亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        化繁為簡 化難為易
        ——例談立體幾何的“動態(tài)”問題

        2023-07-30 06:16:20白亞軍
        數(shù)理化解題研究 2023年19期
        關(guān)鍵詞:動點中點圖象

        白亞軍

        (甘肅省永昌縣第一高級中學(xué),甘肅 金昌 737200)

        動態(tài)問題是高中立體幾何的重要題型,常見題型為定位問題、角度、距離與體積的計算、圖形問題和動點軌跡以及翻折、旋轉(zhuǎn)問題等.

        1 定位問題

        例1 如圖1,已知四邊形ABCD,CDGF,ADGE均為正方形,且邊長為1,在DG上是否存在點M,使得直線MB與平面BEF的夾角為45°?若存在,求出點M的位置;若不存在,請說明理由.

        圖1 例1圖 圖2 例1建系圖

        解析因為四邊形CDGF,ADGE均為正方形,所以CD⊥DA,GD⊥DC.

        又因為DA∩DC=D,所以GD⊥平面ABCD.

        又因為CD⊥DA, 所以DA,DG,DC兩兩互相垂直.

        如圖2,以點D為原點建立空間直角坐標系,則B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1).

        因為點M在DG上,假設(shè)存在點M(0,0,t)(0≤t≤1),使得直線MB與平面BEF的夾角為45°.

        設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z).

        令z=1,得x=y=1.

        所以n=(1,1,1)為平面BEF的一個法向量.

        評注由于立體幾何中“動態(tài)”性的存在,代數(shù)法常常引入?yún)⒘?達到以靜制動的效果[1].

        2 角度問題

        例2如圖3,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,面ABCD⊥面ADPQ,動點M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點.設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,求cosθ的最大值.

        圖3 例2圖 圖4 例2建系數(shù)

        解析如圖4所示建立坐標系.設(shè)AB=1,則

        令t=8y+1(1≤t≤9),

        當(dāng)且僅當(dāng)t=1時等號成立.

        評注本題空間角除了用代數(shù)法,還可以用幾何法,當(dāng)點M在點P處時,EM與AF所成角為直角,此時余弦值為0(最小),當(dāng)點M向左移動時,EM與AF所成角逐漸變小時,點M到達點Q時,角最小,余弦值最大.

        3 距離問題

        例3如圖5,在三棱錐A-BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC與△BCD均為等腰直角三角形,∠BAC=∠BCD=90°,BC=2, 點P是線段AB上的動點,若線段CD上存在點Q,使得異面直線PQ與AC成30°的角,則線段PA長的取值范圍是( ).

        圖5 例3圖 圖6 例3建系圖

        解析設(shè)BC的中點為O,連接OA,因為∠BAC=90°,BC=2,所以O(shè)A=1.

        如圖6,建立空間直角坐標系O-xyz,則O(0,0,0),A(0,0,1),B(-1,0,0),C(1,0,0),P(s,0,t),Q(1,m,0)(s<0,t,m>0).

        也即3m2=4t(1-s)-(1-s)2-t2.

        由此可得3m2=4t(1-s)-(1-s)2-t2>0.

        結(jié)合t-s=1可得4(1-s2)>2+2s2.

        即3s2<1.

        評注求距離的基本方法是代數(shù)法,使用距離公式后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

        4 體積問題

        例4 如圖7,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,若平面ABC外一點P和線段AC上一點D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體P-BCD的體積的最大值是____.

        圖7 例4圖 圖8 例4解析圖

        解析如圖8,設(shè)M,N分別為AC,AP的中點,因為BA=BP=BC,PD=DA,所以點B在平面PAC上的射影為△PAC的外心O,且點O在直線ND上.

        當(dāng)且僅當(dāng)點M與點D重合時取到等號.

        因此,四面體P-BCD的體積為

        此時點O,M,D重合,即點D為AC的中點,且平面PBD與平面ABC垂直相交于BD.

        評注對于運動模型(規(guī)律)的求值問題,適當(dāng)引入某個變量求最值.

        5 軌跡問題

        例5如圖9,已知線段AB垂直于定圓所在的平面,B,C是⊙O上的兩個點,H是點B在AC上的射影,當(dāng)點C運動時,點H運動的軌跡是( ).

        圖9 例5圖 圖10 例5解析圖

        A.拋物線 B.圓 C.橢圓 D.不是平面圖形

        解析如圖10,設(shè)⊙O的半徑為r,取BC的中點M,則OM⊥BC,MH=MC.

        因為AB⊥平面BCD,

        所以BC是AC在平面BCD上的射影.

        從而OM⊥平面ABC,得OM⊥MH.

        于是OH2=MO2+MH2=MO2+MC2=r2.

        即OH=r,亦即動點H在以O(shè)為球心、r為半徑的球面上.

        又因為BH⊥AD,B為定點,

        所以動點H又在過點B且垂直于直線AD的定平面上,故點H運動的軌跡是圓.

        評注解答軌跡問題的關(guān)鍵是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,利用解析法求出軌跡方程[2].

        6 翻折、旋轉(zhuǎn)問題

        例6 如圖11,在正方形ABCD中,E,F分別為線段AD,BC上的點,∠ABE=20°,∠CDF=30°.將△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD各自獨立旋轉(zhuǎn)一周,則在所有旋轉(zhuǎn)過程中,求AB與DF所成角的最大值.

        圖11 例6圖

        解析由題△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD形成兩個圓錐體,AB和DF成為圓錐的母線,所以無論怎么旋轉(zhuǎn),都有∠ABE=120°,∠CDF=30°.利用幾何體性質(zhì)得最大角是直線AB關(guān)于直線BE對稱的直線BA′和DF關(guān)于直線CD的對稱直線DF′在同一平面內(nèi)時所成角,為∠ABA′+∠DCF′=70°.

        評注處理翻折問題時,務(wù)必搞清楚翻折前后兩個量之間的位置不變.

        7 圖象問題

        例7在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為A1B1,C1D1,AB,CD的中點,點P從點G出發(fā),沿折線GBCH勻速運動,同時點Q從點H出發(fā),沿折線HDAG勻速運動,且點P與點Q運動的速度相等,記以E,F,P,Q四點為頂點的三棱錐的體積為V,點P運動的路程為x,當(dāng)0≤x≤2時,表示V與x關(guān)系的圖象為( ).

        圖12 V與x關(guān)系的圖象

        解析因為點P與點Q運動的速度相等,設(shè)底面ABCD的中心為O,連接OE,OF,則平面OEF把幾何體PEFQ分割為體積相等的兩部分[3].

        圖時 圖時

        評注解決以立體幾何為背景的分段函數(shù)的圖象問題,解題的關(guān)鍵在于借助幾何圖形分析出動點在運動過程中圖形的變化情況.

        猜你喜歡
        動點中點圖象
        函數(shù)y=Asin(ωx+?)的圖象
        例談圓錐曲線中的中點和對稱問題
        函數(shù)中的動點問題解答策略
        從圖象中挖掘知識的聯(lián)結(jié)點
        中點的聯(lián)想
        分類討論化解動點型題
        “有圖有真相”——談一次函數(shù)圖象的應(yīng)用
        一次函數(shù)圖象的平移變換
        動點軌跡方程的解法探討
        準PR控制的三電平逆變器及中點平衡策略
        電測與儀表(2016年5期)2016-04-22 01:13:38
        欧美国产小视频| 99riav国产精品视频| 国产人与zoxxxx另类| 国产一在线精品一区在线观看| 久久久国产精品ⅤA麻豆百度| 亚州中文字幕乱码中文字幕| 国产精品无码一区二区三级 | 亚洲av日韩专区在线观看| 99久热在线精品视频观看| 亚洲色偷偷综合亚洲av伊人| 久久午夜无码鲁丝片直播午夜精品| 日韩精品一区二区亚洲观看av | 亚洲国产精品久久久久婷婷老年| 日日摸日日碰人妻无码老牲| 在线视频播放观看免费| 久久午夜精品人妻一区二区三区| 国产精品无码久久久久久| 亚洲AⅤ无码日韩AV中文AV伦| 蜜桃av噜噜噜一区二区三区| 国产欧美精品aaaaaa片| 日韩精品一区二区三区免费视频| 亚洲韩国在线| 日本一区二区免费看片| 亚洲va欧美va日韩va成人网| 国产人妻黑人一区二区三区| 亚洲一区二区三在线播放| 有坂深雪中文字幕亚洲中文| 国产精品狼人久久久久影院| 亚洲AV无码成人品爱| 国产人妖直男在线视频| 国产精品人人做人人爽人人添| 蜜臀aⅴ国产精品久久久国产老师| 国产高清天干天天视频| 91成人黄色蘑菇视频| 成年女人18毛片观看| 欧美怡春院一区二区三区| 国产亚洲情侣一区二区无| 亚洲A∨日韩Av最新在线| 国内自拍偷国视频系列| 久久精品免费一区二区三区| 午夜国产一区二区三区精品不卡|