余亞輝 李振平

摘要：考慮矩形區(qū)域上Helmholtz方程柯西問題，該問題是一類嚴(yán)重不適定的偏微分方程反問題，它的解不連續(xù)依賴于輸入數(shù)據(jù).使用修正的Tikhonov正則化方法給出了該問題基于分離變量的近似解，并通過先驗和后驗兩種不同的正則化參數(shù)選擇規(guī)則得到了精確解與正則化近似解之間的Hlder型誤差估計.

關(guān)鍵詞：Helmholtz方程柯西問題；不適定問題；正則化；后驗參數(shù)選??；誤差估計

中圖分類號：O 175 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1001-988Ⅹ（2023）04-0029-06

4 結(jié)束語

本文使用一種修正的Tikhonov方法求解矩形區(qū)域上的Helmholtz方程柯西問題，不僅給出正則化參數(shù)的先驗選取下精確解與正則化近似解之間的Hlder型誤差估計，還給出了正則化參數(shù)后驗選取規(guī)則及誤差估計．該方法可能也適用于其他不適定的反問題，這也有待于我們進一步探究．

參考文獻：

［1］ CHEN J T，WONG F C.Dual formulation of multiple reciprocity method for the acoustic mode of a cavity with a thin partition［J］.J Sound Vib，1998，217（1）：75.

［2］ HALL W S，MAO X Q.Boundary element investigation of irregular frequencies in electromagnetic scattering［J］.Eng Anal Bound Elem，1995，16（3）：245.

［3］ ISAKOV V.Inverse Problems for Partial Differential Equations［M］.New York：Springer-Verlag，1998.

［4］ REGISKA T，REGISKI K.Approximate solution of a Cauchy problem for the Helmholtz equation［J］.Inverse Prob，2006，22：975.

［5］ ZHANG Yuan-xiang，F(xiàn)U Chu-li，DENG Zhi-liang.An a posteriori truncation method for some Cauchy problems associated with Helmholtz-type equations［J］.Inverse Prob Sci Eng，2013，21：1151.

［6］ FU Chu-li，F(xiàn)ENG Xiao-li，QIAN Zhi.The Fourier regularization for solving the Cauchy problem for the Helmholtz equation［J］.Appl Numer Math，2009，59：2625.

［7］ QIN Hai-hua，WEI Ting.Two regularization methods for the Cauchy problems of the Helmholtz equation［J］.Appl Math Model，2010，34：947.

［8］ QIN Hai-hua，WEI Ting.Modified regularization method for the Cauchy problem of the Helmholtz equation［J］.Appl Math Model，2009，33：2334.

［9］ QIAN Ai-lin，XIONG Xiang-tuan，WU Yu-jiang.On a quasi-reversibility regularization method for a Cauchy problem of the Helmholtz equation［J］.J Comput Appl Math，2010，233：1969.

［10］ XIONG Xiang-tuan.A regularization method for a Cauchy problem of the Helmholtz equation［J］.J Comput Appl Math，2010，233：1723.

［11］ FENG Xiao-li，F(xiàn)U Chu-li，CHENG Hao.A regularization method for solving the Cauchy problem for the Helmholtz equation［J］.Appl Math Model，2011，35：3301.

［12］ XIONG Xiang-tuan，F(xiàn)U Chu-li.Two approximate methods of a Cauchy problem for the Helmholtz equation［J］.Comput Appl Math，2007，26：285.

［13］ LI Zhen-ping，XU Chao，LAN Man，et al．A mollification method for a Cauchy problem for the Helmholtz equation［J］.Int J Comput Math，2018，95（11）：2256.

［14］ HE Shang-qin，DI Cong-na，LI Yang.The mollification method based on a modified operator to the ill-posed problem for 3D Helmholtz equation with mixed boundary［J］.Appl Numer Math，2021，160：422.

［15］ XIONG Xiang-tuan，ZHAO Xiao-chen，WANG Jun-xia.Spectral Galerkin method and its application to a Cauchy problem of Helmholtz equation［J］.Numer Algor，2013，63：691.

［16］ QIAN Zhi，F(xiàn)ENG Xiao-li.A fractional Tikhonov method for solving a Cauchy problem of Helmholtz equation［J］.Applicable Analysis，2017，96（10）：1656.

［17］ 熊向團，任麗婷.一種修正的Tikhonov方法求解拉普拉斯方程的柯西問題［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2018，54（5）：1.

［18］ TIKHONOV A N，ARSENIN V Y.Solutions of Ill-posed Problems［M］.Washington DC：Winston and Sons，1977.

（責(zé)任編輯 馬宇鴻）