西華師范大學數(shù)學與信息學院 李曉丹

基本不等式是高中階段不等式學習的核心內(nèi)容和重要節(jié)點,具有承上啟下的作用[1].從數(shù)學素養(yǎng)的角度來看,基本不等式的學習過程中蘊含著多種核心素養(yǎng).首先,提到基本不等式我們就會想到數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng),因為與不等式有關(guān)的題目基本上都要運用計算或證明.其實,基本不等式的學習中還蘊含著其他數(shù)學核心素養(yǎng),比如,從情境中抽象出基本不等式要用到數(shù)學抽象素養(yǎng)、提煉基本不等式的幾何意義時要用到直觀想象素養(yǎng),等等.基本不等式的抽象性導致不少學生產(chǎn)生了畏難情緒,而直觀想象素養(yǎng)可以化抽象為直觀,幫助學生理解基本不等式,從而降低學習難度.因此,直觀想象素養(yǎng)在基本不等式學習中非常重要.

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課程標準》)指出,直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學問題的一種素養(yǎng)[2].從課程標準可以看出,直觀想象包含兩點,分別是幾何直觀與空間想象.幾何直觀是借助圖形清晰直觀地描述和分析數(shù)學問題,從而使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,進而解決問題的能力.空間想象是直接通過感知去理解圖形及其性質(zhì)的能力.直觀想象主要表現(xiàn)在四個方面:(1)建立數(shù)與形的聯(lián)系;(2)借助幾何圖形描述問題;(3)借助幾何直觀理解問題;(4)運用空間想象認識事物[3].

下文將對基本不等式在人教A版、人教B版、蘇教版三個版本教材中的呈現(xiàn)方式進行分析,討論不同教科書中直觀想象素養(yǎng)的滲透方式及異同點.

1 教材分析

1.1 人教A版

基本不等式位于人教A版必修一第二章第二節(jié).

圖1 人教A版必修一第45頁書影

該版本在例題與習題部分通過基本不等式的實際應用培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng):讓學生從實際問題中抽象出圖形,訓練幾何直觀能力;讓學生通過各圖形的性質(zhì)找出周長與面積的關(guān)系,訓練空間想象能力.

1.2 人教B版

基本不等式在人教B版中稱為均值不等式,位于必修一第二章第二節(jié)“不等式”中.

這一版本中,教材先建立了幾何平均值的圖形聯(lián)系,接著探究幾何平均值和算術(shù)平均值的幾何意義,在此基礎(chǔ)上得出了基本不等式的幾何意義,環(huán)環(huán)相扣,層層推進.在本節(jié)最后的“探索與研究”環(huán)節(jié),給出帕普斯的半圓模型,讓學生自主探究基本不等式的另一種幾何意義,如圖2所示.這將進一步加深學生對基本不等式的理解和記憶.B版給出的兩種幾何意義,充分滲透了直觀想象素養(yǎng).

圖2 人教B版必修一第73頁書影

人教B版在例題與習題部分與人教A版相似,也是通過實際問題,如“菜地的周長和面積”來引導學生發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

1.3 蘇教版

蘇教版的基本不等式位于必修一的第三章的第二節(jié)中.

圖3 蘇教版必修一第51頁書影

2 對比分析

2.1 引入

幾何圖形可以激發(fā)學生的直觀想象素養(yǎng)[7].三個版本教科書為了在基本不等式的學習中滲透直觀想象素養(yǎng),均設(shè)置了一些帶有幾何特點的情境引入(見表1).人教A版教科書選擇了趙爽弦圖,“弦圖”不僅結(jié)構(gòu)簡潔優(yōu)美,還具有數(shù)學文化的特點,能夠體現(xiàn)數(shù)學學科的育人價值.人教B版采用矩形引入,矩形作為學生最熟悉的圖形方便學生理解和遷移.蘇教版采用實際情境引入,不僅直觀還具有趣味性.

表1 不同版本教科書中基本不等式的引入方法

2.2 證明

各版本教材都對基本不等式從幾何角度進行了證明,即通過圖形動態(tài)地展示基本不等式從“不等”到“相等”的過程[8].從幾何角度證明不等式,有兩種方法:一是直接給出幾何圖形,根據(jù)圖形做出基本不等式的幾何解釋(根據(jù)圖來證明);另一種方法則是不給出圖形,讓學生自己構(gòu)造圖形進行證明.縱觀各個版本教科書,均直接給出幾何圖形讓學生利用幾何圖形去驗證基本不等式(見表2),并沒有出現(xiàn)讓學生構(gòu)造幾何模型去驗證基本不等式,可能是考慮到這種要求對于學生來說還是很難達到的.各版本教科書給出的圖形基本是帕普斯半圓模型,但不同的教科書在使用半圓模型時也略有區(qū)別.比如,人教A版中,沒有給出半徑,只是給出了半弦,此時還需要學生去構(gòu)造出半徑,增加了難度.

表2 不同版本教科書中基本不等式的幾何證明方法

2.3 例題與習題

直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)依賴于數(shù)學問題[9],因此例題和習題對于培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)發(fā)揮著不可或缺的作用.例習題方面,三個版本教材均設(shè)置了一些幾何問題讓學生借助圖形進一步理解基本不等式.不管是人教A版、B版還是蘇教版,幾乎所有例題習題都需要學生發(fā)揮幾何直觀能力和空間想象能力將數(shù)與形相聯(lián)系,借助圖形解決問題.這一過程不僅加強了學生對基本不等式的理解,還有助于培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).在蘇教版的習題中還出現(xiàn)了趙爽弦圖,這進一步體現(xiàn)出了趙爽弦圖的重要性.總之,各個版本在例習題上差別不大,都設(shè)置了幾何問題,幫助學生鞏固基本不等式,發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

通過對各版本教科書的研究,可以發(fā)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)貫穿了基本不等式學習的各個環(huán)節(jié)(不等式的引入、不等式的證明、習題鞏固).教科書的設(shè)計在結(jié)合學生認知規(guī)律的同時,還為不同層次學生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展提供了平臺,為學生直觀想象的發(fā)展營造了氛圍,創(chuàng)造了契機.

直觀想象是數(shù)學思維能力在解決問題中的重要體現(xiàn),憑借直觀想象可以培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合能力,實現(xiàn)化抽象為具象,從而有效降低知識的難度,使學生認知和理解數(shù)學知識的本質(zhì),進而促進學生理性認識的生成,使學生體會到數(shù)學的價值[10],最終實現(xiàn)“學生愛上數(shù)學”的目的.雖然直觀想象素養(yǎng)的概念是相同的,但是各個版本在其體現(xiàn)方式上有所不同,所以教師使用教材時應多對比,取眾家之長.本文中通過比較各個教材對于基本不等式的呈現(xiàn)方式,發(fā)現(xiàn)各版本教材在培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)上都有其不同的特色和優(yōu)勢,教師在教學中可以借鑒其他版本教材內(nèi)容,豐富學生課堂體驗.比如,學習基本不等式時,蘇教版可以引入人教A,B版的幾何解釋來發(fā)展學生直觀想象素養(yǎng).