趙煉恒 ，趙偉龍 ，韋彬 ，賈光龍 ，胡世紅 ?

［1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2.軌道交通工程結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（中南大學(xué)），湖南 長沙 410075；3.重載鐵路工程結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（中南大學(xué)），湖南 長沙 410075；4.深圳市綜合交通與市政工程設(shè)計(jì)研究總院有限公司，廣東 深圳 518003］

邊坡穩(wěn)定性一直以來是巖土工程中的熱點(diǎn)話題.目前分析邊坡穩(wěn)定性的方法主要有極限平衡法［1-2］、有限元法［2-3］和極限分析法［4-7］等.由于極限分析法具有清晰的物理意義以及能得到嚴(yán)格的求解范圍［8］，近年來在邊坡穩(wěn)定性問題上獲得了廣泛的應(yīng)用［4-10］.賀志軍等［4］基于極限分析上限定理和蒙特卡l羅法，在非線性Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則下進(jìn)行了邊坡可靠度分析.王智德等［5］利用極限分析上限法和體積力增量法，考慮含多巖層錯(cuò)動(dòng)的結(jié)構(gòu)面的塊體模型，推導(dǎo)出計(jì)算邊坡穩(wěn)定系數(shù)的公式，并與離散元模擬結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證其方法的有效性.Tang 等［6］利用非線性序列二次規(guī)劃法優(yōu)化了邊坡安全系數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，并基于極限分析上限定理和強(qiáng)度折減法，考慮堆載、孔隙水壓力和水平地震力等因素的影響，繪制了各向同性均質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性圖表.在極限分析中，邊坡失穩(wěn)的機(jī)制以旋轉(zhuǎn)破壞和平移破壞為主［11］，經(jīng)驗(yàn)表明［11-12］，在評(píng)價(jià)邊坡穩(wěn)定性時(shí)旋轉(zhuǎn)破壞比平移破壞產(chǎn)生了更好的界限.對(duì)于旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)制，絕大多數(shù)研究［9，13-14］均假定邊坡的破壞面為對(duì)數(shù)螺旋線.但已有研究顯示［15］，服從線性Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則的邊坡發(fā)生旋轉(zhuǎn)破壞時(shí)，其潛在滑動(dòng)面是對(duì)數(shù)螺旋線；而在非線性準(zhǔn)則下，邊坡潛在滑動(dòng)面并非單一對(duì)數(shù)螺旋線，當(dāng)研究中不能真實(shí)地體現(xiàn)巖土體的力學(xué)特性，就會(huì)使結(jié)果與真實(shí)狀況存在一定的差異.此外，經(jīng)典的極限分析理論大多基于線性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則進(jìn)行研究，然而大量的試驗(yàn)表明巖土體的強(qiáng)度包絡(luò)線具有顯著的非線性特征［16-17］.因此，為了較為準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)邊坡穩(wěn)定性，許多學(xué)者基于非線性破壞準(zhǔn)則對(duì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行了大量研究.Yang 等［18］利用“外切線技術(shù)”將非線性破壞準(zhǔn)則轉(zhuǎn)化為線性Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則，獲得了非線性破壞準(zhǔn)則下的單一抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合塑性上限定理得到了邊坡的穩(wěn)定性系數(shù).Li 等［19］基于Hoek-Brown 破壞準(zhǔn)則和極限分析有限元上、下限技術(shù)，采用擬靜力法分析了邊坡在水平地震荷載作用下的穩(wěn)定性，通過與極限平衡法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，說明了對(duì)于陡立邊坡，極限平衡法得到的穩(wěn)定系數(shù)偏小.Zhao等［20］基于三種抗剪強(qiáng)度折減策略分別計(jì)算非線性破壞準(zhǔn)則下均質(zhì)邊坡的安全系數(shù).Zuo等［21］為了確定滑坡滑動(dòng)面的抗剪強(qiáng)度參數(shù)，提出了一種基于非線性Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則的可靠性反分析方法，并用工程案例驗(yàn)證了此方法的可行性.可以看出，基于非線性破壞準(zhǔn)則的邊坡穩(wěn)定性問題在分析過程中通常會(huì)將非線性破壞準(zhǔn)則轉(zhuǎn)化為線性Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則來研究［4，7，10］，即潛在滑動(dòng)面上的巖土體采用相同的抗剪強(qiáng)度參數(shù)，無法真實(shí)地反映出抗剪強(qiáng)度參數(shù)隨應(yīng)力狀態(tài)變化的非線性特征，因此本質(zhì)上依舊屬于線性破壞準(zhǔn)則分析.然而對(duì)于Baker［22］提出的三參數(shù)非線性破壞準(zhǔn)則的邊坡穩(wěn)定性研究鮮有報(bào)道，該三參數(shù)非線性破壞準(zhǔn)則是一種廣義巖土體破壞準(zhǔn)則，常規(guī)Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則、Griffith 破壞準(zhǔn)則以及Hoek-Brown 破壞準(zhǔn)則均為其特例.因此，開展三參數(shù)非線性破壞準(zhǔn)則的邊坡穩(wěn)定性分析研究對(duì)于拓展該破壞準(zhǔn)則在巖土工程中的應(yīng)用以及豐富邊坡穩(wěn)定性分析理論具有重要的研究意義.

盡管在現(xiàn)有的極限分析有限元方法中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了Hoek-Brown 破壞準(zhǔn)則在巖土工程問題中的應(yīng)用［23-25］，但對(duì)于非線性Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則以及三參數(shù)破壞準(zhǔn)則尚存在難點(diǎn)，主要是由于這兩種破壞準(zhǔn)則的主應(yīng)力表達(dá)式較為復(fù)雜，且在應(yīng)力空間中屈服面存在不連續(xù)點(diǎn)，這給數(shù)值計(jì)算方法帶來了巨大的挑戰(zhàn).因此，本文基于極限分析上限定理，假定均質(zhì)邊坡在極限狀態(tài)下發(fā)生旋轉(zhuǎn)破壞，采用擬靜力方法考慮地震荷載作用，基于力學(xué)平衡方程建立臨界滑動(dòng)面的泛函表達(dá)式，進(jìn)一步采用變分原理獲得了臨界滑動(dòng)面及其應(yīng)力分布的微分方程組；通過四階Runge-Kutta 方法結(jié)合變分橫截條件、邊界條件求解臨界滑動(dòng)面及其上應(yīng)力；最后根據(jù)虛功原理，采用智能免疫算法得到邊坡的最小臨界高度.通過與極限分析有限元方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法在非線性破壞準(zhǔn)則條件下進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性評(píng)估的有效性與準(zhǔn)確性.在此基礎(chǔ)上，分析了非線性強(qiáng)度參數(shù)、邊坡傾角、水平地震加速度系數(shù)等對(duì)邊坡穩(wěn)定系數(shù)和潛在滑動(dòng)面及其應(yīng)力分布的影響規(guī)律.

1 三參數(shù)非線性破壞準(zhǔn)則

Baker［22，26］通過大量試驗(yàn)提出了一種描述巖土體非線性的破壞準(zhǔn)則，證明大部分巖土體材料均遵循如下三參數(shù)非線性破壞準(zhǔn)則（見圖1）：

圖1 非線性強(qiáng)度包絡(luò)線Fig.1 Nonlinear strength envelope

式中：τ為切向應(yīng)力；σ為法向應(yīng)力；Pa為大氣壓強(qiáng)，大小為100 kPa；A為比例參數(shù)，控制剪切強(qiáng)度大??；T為轉(zhuǎn)換參數(shù)，控制包絡(luò)線與σ軸交點(diǎn)位置；n為無量綱參數(shù)，控制包絡(luò)線曲率.

圖1中：σ1、σ3分別為最大和最小主應(yīng)力，并規(guī)定以壓應(yīng)力為正；φt為瞬時(shí)抗剪強(qiáng)度參數(shù)指標(biāo).

Baker［26］給出了各參數(shù)的取值范圍：0

2 上限分析

在極限狀態(tài)下，假設(shè)均質(zhì)邊坡的潛在滑動(dòng)面y（x）［極坐標(biāo)系下為r（θ）］通過坡腳，坡面函數(shù)為y1（x），α和β為邊坡傾角.邊坡坡頂破壞點(diǎn)（即滑入點(diǎn)）至坡腳的垂直高度為H，水平距離為L；坡頂點(diǎn)與坡腳的垂直高度為H1，水平距離為L2；坡頂點(diǎn)與滑入點(diǎn)的距離為L1，建立如圖2所示的均質(zhì)邊坡旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)制.滑動(dòng)面以上巖土體可視為剛性體，以角速度沿滑動(dòng)面繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，且邊坡失穩(wěn)時(shí)瞬時(shí)變形忽略不計(jì).假定均質(zhì)邊坡巖土體材料服從三參數(shù)非線性破壞準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，根據(jù)極限分析上限定理，塑性速度矢量δw與滑動(dòng)面的夾角為φt.

圖2 均質(zhì)邊坡旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)制Fig.2 Rotational failure mechanism of homogeneous slope

2.1 能耗分析

非線性破壞準(zhǔn)則下，滑動(dòng)面上單位面積的內(nèi)能耗散功率為［8，27］：

將式（3）代入式（2）并積分可得臨界狀態(tài)下滑動(dòng)面上總的內(nèi)能耗散功率

式中：r表示滑動(dòng)面上一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)半徑；θ為極徑與水平方向的夾角，順時(shí)針為正.

在本文中，外力包含重力和地震力，此處采用水平和垂直地震加速度系數(shù)kx、ky表征地震對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，由于都是體積力，因此可一并計(jì)算.值得注意的是，當(dāng)kx=0、ky=1.0 時(shí)與自然條件下相同，即只有重力作用.基于圖2 的邊坡滑動(dòng)破壞機(jī)制，在體積力作用下，外力功率可計(jì)算如下

式中：We為滑動(dòng)體外力功率；W為坐標(biāo)軸x、x=xn與滑動(dòng)面所圍區(qū)域的外力功率；WⅠ為區(qū)域Ⅰ的外力功率；WⅡ?yàn)閰^(qū)域Ⅱ的外力功率；WⅢ為區(qū)域Ⅲ的外力功率.

式中：γ為巖土體材料容重，單位kN/m3.

根據(jù)虛功率原理，有

將式（6）代入式（7）中并整理可得

在極限狀態(tài)下，滑動(dòng)體的力學(xué)平衡條件和材料屈服條件必須同時(shí)滿足，且認(rèn)為當(dāng)能量平衡和力學(xué)平衡條件同時(shí)滿足時(shí)可以獲得最小的上限解答［15］.因此，在地震擬靜力荷載和自重作用下，滑動(dòng)體的力學(xué)平衡方程如下

式中：Q、V分別為滑動(dòng)體水平和豎直方向的合力；M為滑動(dòng)體對(duì)坡頂滑入點(diǎn)的矩.

因此，滑動(dòng)體的總虛功可表示為

式中：δu、δv和δΩ分別為水平、豎直和轉(zhuǎn)動(dòng)的虛位移.

將式（10）代入式（11）可得總虛功為：

當(dāng)I的一階變分為零時(shí)，邊坡處于臨界狀態(tài).此時(shí)，泛函I滿足如下歐拉方程：

式中：G表示臨界狀態(tài)下邊坡潛在滑動(dòng)面上正應(yīng)力和切應(yīng)力滿足的相關(guān)關(guān)系，在本文中即為三參數(shù)破壞準(zhǔn)則.

對(duì)于Baker提出的三參數(shù)非線性屈服準(zhǔn)則，有：

于是將式（15）（22）代入式（21）可得：

由式（23）可知，線性準(zhǔn)則下，即φt為常量時(shí)，均質(zhì)邊坡潛在滑移面為對(duì)數(shù)螺旋線；反之，在非線性準(zhǔn)則下，邊坡潛在滑移面并非單一對(duì)數(shù)螺旋線.

同理，將式（16）（18）代入式（17c）中可得：

通過變分原理的歐拉方程，得到了滑動(dòng)面及其正應(yīng)力分布的一階微分方程組，求解該常微分方程組，還需要邊界條件.由變分極值原理可知，當(dāng)極值曲線的端點(diǎn)不固定時(shí)，泛函取極值的必要條件為滿足變分橫截條件［28］.由于坡頂破壞點(diǎn)在坡頂表面上移動(dòng)，因此，泛函取極值的變分橫截條件為：

需要注意的是，在滑動(dòng)面端點(diǎn)處，有：

故含有kx和ky的兩項(xiàng)消失，再結(jié)合式（15）和（22）可得：

由于滑動(dòng)體的瞬時(shí)變形忽略不計(jì)，可采用變形前的尺寸進(jìn)行分析.因此，根據(jù)圖2 的幾何關(guān)系，有以下等式成立：

2.2 求解步驟

根據(jù)2.1節(jié)能耗分析，可以獲得邊坡給定參數(shù)條件下的臨界高度，求解流程如圖3 所示.詳細(xì)計(jì)算步驟如下：

圖3 邊坡臨界高度求解流程圖Fig.3 Flow chart for solving critical height of slope

1）已知邊坡坡頂傾角及坡面傾角、巖土體強(qiáng)度參數(shù)和地震系數(shù)；

2）假定一組輸入?yún)?shù)（r0，θ0），根據(jù)變分橫截條件［（式（30）］求解坡頂破壞點(diǎn)處的正應(yīng)力σ0；

3）選擇迭代步長Δθ，使得θi+1=θi+Δθ，根據(jù)Runge-Kutta 法在區(qū)間［θi，θi+1］上求解式（23）和式（26），得到滑動(dòng)面上點(diǎn)（i+1）的坐標(biāo)（ri+1，θi+1）和應(yīng)力值σi+1、τi+1；

4）計(jì)算點(diǎn)（i+1）處累計(jì)的內(nèi)能耗散功率和外力功率，再根據(jù)虛功率平衡原理，求解式（8）得到坡頂破壞長度L1；

5）若L1大于零，則根據(jù)式（31）計(jì)算相應(yīng)的邊坡坡度和高度，反之則返回第3步；

6）判斷計(jì)算邊坡坡度是否和已知邊坡坡度相等，若不相等，則返回第2步；

7）輸出（r0，θ0，H），得到均質(zhì)邊坡臨界高度最優(yōu)上限解及其對(duì)應(yīng)的潛在滑動(dòng)面.

其中，通過第2 步～第6 步可以得到已知坡度下邊坡的臨界高度，進(jìn)而利用二維免疫算法得到最優(yōu)上限解.需要說明的是，由于本文構(gòu)建的邊坡潛在滑動(dòng)面通過坡腳，因此上述推導(dǎo)公式只適用于坡腳破壞機(jī)制，對(duì)于坡面及坡腳以下這兩類破壞機(jī)制，該程序尚不能獲得其臨界高度.

2.3 免疫算法

免疫算法是一種受生物免疫系統(tǒng)的啟示而形成的智能搜索算法.此算法適用于求解連續(xù)函數(shù)的極值問題，對(duì)于非連續(xù)函數(shù)的極值問題，也具有很強(qiáng)的全局搜索能力.基本原理是將優(yōu)化問題中待優(yōu)化的問題、可行解、可行解質(zhì)量與免疫系統(tǒng)中抗原、抗體、免疫細(xì)胞與抗原的親和度一一對(duì)應(yīng).因此可以將生物免疫應(yīng)答中的進(jìn)化過程轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)上的尋優(yōu)過程，免疫算法采用群體搜索策略，通過迭代計(jì)算，最終以較大的概率得到問題的最優(yōu)解.主要步驟如下.

1）假定免疫個(gè)體維數(shù)為D1，免疫個(gè)體數(shù)目為N，則初始種群的位置表示為：

式中：rand（0，1）表示在［0，1］上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；xij（0）表示初代種群中第j個(gè)粒子的第i個(gè)分量的位置.

2）計(jì)算個(gè)體的親和度、抗體濃度以及激勵(lì)度，并按激勵(lì)度大小進(jìn)行排序.

式中：J表示激勵(lì)度；U為該個(gè)體的親和度值，即函數(shù)值；K為抗體濃度；p、q稱為激勵(lì)度系數(shù).

3）取激勵(lì)度前N/2 個(gè)個(gè)體進(jìn)行免疫操作（克隆、變異和克隆抑制），免疫后的種群重新計(jì)算激勵(lì)度.

4）隨機(jī)生成N/2個(gè)個(gè)體的新種群，計(jì)算個(gè)體的親和度、抗體濃度以及激勵(lì)度；免疫種群與隨機(jī)種群合并，按激勵(lì)度大小排序，進(jìn)行免疫迭代.

5）反復(fù)執(zhí)行步驟2）～4），直至達(dá)到最大免疫迭代次數(shù)或所要求的收斂精度結(jié)束.

3 對(duì)比分析

3.1 參數(shù)轉(zhuǎn)換

為了驗(yàn)證本文非線性上限變分分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和有效性，將本文方法與極限分析有限元方法（OPTUM G2 2021）計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.對(duì)比分析中采用非線性Hoek?Brown 準(zhǔn)則，由于OPTUM G2 中的Hoek-Brown 破壞準(zhǔn)則是由地質(zhì)參數(shù)D、σci、GSI 和mi表示，因此在對(duì)比驗(yàn)證之前應(yīng)進(jìn)行參數(shù)的轉(zhuǎn)換.Hu等［29］提出了一種將Hoek?Brown 參數(shù)與非線性Mohr?Coulomb破壞準(zhǔn)則強(qiáng)度參數(shù)的轉(zhuǎn)換計(jì)算方法.由于非線性Mohr?Coulomb 準(zhǔn)則與本文的三參數(shù)破壞準(zhǔn)則表達(dá)形式一致，故也可采用此方法得到Hoek?Brown準(zhǔn)則參數(shù)與三參數(shù)破壞準(zhǔn)則參數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，詳細(xì)步驟如下.

Hoek 等［30］提出了一種方法實(shí)現(xiàn)兩種形式的Hoek?Brown 破壞準(zhǔn)則之間的參數(shù)轉(zhuǎn)換.Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則的主應(yīng)力形式為：

式中：σ1和σ3分別為最大和最小主應(yīng)力；a、mb和s是與D、σci、GSI 和mi相關(guān)的無量綱參數(shù)，D為擾動(dòng)因子，σci為單軸抗壓強(qiáng)度，GSI為地質(zhì)強(qiáng)度參數(shù)，mi為材料常數(shù)［31］.

此外，以切向應(yīng)力和法向應(yīng)力表示的Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則為：

式中：τ和σ分別為切向和法向應(yīng)力；A2和B2為反映材料特性的無量綱參數(shù)；σtm為單軸抗拉強(qiáng)度.

當(dāng)給定參數(shù)D、σci、GSI和mi時(shí)，可以通過線性回歸分析得到參數(shù)A2、B2和.另外，對(duì)比式（1）和式（37）可知，切應(yīng)力形式的Hoek-Brown 破壞準(zhǔn)則與三參數(shù)破壞準(zhǔn)則表達(dá)式一致，故可以獲得參數(shù)（A2、B2、σci和σtm）和（n、T和A）之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，具體關(guān)系如下：

3.2 算例驗(yàn)證

算例邊坡的形狀尺寸和材料參數(shù)均取自孫超偉等［32］的研究，具體參數(shù)為：H=10 m，α=0°，β=45°，γ=25 kN/m3，kx=0，ky=1.0，彈性模量E=5 000 MPa，泊松比μ=0.3，σci=25 MPa，mi=2，GSI=5，D=0.

采用OPTUM G2 建立邊坡模型，土體材料服從Hoek-Brown 破壞準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，模型設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)邊界條件，即左右邊界設(shè)置法向約束、底部邊界設(shè)置固定約束.結(jié)合強(qiáng)度折減和網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)，采用三節(jié)點(diǎn)三角形單元，單元數(shù)量為3 000個(gè).

由OPTUM G2 的有限元極限分析法（FELA）強(qiáng)度折減分析，可以獲得均質(zhì)邊坡的安全系數(shù)、剪切耗散帶以及滑動(dòng)帶上的主應(yīng)力分布，一般情況下可認(rèn)為該剪切耗散帶即為邊坡的潛在滑動(dòng)面.此外，通過本文方法亦可獲得邊坡的安全系數(shù)、臨界狀態(tài)下的潛在滑動(dòng)面及其正應(yīng)力和切應(yīng)力分布，由式（39）可將該正應(yīng)力和切應(yīng)力轉(zhuǎn)化為主應(yīng)力，從而與極限分析上限有限元滑動(dòng)帶上的主應(yīng)力結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以此來驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和有效性，如圖4所示.

圖4 對(duì)比分析結(jié)果Fig.4 Comparative analysis results

圖4（a）為計(jì)算滑動(dòng)面與極限分析上限有限元剪切耗散帶的對(duì)比.可以看出，兩者形狀基本吻合.本文方法計(jì)算的安全系數(shù)Fs=1.073，OPTUM G2 計(jì)算的安全系數(shù)Fs=1.125，相對(duì)誤差為4.6%.由于切應(yīng)力形式的Hoek?Brown 準(zhǔn)則與三參數(shù)破壞準(zhǔn)則之間的參數(shù)轉(zhuǎn)換遵循一一對(duì)等原則，因此相對(duì)誤差的主要來源在于兩種形式的Hoek?Brown 破壞準(zhǔn)則的參數(shù)轉(zhuǎn)換.

圖4（b）為兩種方法計(jì)算所得滑動(dòng)面上σ1和σ3的對(duì)比.不難看出，兩者都是先增大后減小的變化趨勢(shì)；兩者出現(xiàn)極大值的位置基本一致，并且出現(xiàn)最大主應(yīng)力的位置不在坡腳處.因此，以上對(duì)比可以證明本研究的準(zhǔn)確性和有效性，能夠?yàn)檫吰碌募庸淘O(shè)計(jì)提供理論支持和合理參考.

4 參數(shù)分析

4.1 穩(wěn)定系數(shù)分析

根據(jù)前述計(jì)算方法，求解了給定邊坡的臨界高度.為了方便研究，采用了Baker［33］定義的穩(wěn)定系數(shù)Fn，計(jì)算公式如式（40）：

式中：Fs為邊坡安全系數(shù)，本文求解邊坡臨界高度，即Fs=1.

為探究巖土體非線性強(qiáng)度參數(shù)、地震荷載、邊坡傾角等因素對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響規(guī)律，采用上述極限分析上限定理，計(jì)算邊坡的臨界高度，再由式（40）計(jì)算邊坡的穩(wěn)定系數(shù)，以Fn為縱坐標(biāo)繪制如圖5 所示的影響規(guī)律曲線.各圖例中非線性強(qiáng)度參數(shù)（T、A、n）、邊坡傾角（β）及水平地震加速度系數(shù)（kx）的取值如表1所示，此外ky=1.0，γ=25 kN/m3，α=0°.

表1 不同圖例下各參數(shù)取值Tab.1 Values of parameters in different legends

圖5 不同參數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定系數(shù)影響規(guī)律分析Fig.5 The influence of different parameters on slope stability coefficient

圖5（a）研究了無量綱參數(shù)T從10～30 變化以及n從0.5～0.9 變化的條件下對(duì)穩(wěn)定系數(shù)Fn的影響.計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)無量綱參數(shù)T相同時(shí)，隨著n的增大，邊坡穩(wěn)定系數(shù)逐漸減小，當(dāng)n≥0.6 時(shí)，減小的趨勢(shì)出現(xiàn)加快，且當(dāng)T越大時(shí)，減小的趨勢(shì)越顯著；當(dāng)n相同時(shí)，隨著無量綱參數(shù)T的增大，邊坡穩(wěn)定系數(shù)逐漸增大，且當(dāng)n越大時(shí)，增大的幅值越小.

圖5（b）研究了無量綱參數(shù)A從1.0～3.0 變化以及n從0.5～0.9 變化的條件下對(duì)穩(wěn)定系數(shù)Fn的影響.計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)無量綱參數(shù)A相同時(shí)，穩(wěn)定系數(shù)隨n的增大呈減小的趨勢(shì)，且這種趨勢(shì)越來越緩慢；當(dāng)n相同時(shí)，無量綱參數(shù)A對(duì)穩(wěn)定系數(shù)幾乎沒有影響.

圖5（c）研究了邊坡傾角β從40°～80°變化以及n從0.5～0.9 變化的條件下對(duì)穩(wěn)定系數(shù)Fn的影響.計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)邊坡傾角β相同時(shí)，隨著n的增大，邊坡穩(wěn)定系數(shù)逐漸減小，當(dāng)n≥0.8 時(shí)，減小的趨勢(shì)出現(xiàn)明顯地減緩，且當(dāng)β越大時(shí)，減緩趨勢(shì)越顯著；當(dāng)n相同時(shí)，穩(wěn)定系數(shù)隨邊坡傾角β的增大而減小，且減小的趨勢(shì)越來越緩慢.

圖5（d）研究了地震系數(shù)kx從0.10～0.30 變化以及n從0.5～0.9 變化的條件下對(duì)穩(wěn)定系數(shù)Fn的影響.計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)?shù)卣鹣禂?shù)kx相同時(shí)，穩(wěn)定系數(shù)隨n的增大而減小，當(dāng)n≥0.6 時(shí)，減小的趨勢(shì)出現(xiàn)明顯地加快，且當(dāng)kx越小時(shí)，減小的趨勢(shì)越顯著；當(dāng)n相同時(shí)，隨著kx的增大，邊坡穩(wěn)定系數(shù)逐漸減小，且當(dāng)n越大時(shí)，減小的幅值越小.

4.2 滑動(dòng)面及其應(yīng)力分析

計(jì)算邊坡穩(wěn)定系數(shù)是為了給邊坡穩(wěn)定性評(píng)估提供量化指標(biāo)，但是當(dāng)邊坡穩(wěn)定性不足時(shí)，則需要對(duì)其采取加固防護(hù)措施，而加固措施的選擇取決于最危險(xiǎn)滑動(dòng)面位置.因此，確定邊坡潛在滑動(dòng)面位置顯得尤為重要.本節(jié)研究了非線性強(qiáng)度參數(shù)、邊坡傾角、地震系數(shù)等因素對(duì)潛在滑動(dòng)面及其應(yīng)力分布的影響規(guī)律.

由圖6（a）可知，L1（坡頂點(diǎn)距坡頂破壞點(diǎn)的距離）隨著無量綱參數(shù)T的增大而增大，H（坡頂破壞點(diǎn)至坡腳的垂直高度）隨著T的增大同樣增大；由圖6（b）可知，坡頂破壞點(diǎn)（y=0 m 處）的正應(yīng)力隨著T的增大而減小，滑動(dòng)面上的最大正應(yīng)力隨著T的增大而增大，且出現(xiàn)最大正應(yīng)力的位置不在坡腳處.

圖6 不同T時(shí)滑動(dòng)面及其應(yīng)力分布Fig.6 Sliding surface and its stress distribution with different T

由圖7（a）可知，隨著無量綱參數(shù)A的增大，L1逐漸增大，并且H隨著A的增大同樣增大；由圖7（b）可知，坡頂破壞點(diǎn)的正應(yīng)力為0，這是由于當(dāng)T=0 時(shí)最小正應(yīng)力為0，不存在負(fù)值，且根據(jù)邊界條件式（30）計(jì)算也可以得到此結(jié)果，同時(shí)由圖可知滑動(dòng)面上的最大正應(yīng)力隨著A的增大而增大，且坡腳處出現(xiàn)正應(yīng)力最大值.

圖7 不同A時(shí)滑動(dòng)面及其應(yīng)力分布Fig.7 Sliding surfaces and its stress distribution with different A

由圖8（a）可知，隨著邊坡傾角β的增大，L1逐漸減小，并且H隨著β的增大同樣減??；由圖8（b）可知，滑動(dòng)面上的最大正應(yīng)力隨著β的增大而減小，當(dāng)β≤60°時(shí)，出現(xiàn)最大正應(yīng)力的位置不在坡腳處.

圖8 不同β時(shí)滑動(dòng)面及其應(yīng)力分布Fig.8 Sliding surface and its stress distribution with different β

由圖9（a）可知，L1隨著地震系數(shù)kx的增大而增大，但是H隨著kx的增大而減??；由圖9（b）可知，坡頂破壞點(diǎn)的正應(yīng)力隨著kx的增大而減小，并且滑動(dòng)面上的最大正應(yīng)力隨著kx的增大同樣減小，出現(xiàn)最大正應(yīng)力的位置不在坡腳處.

圖9 不同kx時(shí)滑動(dòng)面及其應(yīng)力分布Fig.9 Sliding surface and its stress distribution with different kx

5 結(jié)論

基于三參數(shù)非線性破壞準(zhǔn)則和極限分析上限定理，建立均質(zhì)邊坡旋轉(zhuǎn)失穩(wěn)機(jī)制，考慮地震荷載的作用，根據(jù)力學(xué)平衡方程結(jié)合變分原理推導(dǎo)了邊坡潛在滑動(dòng)面及其應(yīng)力分布函數(shù)的微分方程組，采用Runge-Kutta 方法進(jìn)行求解，并根據(jù)虛功率原理結(jié)合免疫算法求解了邊坡的最小臨界高度.本文無需假定邊坡潛在滑動(dòng)面形式，且避免采用“外切線技術(shù)”引入瞬時(shí)抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，保證了滑動(dòng)面上抗剪強(qiáng)度參數(shù)與應(yīng)力的非線性關(guān)系，可真實(shí)反映巖土體材料的非線性特征，并且適用于任何形式的非線性破壞準(zhǔn)則，相較于目前嵌入非線性破壞準(zhǔn)則尚不完善的極限分析有限元方法，本文方法在處理非線性破壞準(zhǔn)則方面具有一定的優(yōu)越性.該方法進(jìn)一步分析了非線性強(qiáng)度參數(shù)、地震荷載、邊坡傾角等因素對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響規(guī)律，主要結(jié)論如下：

1）非線性強(qiáng)度參數(shù)n和邊坡傾角β對(duì)邊坡穩(wěn)定系數(shù)的影響顯著，無量綱參數(shù)T和地震系數(shù)kx隨著n的增大對(duì)穩(wěn)定系數(shù)的影響越來越小，而無量綱參數(shù)A對(duì)穩(wěn)定系數(shù)幾乎沒有影響.

2）L1隨著無量綱參數(shù)T、A和地震系數(shù)kx的增大而增大，隨著邊坡傾角β的增大而減?。籋隨著T、A的增大而增大，隨著β、kx的增大而減小.

3）潛在滑動(dòng)面上最大正應(yīng)力隨著無量綱參數(shù)T、A增大而增大，隨著邊坡傾角β和地震系數(shù)kx增大而減小，與各參數(shù)影響邊坡臨界高度H的結(jié)果相似，并且當(dāng)T=0時(shí)，坡頂破壞點(diǎn)（y=0 m處）正應(yīng)力為0.