孟亞男,武 丹*,王 強(qiáng),王文琪

(1.吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,吉林 吉林 132022;2.華潤(rùn)雪花啤酒(吉林)有限公司,吉林 吉林 132021;3.吉林市創(chuàng)贏自控設(shè)備有限公司,吉林 吉林 132022)

多效蒸發(fā)是工業(yè)生產(chǎn)中復(fù)雜的生產(chǎn)單元之一,其過程參數(shù)多、操作成本大等特點(diǎn)使得建立相應(yīng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有著非常重要的意義。生產(chǎn)過程的數(shù)學(xué)模型可以根據(jù)參數(shù)是否隨時(shí)間變化分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)模型。靜態(tài)模型是穩(wěn)態(tài)時(shí)描述輸入輸出變量關(guān)系的表達(dá)式,也稱穩(wěn)態(tài)計(jì)算[1]。已經(jīng)有很多學(xué)者對(duì)多效蒸發(fā)的穩(wěn)態(tài)計(jì)算做了非常重要的工作,任競(jìng)爭(zhēng)[2]等應(yīng)用MATLAB工具箱函數(shù)聯(lián)立多效蒸發(fā)系統(tǒng)的平衡方程,對(duì)三效蒸發(fā)實(shí)例實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)計(jì)算,但該方法方程數(shù)量過多,只適合效數(shù)較少的多效蒸發(fā)系統(tǒng);阮奇[3]等提出了迭代法結(jié)合矩陣法求解穩(wěn)態(tài)計(jì)算的新算法,但矩陣法實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較復(fù)雜。本文以文獻(xiàn)[4]為藍(lán)本,根據(jù)福建青山堿回收二廠3號(hào)蒸發(fā)站的工藝數(shù)據(jù)進(jìn)行靜態(tài)模型建立和模型求解。

1 工藝流程

根據(jù)文獻(xiàn)可知,該多效蒸發(fā)系統(tǒng)改造項(xiàng)目是增加兩效逆流降膜式蒸發(fā)器,工藝流程如圖1所示。

圖1 逆流加料二效蒸發(fā)工藝流程示意圖

圖中D0表示新鮮蒸汽流量;T0表示新鮮蒸汽溫度;Wi和Ti分別表示第i效二次蒸汽流量及溫度;F1、t1、x1分別表示進(jìn)料流量、溫度和濃度;F2、t2、x2分別表示二效出料液流量、溫度和濃度;F3、t3、x3分別表示完成液流量、溫度和濃度;w代表閃蒸出二次汽流量。新鮮蒸汽采用165 ℃飽和蒸汽,從Ⅰ效進(jìn)入,對(duì)料液進(jìn)行加熱,Ⅰ效產(chǎn)生二次汽進(jìn)入Ⅱ效作為加熱熱源。料液由Ⅱ效進(jìn)入,逆流經(jīng)Ⅱ效后進(jìn)入Ⅰ效,最終完成液由Ⅰ效流出。根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)工藝要求,Ⅰ效冷凝水閃蒸后得到的閃蒸氣與Ⅰ效二次汽一并進(jìn)入Ⅱ效。

2 穩(wěn)態(tài)模型建立

2.1 參數(shù)的確定

多效蒸發(fā)系統(tǒng)的參數(shù)繁多,且很多位置不方便測(cè)量。因此,對(duì)多效蒸發(fā)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)計(jì)算,得到各參數(shù)的穩(wěn)態(tài)值有十分重要的意義。通常以下參數(shù)是現(xiàn)場(chǎng)可以實(shí)際測(cè)量或可查表得到：進(jìn)料流量、進(jìn)料溫度、進(jìn)料濃度、出料濃度、加熱蒸汽壓強(qiáng)或溫度、末效二次汽壓強(qiáng)或溫度、每效蒸發(fā)器的傳熱系數(shù),具體參數(shù)還要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際數(shù)據(jù)得到。

已知參數(shù)有：加熱蒸汽T0=165 ℃;Ⅰ效二次汽出口壓力P1=310 kPa;Ⅱ效二次汽出口壓力P2=146 kPa;料液進(jìn)料量F1=72 115 kg/h;料液進(jìn)料溫度t1=110 ℃;料液進(jìn)料濃度x1=52%,完成液濃度x3=73.82%;Ⅰ效傳熱系數(shù)K1=372 W/(m2·℃);Ⅱ效傳熱系數(shù)K2=542 W/(m2·℃)。需要確定的參數(shù)有：加熱蒸汽流量D0;Ⅰ效二次汽流量W1;Ⅱ效二次汽流量W2;Ⅰ效進(jìn)料濃度x2;Ⅰ效進(jìn)料溫度t2;Ⅰ效出料溫度t3;Ⅰ效、Ⅱ效傳熱面積S1、S2。

另外根據(jù)工藝要求,Ⅰ效冷凝水閃蒸出的蒸汽量w也是未知參數(shù),需要確定其與已知參數(shù)的關(guān)系。

設(shè)效間溫度損失為0.5 ℃,則進(jìn)入Ⅱ效蒸發(fā)器的二次汽溫度為133.5 ℃。因此,閃蒸罐閃蒸出的飽和蒸汽需要達(dá)到133.5 ℃。通過查表可知,飽和水蒸氣和冷凝水焓值：H1=2 729 kJ/kg(133.5 ℃),H2=560.59 kJ/kg,H3=696.52 kJ/kg,根據(jù)閃蒸罐能量守恒得到：

D0H3=wH1+(D0-w)H2,

(1)

將H1、H2、H3帶入式(1),整理出閃蒸量w和加熱蒸汽量D0的關(guān)系w=0.062 7D0。

2.2 物性參數(shù)關(guān)系

多效蒸發(fā)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)計(jì)算模型的建立,需要確定幾個(gè)物理特性,比如蒸汽的汽化潛熱和料液的比熱容等。需要將這些物理特性參數(shù)由已知參數(shù)確定或由未知參數(shù)得到一定的關(guān)系式代入到計(jì)算模型中才能求解。

飽和水蒸氣汽化潛熱可以通過查表擬合方法得到公式[5]為

(2)

式中：ri是第i效飽和水蒸氣汽化潛熱(單位：kJ/kg);Ti是i效蒸汽溫度(單位：℃)。

溶液的比熱容一般是與其濃度有關(guān)的表達(dá)式,本文制漿黑液的比熱容可用式(3)進(jìn)行估算[6]：

Cpi=2.016xi+4.186(1-xi) ,

(3)

式中,Cpi是i效溶液比熱容,kJ/(kg·℃);xi是i效溶液進(jìn)料濃度。

在多效蒸發(fā)過程中,每一效都會(huì)有一定的溫差損失,主要由沸點(diǎn)上升、各效管路阻力損失和液體靜壓引起的溫度損失組成[7]。由于管路和靜壓差損失與沸點(diǎn)上升相比很小,本文忽略不計(jì)。由文獻(xiàn)[8]可以得到制漿黑液相平衡關(guān)系式為

ΔT=6.173x-7.48xx0.5+32.747x2,

(4)

t=ΔT+T,

(5)

式中：t是溶液溫度(單位：℃);ΔT是沸點(diǎn)升高值(單位：℃);x是該效出口料液濃度。

在多效蒸發(fā)過程中,對(duì)飽和水蒸氣一般測(cè)量其壓力,再通過查表確定飽和水蒸氣溫度[9]。本文將飽和水蒸氣(以壓強(qiáng)為準(zhǔn))對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)應(yīng)用MATLAB進(jìn)行擬合。得到的曲線用高次多項(xiàng)式也難以表示,因此,采用數(shù)據(jù)游標(biāo)方式讀取溫度值來(lái)確保該壓強(qiáng)下得到的溫度值是準(zhǔn)確的。

Ⅰ效二次汽出口壓力P1=310 kPa,Ⅱ效二次汽出口壓力P2=146 kPa。通過數(shù)據(jù)游標(biāo)方式得到Ⅰ效二次汽出口溫度T1=134 ℃,Ⅱ效二次汽出口溫度T2=110.5 ℃。

2.3 建立穩(wěn)態(tài)計(jì)算模型

多效蒸發(fā)的穩(wěn)態(tài)計(jì)算一般是采用迭代法根據(jù)工藝要求和經(jīng)驗(yàn)參數(shù),估計(jì)各效蒸發(fā)量和完成液組成。由于該改造項(xiàng)目工藝要求,傳熱面積不相等,故本文根據(jù)每一效的物料平衡、熱量平衡、相平衡、傳熱速率方程,利用各項(xiàng)物性參數(shù)關(guān)系,建立逆流雙效蒸發(fā)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程組,即穩(wěn)態(tài)計(jì)算模型。

Ⅰ效：

(6)

傳熱速率：f2=K1S1(T0-t3)-D0r0,

(7)

+T1,

(8)

(9)

Ⅱ效：

熱量平衡：

(10)

傳熱速率：f4=K2S2(T1-t2)-(W1+w)r1,

(11)

+T2-t,

(12)

物料平衡：f6=F1x1-F2x2.

(13)

因此,逆流雙效多效蒸發(fā)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)計(jì)算模型是公式(6)～(13),需要求解的未知參數(shù)一共有8個(gè),已知Ⅰ效二次汽出口溫度T1=134 ℃,完成液濃度x3=73.82%,根據(jù)公式(7)可以得到完成液溫度t3;已知料液進(jìn)料量F1=72 115 kg/h,料液進(jìn)料濃度x1=52%,完成液濃度x3=73.82%,根據(jù)公式(8)可以計(jì)算得到總蒸發(fā)水量W。剩余6個(gè)方程解6個(gè)未知參數(shù),可解。

3 模型求解

3.1 求解方法

以上得到的穩(wěn)態(tài)計(jì)算模型是一組非線性方程組,求解目的是找到同時(shí)滿足上述方程的一組解。解非線性方程組的方法很多,例如,MATLAB工具箱fsolve函數(shù)、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代等,本文采用的是牛頓-拉弗森(Newton Raphson)法,也稱牛頓迭代法。

牛頓迭代法的基本原理是將方程組按Taylor級(jí)數(shù)展開(略去高階偏導(dǎo)數(shù)),得到近似方程組。

(14)

Δw1=w1,k+1-w1,k,其他參數(shù)同理。將式(14)寫成緊湊型矩陣形式是JkΔXk=-fk,其中Jk為雅可比方陣[10]：

(15)

fk=[f1,f2,f3,f4,f5,f6]T.

(16)

牛頓迭代法要求矩陣Jk可逆,若Jk奇異或接近奇異,需采用其他求解方式。牛頓迭代法具有二階收斂速度,實(shí)際計(jì)算時(shí)迭代初始點(diǎn)(初值)與方程組的根靠近時(shí),二階收斂才能很好地體現(xiàn)出來(lái)[11]。因此,使用牛頓迭代法求解方程組時(shí)需要盡可能地使其初值靠近方程組的解。

3.2 初值計(jì)算

料液進(jìn)料量F1=72 115 kg/h=20.032 kg/s,料液進(jìn)料濃度x1=52%,完成液濃度x3=73.82%,由公式(9)可以求出總蒸發(fā)水量W=5.92 kg/s。設(shè)加熱蒸汽D0=0.5W=2.96 kg/s,假定各效蒸發(fā)水量相等,W1=W2=0.5W=2.96 kg/s,x2=F1x1/(F1-W2)=0.61。

已知T0=165 ℃,T1=134 ℃,T2=110.5 ℃,由公式(8)和公式(12)得料液溫度t2=122.69 ℃,t3=151.657 8 ℃。S1=D0r0/K1/(T0-t3)=1 235.3 m2,S2=(W1+w)r1/K2/(T1-t2)=1 111.47 m2。

3.3 變量比例化

為減小計(jì)算誤差并對(duì)各參數(shù)建立一致的收斂精度要求,本文采用比例因子法,即將參數(shù)和方程按一定比例折算成新的變量,使新變量具有相同數(shù)量級(jí)[12]。令：

X1=W1/F1,X2=x2,X3=t2/T0,X4=D0/F1,X5=S1/200F1,X6=S2/200F1,g1,2,3,4=fi/F1r0,g5=f5/T0,g6=f6/F1。

3.4 模型求解

使用MATLAB進(jìn)行牛頓迭代法編程求解,求解計(jì)算框圖如圖2所示。計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比表

圖2 多效蒸發(fā)牛頓迭代法計(jì)算框圖

4 結(jié) 論

本文聯(lián)立雙效逆流蒸發(fā)系統(tǒng)的熱量平衡、傳熱速率、相平衡、物料平衡、物性參數(shù)關(guān)系建立了該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)計(jì)算模型,思路簡(jiǎn)單且有一定通用性。采用牛頓迭代法求解計(jì)算模型方程組,編程簡(jiǎn)單、收斂速度快。最后,將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,數(shù)據(jù)偏差率較小,滿足設(shè)計(jì)要求,證明本文所述穩(wěn)態(tài)計(jì)算模型和求解方法可行性高,可應(yīng)用于其他多效蒸發(fā)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算。