劉昱鑫,沈 陽,曹玉波

(1.吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,吉林 吉林 132022;2.涂易工業(yè)技術(shù)(上海)有限公司 電氣部,上海 201821)

倒立擺具有快速、非線性、強耦合等特點,通過對倒立擺系統(tǒng)的研究,能夠揭示機器人、宇宙飛船和水下艦艇等系統(tǒng)中存在的控制問題[1],因此對于倒立擺的研究具有重要現(xiàn)實意義。近年來,國內(nèi)外許多學(xué)者利用最優(yōu)控制方法對倒立擺系統(tǒng)進行了深入的研究。

將LQR控制器應(yīng)用于一階倒立擺系統(tǒng)[2],使用Simscape對一階倒立擺進行建模與控制仿真,驗證了系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性與魯棒性[3]。

1 倒立擺的建模

1.1 倒立擺的數(shù)學(xué)建模

使用牛頓-歐拉法對一階倒立擺系統(tǒng)進行動力學(xué)建模。在忽略空氣阻力和擺桿轉(zhuǎn)動阻力的情況下,滑塊可以在導(dǎo)軌上水平移動,擺桿可以在XOZ平面一維轉(zhuǎn)動。對一階倒立擺受力分析如圖1所示,規(guī)定X軸正方向為正。

圖1 倒立擺受力分析圖

對一階倒立擺水平方向進行受力分析,可得

(1)

對一階倒立擺豎直方向進行受力分析,可得

(2)

其中F是加在滑塊上的力;φ是擺桿與垂直方向的夾角;M是滑塊質(zhì)量;m是擺桿質(zhì)量;μ是滑塊水平移動的摩擦系數(shù);l是擺桿重心到轉(zhuǎn)動點的距離;J是擺桿的轉(zhuǎn)動慣量。

對一階倒立擺在平衡點附近進行線性化,得到線性系統(tǒng)的微分方程為[4]

(3)

(4)

一階倒立擺各參數(shù)具體數(shù)值如表1所示。

表1 實際參數(shù)表

將實際數(shù)據(jù)代入,得到系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為

(5)

其中,

對一階倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析。使用Matlab的eig函數(shù)可以求出一階倒立擺的開環(huán)系統(tǒng)極點為(0 -0.08 -4.91 4.91)。系統(tǒng)有落在S平面右半軸的極點,因此一階倒立擺系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。

對一階倒立擺能控能觀性進行證明,系統(tǒng)是四維的,n=4;其能控矩陣C0,能觀矩陣O為

C0=[BABA2BA3B]Rank(C0)=4=n,

O=[CCACA2CA3]Rank(O)=4=n,

系統(tǒng)能控,說明滑塊位移、滑塊速度、擺桿角度、擺桿角速度四個狀態(tài)變量都可被輸入控制。系統(tǒng)能觀,說明系統(tǒng)的四個狀態(tài)變量都可由輸出觀測。

1.2 一階倒立擺模型在Simscape環(huán)境中的實現(xiàn)

Simscape是基于Matlab/Simulink的可視化物理系統(tǒng)仿真環(huán)境[5]。采用物理拓補網(wǎng)絡(luò)方式構(gòu)建系統(tǒng)模型,每一個模塊都對應(yīng)一個實際物理元器件,模型構(gòu)建完成后會自動計算出系統(tǒng)的動態(tài)特性數(shù)學(xué)方程,代替了利用復(fù)雜數(shù)學(xué)公式建模的方法,直觀地顯示出物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系,非常適合對復(fù)雜過程開展物理建模和計算求解。

基于Simscape建立的一階倒立擺物理模型,如圖2所示。

圖2 基于Simscape的一階倒立擺物理模型圖

2 一階倒立擺LQR控制器設(shè)計與仿真

由1.1節(jié)可知,系統(tǒng)不穩(wěn)定但系統(tǒng)能控能觀。使用線性狀態(tài)反饋控制,能使系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。令輸入變量為狀態(tài)變量的-K倍[6]：

u(t)=-Kx(t),其中,K=[k1k2k3k4] ,

(6)

(6)式便是狀態(tài)反饋控制表達形式,難點在于求解狀態(tài)反饋增益矩陣K。將(6)式代入系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程中：

(7)

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

2.1 倒立擺系統(tǒng)LQR控制器的設(shè)計

LQR(Linear Quadratic Regulator)控制器又稱線性二次型調(diào)節(jié)器。線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計是基于狀態(tài)空間技術(shù)設(shè)計一個優(yōu)化動態(tài)控制器。通過狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng),設(shè)計狀態(tài)和控制輸入的二次型目標函數(shù),在線性系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入,使得二次型目標函數(shù)達到最小[7]。

為了求出最優(yōu)反饋增益矩陣,引入代價函數(shù)(Cost Function)

(8)

控制器設(shè)計的目標是選擇合適的K,從而得到Jmin(代價函數(shù)的最小值)。矩陣Q和R分別是狀態(tài)變量和控制量(輸入量)的權(quán)重矩陣,都是正定的對稱矩陣。一般情況下Q和R會選擇為對角矩陣,且對角線上的元素都大于0,

代入式(8)可得

(9)

觀察(9)式可以發(fā)現(xiàn)不同的權(quán)重系數(shù)對代價函數(shù)的影響。例如當q1遠大于其他權(quán)重值時,在求Jmin的時候就會更關(guān)注x的變化,會讓它在最短時間內(nèi)穩(wěn)于0。反之,如果r比較大,在求解的過程中就會更加關(guān)注u的值[8]。

將(6)式代入代價函數(shù)中,

(10)

假設(shè)存在一個常量矩陣P,使得

(11)

將其代入代價函數(shù)可得

(12)

因為積分上限為正無窮,系統(tǒng)處于穩(wěn)定,x→0。由萊布尼茲公式可知,將代價函數(shù)展開后前面的負號會被消去。x(0)代表初始條件。

將(7)式代入(10)式并展開得

xT[(A-BK)TP+P(A-BK)+Q+KTRK]x=0 ,

(13)

因為該二次型有解,所以：

ATP-KTBTP+PA-PBK+Q+KTRK=0 ,

(14)

令K=R-1BTP,得到黎卡提方程：

ATP+PA+Q-PBR-1BTP=0 ,

(15)

其中R,B已知,根據(jù)黎卡提方程可求出P,繼而求出K。

2.2 倒立擺系統(tǒng)LQR控制器的仿真

將1.2節(jié)搭建的Simscape仿真模型封裝成模塊,并搭建出基于狀態(tài)反饋的LQR控制器。由1.1節(jié)可知系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A,輸入矩陣B。代價函數(shù)的權(quán)重取值如表2所示。

表2 權(quán)重取值

將上述條件帶入2.1節(jié)求解過程,求出K=[-10,-10.4,59.47,12.6]

設(shè)擺桿與豎直方向初始夾角為5°,將求出的反饋增益代入系統(tǒng),目標是將它控制到平衡位置。仿真結(jié)果如圖4所示。

t/s(a) 滑塊位移隨時間的變化

通過仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),LQR控制器成功地將一階倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定到了平衡點。控制效果良好,位移與擺桿角度調(diào)節(jié)時間均小于5 s;擺桿角度超調(diào)量足夠小,穩(wěn)態(tài)誤差滿足要求,上升時間不超過1 s。說明LQR控制器實現(xiàn)了一階倒立擺系統(tǒng)的控制,且系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性與魯棒性。

3 結(jié) 論

倒立擺是一個復(fù)雜不穩(wěn)定的、帶有非線性和強耦合性的系統(tǒng),對倒立擺系統(tǒng)的研究是學(xué)習(xí)控制理論最合適的裝置之一。本文對一階倒立擺進行受力分析,得到狀態(tài)空間方程,并基于Simscape建立了一階倒立擺的模型。在此基礎(chǔ)上設(shè)計了LQR控制器對一階倒立擺進行控制,成功地將一階倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在了平衡點。