朱賢良

(長(zhǎng)沙市周南梅溪湖中學(xué),湖南 長(zhǎng)沙 410205)

文章先從一道解析幾何中的經(jīng)典問題的求解說起.

1 轉(zhuǎn)換視角:簡(jiǎn)單題中也有大智慧

例1 如圖1,過點(diǎn)M(2,1)作一直線l分別與x軸、y軸的正半軸相交于A,B兩點(diǎn),求|MA|·|MB|的最小值.

圖1 例1圖

在學(xué)習(xí)直線的方程知識(shí)時(shí),我們常選用本題來引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的直線方程進(jìn)行解題.本題的求解思路是先設(shè)出直線的方程,得出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到乘積|MA|·|MB|,最后求得最小值.具體解法如下:

解析設(shè)直線l的點(diǎn)斜式方程為

y-1=k(x-2)(k<0),

比如本題中,

學(xué)過直線的參數(shù)方程后,我們還常利用參數(shù)t的幾何意義來解決線段的長(zhǎng)度問題,這樣就有了下面的解法:

將坐標(biāo)軸所在曲線方程寫成xy=0,

將其與直線l聯(lián)立可得

(2+tcosα)(1+tsinα)=0.

綜觀上述問題的不同求解思路,我們不難將三點(diǎn)共線時(shí)線段長(zhǎng)度之積問題的破解方法歸納為以下三種:

(1)兩點(diǎn)間距離公式法:先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo),或是“設(shè)而不求”,再借助兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算距離.這也是解決長(zhǎng)度問題的通法,求解時(shí)要注意恰當(dāng)借助兩點(diǎn)間距離公式的“2.0版本”來減少運(yùn)算量.

(2)向量數(shù)量積法:三點(diǎn)共線時(shí),兩個(gè)向量數(shù)量積的絕對(duì)值與其模的乘積相等,由此將線段長(zhǎng)度之積轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題.

2 應(yīng)用舉例:心中若有法,難題亦無憂

掌握了以上三種方法,即使是面對(duì)模考與高考中的壓軸題,也可以從容應(yīng)對(duì)、泰然處之.

(1)求橢圓C的方程;

圖2 例2圖

解法1 (兩點(diǎn)間距離公式法)

故MN的方程為

再設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

由兩點(diǎn)間距離公式可知,

解法2 (向量數(shù)量積法)

①當(dāng)切線MN的斜率不存在時(shí),同解法1.

②當(dāng)切線MN的斜率存在時(shí),

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)

解法3 (參數(shù)方程法)

將直線MN的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得

(1)求C的方程;

圖3 例3圖

對(duì)于第(2)問,涉及T,A,B三點(diǎn)共線、T,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)的線段長(zhǎng)度之積|TA|·|TB|與|TP|·|TQ|,依次采用前述三種方法進(jìn)行求解:

解法1 (兩點(diǎn)間距離公式法)

結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式,可得

又因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

由題知k1≠k2.所以k1=-k2.

即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

解法2 (向量數(shù)量積法)

同解法1得

以下同解法1[2].

解法3(參數(shù)方程法)

(16cos2α-sin2α)t2+(16cosα-2msinα)t-(m2+12)=0.

由參數(shù)的幾何意義可知

再設(shè)直線PQ的傾斜角為β,同理可得

依題意,得

則cos2α=cos2β.

即cosα=-cosβ.

故α+β=π.

從而直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0[4].

3 解題啟示:小題大做、發(fā)散思維是提高解題能力、學(xué)好數(shù)學(xué)的重要途徑

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面,從某種意義上說,數(shù)學(xué)能力的高低可以直接通過解題水平的高低表現(xiàn)出來.正如著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說的那樣,“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”因此,在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中首要的目標(biāo)是必須學(xué)會(huì)思考,掌握分析問題、解決問題的思維方式,提升思維品質(zhì).

日常學(xué)習(xí)過程中,通過小題大做來發(fā)散思維就是加深對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法領(lǐng)悟的一個(gè)好方法.當(dāng)我們遇到一些簡(jiǎn)單的小題時(shí)也會(huì)有不一樣的靈感,感覺從不同途徑入手都能解決問題.這往往意味著問題背后有著豐富的背景,此時(shí)我們不應(yīng)放過這份靈感,而應(yīng)該更加深入地去思考,進(jìn)行一些探究式、發(fā)散式的學(xué)習(xí).小題大做的目的就在于利用發(fā)散思維打通不同知識(shí)模塊之間的壁壘,又或者完成從特殊到一般的延展.這樣主動(dòng)學(xué)習(xí)一個(gè)小問題所帶來的解題能力乃至數(shù)學(xué)水平的提升,可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對(duì)一份試卷的機(jī)械刷題.

解題是提升數(shù)學(xué)能力的手段,而不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的.解題活動(dòng)不能是只求量不求質(zhì)的刷題行為,解題一旦變成了簡(jiǎn)單的重復(fù)勞動(dòng),就意味著低效甚至無效.讓我們的解題學(xué)習(xí)過程變得主動(dòng)起來,讓思維的運(yùn)轉(zhuǎn)更加活躍起來,才是提高思考和解決問題能力的有效途徑.