,高階等差數(shù)中前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項(xiàng)分別為1,2,5,10,17,26,37,則該數(shù)列的第19項(xiàng)為( ).

A.290 B.325 C.362 D.399

分析：本題選擇數(shù)學(xué)名著中的垛積公式作為文化背景.先由條件判斷該高階等差數(shù)列為逐項(xiàng)差數(shù)之差成等差數(shù)列,得到an+1-an=2n-1,再利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可求得對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值.

解析：設(shè)該數(shù)列為{an},則由a2-a1=2-1=1,a3-a2=5-2=3,a4-a3=10-5=5,a5-a4=17-10=7,……,可知該數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差成等差數(shù)列{bn},其首項(xiàng)為1,公差為2,所以bn=1+2(n-1)=2n-1,故an+1-an=bn=2n-1.

于是a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,……,an-an-1=2n-3.

所以an=(n-1)2+a1=(n-1)2+1,則a19=182+1=325.故選擇答案:B.

2 歷史律法

例2[2022年華大新高考聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)試卷(3月份)]十二平均律是我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬(wàn)歷十二年(公元1584年),他寫成《律學(xué)新說(shuō)》,提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是:在1和2之間插入11個(gè)數(shù),使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列,記插入的11個(gè)數(shù)之和為M,插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為N,則依此規(guī)則,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ).

C.M>3

D.N<7

分析：本題選擇“十二平均律”作為文化背景,考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、比較大小等基本知識(shí).

解析：設(shè)遞增的等比數(shù)列為{an},公比為q.

故選擇答案:D.

點(diǎn)評(píng)：借助歷史律法中數(shù)學(xué)文化情境下的數(shù)列問(wèn)題,通過(guò)一些歷法、音樂(lè)、美術(shù)等方面的歷史文化遺產(chǎn)來(lái)創(chuàng)新設(shè)置,融入數(shù)列的基本概念等基礎(chǔ)知識(shí),結(jié)合實(shí)際問(wèn)題以及學(xué)科交叉融合進(jìn)行綜合與創(chuàng)新應(yīng)用.

3 古代建筑

圖1

故填答案:5.

點(diǎn)評(píng)：巧妙融入建筑、美術(shù)、數(shù)學(xué)等多個(gè)相關(guān)學(xué)科的知識(shí),交匯綜合,抓住特色建筑的數(shù)學(xué)模型合理構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)列模型,利用相關(guān)數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)與基本思想方法來(lái)解決問(wèn)題.

4 經(jīng)典模型

例4[2022年重慶市巴蜀中學(xué)高三(上)適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷(四)](多選題)在1261年,我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖2所示的三角形數(shù)表,這就是著名的“楊輝三角”,它是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.從第1行開(kāi)始,第n行從左至右的數(shù)字之和記為an,如,a1=1+1=2,a2=1+2+1=4,……,{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……,記為bn,{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn,則下列說(shuō)法正確的是( ).

圖2

A.S10=1 022

C.b57=66

D.T57=4 150

分析：本題選擇“楊輝三角”這個(gè)經(jīng)典模型作為文化模型,構(gòu)造出兩個(gè)新數(shù)列.

于是S10=211-2≠1 022,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

故選擇答案:BCD.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合“楊輝三角”這一經(jīng)典的數(shù)字模型的排列規(guī)律,融合數(shù)列、二項(xiàng)式定理、排列組合等相關(guān)知識(shí),巧妙邏輯推理,合理數(shù)學(xué)運(yùn)算,進(jìn)而得以分析與處理創(chuàng)新文化情境問(wèn)題.

數(shù)學(xué)不僅僅是“科學(xué)的數(shù)學(xué)”,而且還是“文化的數(shù)學(xué)”.而數(shù)學(xué)文化創(chuàng)新情境下的數(shù)列綜合應(yīng)用問(wèn)題,只是其中的一個(gè)典型代表,是國(guó)家文化素質(zhì)教育的重要組成部分,是在實(shí)踐過(guò)程中不斷探索形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用等.借助數(shù)學(xué)文化創(chuàng)新情境的設(shè)置,將數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、數(shù)學(xué)文化等融為一體,全面檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、思維廣度與深度,不斷挖掘?qū)W生潛能.