馮 菲

(四川省南充高級(jí)中學(xué),四川 南充 637901)

題目已知圓O:x2+y2=4與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)Q(1,0)且不與坐標(biāo)軸重合的直線與圓O交于A,B兩點(diǎn).

(1)設(shè)直線PA,PB的斜率分別是k1,k2,試問k1·k2是否為定值?若是定值,求出該定值,若不是定值,請(qǐng)說明理由.

(2)延長PA,與直線x=4相交于點(diǎn)R,證明:△PBR的外接圓必過除點(diǎn)P之外的另一點(diǎn),并求出該點(diǎn)坐標(biāo).

1 試題分析

本題是一道高二調(diào)研試題,考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、換元法等思想方法,圓的幾何性質(zhì)、三角形的幾何性質(zhì)、解三角形、直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等知識(shí),低入口高出口.第(1)問要求學(xué)生自己去探究,結(jié)合已有條件觀察、分析、比較、概括,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)及綜合運(yùn)用的能力提出較高的要求,有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力;第(2)問對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯思維能力要求較高[1].

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

又∠PBA=∠PCA,∠PQB=∠CQA,

所以ΔPQB∽ΔAQC.

由P(-2,0),Q(1,0),C(2,0),知

解法2 (利用正弦定理)如圖1,設(shè)∠BPC=α,∠APC=β,直線AB的傾斜角為θ.

圖1 利用正弦定理解析圖

利用三角形的內(nèi)角和定理,得

∠OBQ=θ-2α.

對(duì)△OBQ利用正弦定理,得

化簡,得sinθ=2sin(θ-2α).

等式右邊展開為

sinθ=2sinθcos2α-2cosθsin2α.

兩邊同時(shí)除以cosθ,得

tanθ=2tanθcos2α-2sin2α.

利用二倍角公式化簡為

即4tanα(1-3tan2β)=4tanβ(1-3tan2α).

整理,得(tanα-tanβ)(1-3tanαtanβ)=0.

①

(1+k2)x2-2k2x+k2-4=0.

因?yàn)椤?12k2+16>0,由根與系數(shù)關(guān)系知

將兩根和與積代入①,得

因?yàn)椤?16>0,由圖1知,-2,x1是上述方程的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系,知

又A,Q,B三點(diǎn)共線,所以

整理,得(k1-k2)(1+3k1·k2)=0.

設(shè)|PA|=|t1|,PB|=|t2|,由t的幾何意義知,不妨設(shè)|PA|=-t1,PB|=t2,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知t1+t2=-2cosθ,t1t2=-3.

所以tan∠APQ·tan∠BPQ

②

將兩根和與積代入②式,得

解法6 (圓的參數(shù)方程)設(shè)A(2cosα,2sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α∈(-π,0),β∈(0,π),Q(1,0),則

由A,Q,B三點(diǎn)共線,知

2sinα(2cosβ-1)-2sinβ(2cosα-1)=0.

利用二倍角公式整理為

2.2 第(2)問解析

解法1 (利用三角形相似)記直線x=4與x軸交于點(diǎn)D,圓O與x軸正半軸交于點(diǎn)C,連接BC,CR,易知PB⊥BC.

由PB⊥BC,CD⊥DR,知△BPC∽△DRC.

所以∠PCB=∠DCR,顯然B,C,R三點(diǎn)共線,△PBR為直角三角形,即△PBR外接圓的圓心為PR的中點(diǎn).

因?yàn)镻B⊥BC,所以k2·kBC=-1.

即kCB=kCR.

所以B,C,R三點(diǎn)共線.

即△PBR為直角三角形.

整理,得x2+y2-2x-8-my=0.

即△PBR的外接圓必過除點(diǎn)P之外的另一點(diǎn)(4,0).

整理,得x2+y2-2x-8-6k1y=0.

所以△PBR的外接圓必過除點(diǎn)P之外的另一點(diǎn)(4,0).

解法4 (直譯法)設(shè)直線BP的方程為y=k2(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),

3 探究在圓中的一般性結(jié)論

推廣1 已知圓O:x2+y2=R2(R>0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)Q(m,0)(m>0)且不與坐標(biāo)軸重合的直線與圓O交于M,N兩點(diǎn).

(1)記直線AM,AN的斜率分別是k1,k2,則

4 探究在圓錐曲線中的一般性結(jié)論

(1)記直線AM,AN的斜率分別是k1,k2,則

證明設(shè)直線MN的方程為x=ty+m,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立

(b2t2+a2)y2+2b2tmy+m2b2-a2b2=0.

因?yàn)椤?4a2b2(b2t2+a2-m2)>0,由根與系數(shù)的關(guān)系知,

整理,得

將兩根和與積代入上式,得

將兩根和與積代入上式得kBD-kBM=0,所以M,B,D三點(diǎn)共線.

若將推廣2中條件“橢圓”改為“雙曲線”,則

(1)記直線BM,BN的斜率分別是k1,k2,則

證明過程同推論2.

證明過程同推論3,上述推廣4,5的結(jié)論在雙曲線中不成立,有興趣的讀者可以自行證明.

(1)記直線OH的斜率為k2,則

(2)記直線QH的斜率為k3,則

證明過程同推廣2,有興趣讀者可自行證明.若將推廣6中條件“橢圓”改為“雙曲線”,則

若將推廣6中條件“橢圓”改為“拋物線”,分別延長OM,ON交直線x=n于C,D兩點(diǎn),點(diǎn)H為線段CD的中點(diǎn),則

有興趣的讀者可以自行證明.

(1)記直線OH的斜率為k2,則

(2)記直線QH的斜率為k3,則

證明過程同推論6,推廣7的結(jié)論在雙曲線中不成立.

解析幾何問題的解題方法較多,但不同解法的運(yùn)算量也不相同,有的給人以“親而不近之感”,因此平時(shí)的訓(xùn)練既要注重解法比較,又要研究圖形的幾何特征和命題的幾何背景,掌握一般的代數(shù)方法;既要注重通性通法,又要注重問題本身的屬性,善于總結(jié)推廣,只有多角度挖掘,才能在考場上快速發(fā)現(xiàn)問題的突破口[2].