王武， 譚彬， 張舜

1.天津理工大學 中環(huán)信息學院 基礎課部，天津 300380；2.天津理工大學 理學院，天津 300384；3.天津仁愛學院 數理教學部，天津 300163

定向完備偏序集是偏序集理論中的一種重要結構, 旨在為計算機高級程序設計語言提供數學模型, 受到了計算機科學和數學領域諸多學者的關注, 并得到了很多有價值的結論和模型[1-6]． 隨著計算機理論的發(fā)展, 偏序集理論不斷向信息科學、 邏輯學、 分析學及各種應用學科滲透[7-8]． Domain理論研究的一個重要方面是盡可能地將連續(xù)格(Domain)推廣到更為一般的格序結構上去, 其中最重要的推廣就是擬連續(xù)Domain． 擬連續(xù)Domain具有很多類似于Domain的良好性質, 并且在理論計算機領域應用更廣泛[9]． 文獻[10]給出了擬連續(xù)Domain的擬基的概念, 并研究了擬基的一些性質． 連續(xù)Domain的M性質與Lawson拓撲的緊性密切相關, 文獻[11]將M性質進行了推廣, 引入了MF性質, 并給出了擬連續(xù)Domain為Lawson緊的一個等價條件． 文獻[12]在連續(xù)Domain中給出了比M性質更強的SM性質, 同時研究了具有性質SM的連續(xù)Domain與L-Domain的關系． 本文在此基礎上, 將連續(xù)Domain的M性質進行推廣, 首先給出M*性質的一些結論, 其次研究了擬連續(xù)Domain中比M*性質更強的SM*性質, 并得到了一些有意義的結論． 主要結果有: 給出了擬連續(xù)Domain具有M*性質的等價刻畫; 給出了擬連續(xù)Domain的SM*性質的定義, 并說明了M*性質與SM*性質的關系; 給出了QL-Domain具有SM*性質的等價條件; 給出了兩類具有性質SM*的特殊擬連續(xù)Domain． 本文的結果有助于Domain理論的進一步研究．

1 預備知識

首先, 介紹偏序集中的一些基本概念[13]． 設L是偏序集,D?L, 如果D中任意兩個元在D中有上界, 則稱D為定向集． 如果L的每個定向子集D都有上確界(記為supD), 則稱L為定向完備偏序集． 任給A?L, 記

↑A={x∈L: 存在a∈A, 使得a≤x}

↓A={x∈L: 存在a∈A, 使得x≤a}

若A為單點集{a}, 則有記號↑A=↑a, ↓A=↓a．

設L是偏序集,G,H為L的兩個非空子集． 如果H?↑G, 則G≤H, 稱這種序關系為Symth序． 如果對任意的定向集D?L, supD∈↑H蘊含存在d∈D使得d∈↑G, 則稱G逼近H, 記為G?H． 特別地, {y}?H簡記為y?H,G?{x}簡記為G?x． 顯然,G?H蘊含?h∈H,G?h． 易知上述定義的逼近關系有如下性質:

(i)G?H蘊含G≤H;

(ii)G≤E?F≤H蘊含G?H．

定義1[13]設L是定向完備偏序集,

(a) 任給子集U?L, 如果U=↑U, 且任意的定向集D?L, supD∈U意味著D∩U≠?, 則稱U為Scott開集． 所有的Scott開集構成一個拓撲, 稱為Scott拓撲, 記為σ(L);

(b) 以主濾子的補L↑x為子基生成的拓撲稱為下拓撲, 記為ω(L);

(c) 稱由σ(L)和ω(L)共同加細的拓撲σ(L)∨ω(L)為Lawson拓撲, 記為λ(L)．

命題1[13]設L是擬連續(xù)Domain, 記F={x:F?x}, 則:

(i) ?x∈L,H為L的有限子集． 如果H?x, 則存在有限集F?L使得H?F?x;

(ii) intσ(L)(↑F)=F, 其中intσ(L)(↑F)表示↑F在Scott拓撲σ(L)中的內部;

定義2[14]設L是擬連續(xù)Domain,?w(L)． 如果?x∈L, 集族fin(x)∩是定向集族且↑x=∩F∈fin(x)∩↑F, 則稱是L的擬基．

顯然, 設L是定向完備偏序集, 則L是擬連續(xù)的當且僅當L有擬基． 如果K(L)={G∈w(L):G?G}是L的擬基, 則稱L是代數擬連續(xù)Domain．

2 性質M*與性質SM*

文獻[15]介紹了擬連續(xù)Domain的M*性質, 并研究了其與Lawson拓撲緊性的關系． 本節(jié)首先研究擬連續(xù)Domain的M*性質, 然后引入SM*性質的概念, 并給出性質M*與性質SM*的關系以及QL-Domain具有性質SM*的等價條件．

定義3[15]設L是擬連續(xù)Domain,是L的擬基． 如果?E,F,G,H∈且E?G,F?H, 存在有限集族*?, 使得↑G∩↑H?∪B∈*↑B?↑E∩↑F, 則稱L相對于擬基具有性質M*．

命題2[15]設L是擬連續(xù)Domain． 則下列條件等價:

(i) ?x,y∈L, ↑x∩↑y是Scott緊的;

(ii)L相對于所有擬基具有性質M*;

(iii)L相對于某個擬基具有性質M*．

容易驗證, 命題2中, ?x,y∈L, ↑x∩↑y是Scott緊的當且僅當?E,F∈w(L), ↑E∩↑F是Scott緊的, 其直接推論為文獻[15]的推論4.7: 擬連續(xù)DomainL上的Lawson拓撲是緊的當且僅當L是有限生成的且具有性質M*．

由定義2知, 任意擬連續(xù)DomainL,w(L)是L的擬基． 如果L相對于某個擬基具有性質M*, 則由命題2知L相對于w(L)也具有性質M*． 如未特殊說明, 本文中的L具有性質M*總是指L相對于w(L)具有性質M*．

命題3設L是擬連續(xù)Domain, 則L具有性質M*當且僅當對?E,F∈w(L),x,y∈L且E?x,F?y, 存在有限集H∈w(L), 使得↑x∩↑y?↑H?↑E∩↑F．

證 必要性因為L是具有性質M*的擬連續(xù)Domain, 則由命題2知,L相對于w(L)具有性質M*． 設E,F,{x},{y}∈w(L), 且E?x,F?y． 由L具有性質M*可知, 存在有限集族*?w(L), 使得

↑x∩↑y?∪B∈*↑B?↑E∩↑F

令H=∪B∈*↑B, 有限多個有限集的并仍然是有限集, 則H為有限集, 且↑x∩↑y?↑H?↑E∩↑F．

充分性?E,F,G,H∈且E?G,F?H, 顯然?g∈G,E?g成立． 同理, ?h∈H,F?h． 由已知條件可知, 存在有限集Hgh∈w(L), 使得

↑g∩↑h?↑Hgh?↑E∩↑F

令

*={Hgh:g∈G,h∈H}

顯然其是有限集族, 則

↑G∩↑H=∪g∈G, h∈H(↑g∩↑h)?∪B∈*↑Hgh?↑E∩↑F

即L相對于擬基w(L)具有性質M*．

由于Smyth序為預序關系[16], 下面給出一種具有性質M*的特殊的偏序結構． 設L是偏序集, 令fin(L)={↑F:F∈w(L)}． ?↑E,↑F∈fin(L), 定義二元關系: ↑E≤↑F當且僅當↑F?↑E, 即fin(L)上的偏序關系為反包含序． 本文中涉及到fin(L)中的序關系總是反包含序． 對??fin(L), 記

qumb={↑E∈fin(L): ↑E是在fin(L)中的極小上界}

定義4設L是偏序集, 有限子集族?fin(L)． 如果:

則稱L是qumb-完備的．

命題4設L是qumb-完備的擬連續(xù)Domain, 則L具有性質M*．

證?x,y∈L,E,F∈w(L), 且E?x,F?y, 由L的qumb-完備性知qumb{↑E, ↑F}是有限集族． ?z∈↑x∩↑y, {z}是E,F的上界, 且↑z是↑E和↑F的上界． 由L的qumb-完備性知, 存在↑G∈qumb(↑E, ↑F), 使得z∈↑G． 令

H=∪{G: ↑G∈qumb{↑E, ↑F}}

從而↑x∩↑y?↑H?↑E∩↑F, 由qmub{↑E, ↑F}的有限性和G為有限集知H是有限集, 故由命題3知L具有性質M*．

文獻[15]引入了QFS-Domain的概念, 并證明了QFS-Domain具有性質M*． 結合命題4, 說明存在一些特殊的偏序結構(如QFS-Domain、 qumb-完備的擬連續(xù)Domain)具有性質M*． 接下來, 引入擬連續(xù)Domain的SM*性質的概念．

定義5設L是擬連續(xù)Domain,是L的擬基． 如果?E,F∈, 存在有限集族?且?H∈,H?↑E∩↑F, 使得E∩F=∪H∈H, 則稱L相對于擬基具有性質SM*． 如果L相對于擬基w(L)具有性質SM*, 則簡稱L具有性質SM*．

命題5設L是擬連續(xù)Domain,是L的擬基． 則L相對于擬基具有性質SM*蘊含L具有性質M*． 如果L是代數擬連續(xù)Domain, 則L相對于擬基(L)具有性質SM*當且僅當L具有性質M*．

證設L相對于擬基具有性質SM*, ?E,F∈,x,y∈L且E?x,F?y, 存在有限集族?, 并且?H∈,H?↑E∩↑F, 使得E∩F=∪H∈H成立． 令H′=∪H∈H, 從而有

↑x∩↑y?E∩F=∪H∈H?∪H∈↑H=↑H′?↑E∩↑F

則由命題3知L相對于擬基具有性質M*． 由命題2知L具有性質M*．

如果L是代數擬連續(xù)的, 只需證明L具有性質M*蘊含L相對于(L)具有性質SM*． 設L具有性質M*, 則由命題2知L相對于(L)具有性質M*． ?E,F∈(L),E?E,F?F, 存在有限集族*?(L), 使得

E∩F=↑E∩↑F?∪B∈*↑B?↑E∩↑F=E∩F

參考文獻[15]的引理4.8證明了所有的QFS-Domain具有M*性質． 由命題5知, 所有的代數QFS-Domain相對于擬基(L)具有SM*性質．

設L是定向完備偏序集, 有限集族?fin(L), 記

qmub?={↑G: ↑G∈qmub(),G≠?}

令

H={↑G: ↑G∈fin(L), ↑H?↑G}

如果?H∈w(L),H在反包含序下是完備格(任意子集的上確界存在), 則稱L是QL-Domain．

定理1設L是qumb-完備的擬連續(xù)QL-Domain． 則下列結論等價:

(i)L具有性質SM*;

(ii) ?E,F∈w(L), qmub?{↑E, ↑F}是有限集族;

證(i)?(ii)設↑G∈qmub?{↑E, ↑F}, 則↑G∈qmub{↑E, ↑F}且G≠?． 設G?x, 則E?x,F?x, 即x∈E∩F． 因為L具有性質SM*, 則存在有限集族∈w(L), 且?H∈,H?↑E∩↑F, 使得E∩F=∪H∈H, 則x∈∪H∈H． 故存在H∈, 使得H?x． 而↑E,↑F∈H, 且↑G為↑E和↑F的極小上界, 同時H是完備格, 則↑G=↑E∨↑F． 因為是有限集族, 則qmub?{↑E, ↑F}也是有限集族．

{↑F=∨n: ↑G∈qmub?}

是有限集, 則qmub?也是有限集． 因此由數學歸納法知, 對任意有限集族?fin(L), qmub?是有限集族．

(iii)?(i)?E,F∈w(L), ↑E,↑F∈fin(L), 令

H=qmub?{↑E, ↑F}={↑G∈qmub{↑E, ↑F}:G≠?}

首先如果存在↑G∈qmub{↑E, ↑F}, 使得G?x, 顯然有E?x,F?x, 即

∪H∈H={x: 存在G∈qmub{E,F}, 使得G?x}?E∩F

?x∈E∩F, 有E∨F?x且E∨F∈qmub?{E,F},x∈∪H∈H．

綜上所述, 有∪H∈H=E∩F,L具有性質SM*．

3 幾類具有SM*性質的特殊擬連續(xù)Domain

下面介紹兩類具有性質SM*的特殊的擬連續(xù)Domain:

定義6設L是擬連續(xù)Domain,是L的擬基． 若存在由有限集作為元素的有限集族i(i∈I)滿足:

(b) ?i∈I,E,F∈i,x∈E∩F, 存在H∈i, 使得H?↑E∩↑F且H?x．

定理2設L是擬連續(xù)Domain,?w(L)是有限集族． 則?E,F∈,x∈E∩F, 存在H∈, 使得H?↑E∩↑F且H?x, 當且僅當D={↑F:F∈∩fin(x)}在反包含序下存在最大元．

證?E,F∈,x∈E∩F, 存在H∈, 使得H?↑E∩↑F且H?x, 則↑H是↑E和↑F在D中的上界, 從而D是有限的定向集, 則必有最大元． 反之, 若D存在最大元↑H′, ?E,F∈,x∈E∩F, 則↑E,↑F∈D, 故H′?↑E∩↑F且H′?x．

定理3設L是擬連續(xù)Domain,是L的擬雙有限基, 則L相對于具有性質SM*．

證設?E,F∈,E?x,F?x． 由于是L的擬雙有限基, 則存在由有限集作為元素的有限集族i(i∈I), 使得:

(ii) 存在H∈i, 使得H?↑E∩↑F且H?x, 則E∩F?∪i∈IH．

反之, 若x∈∪i∈IH, 存在H∈i使得H?x對某個i成立, 且x∈E∩F, ∪i∈IH?E∩F． 則∪i∈IH=E∩F,L相對于具有性質SM*．

定理4設L是擬連續(xù)Domain, 如果對任意有限集E,F?L,E∩F是Scott拓撲的緊子集, 則L具有SM*性質．

證設有限集E,F?L． ?x∈E∩F, 由于E∩F是Scott開集, 則存在有限集Hx使得x∈Hx?E∩F, 則={Hx:x∈Hx?E∩F}是E∩F的開覆蓋, 則存在有限多個H1,…,Hn∈是E∩F的開覆蓋, 則x∈∪iHi．

反之, ?y∈∪iHi, 存在i使得Hi?y,y∈E∩F． 從而E∩F=∪iHi,L具有SM*性質．

本文給出了比M*性質更強的SM*性質, 并給出了一些具有SM*性質的特殊擬連續(xù)Domain, 并說明了在代數情形下, SM*性質與M*性質等價, 同時給出了一種新的偏序結構QL-Domain以及其具有SM*性質的等價條件． 本文的結論有助于Domain理論的進一步研究．