沈天嬌

歸納是從部分到整體、從特殊到一般、從個(gè)別到普遍的推理。歸納思想可以理解為從許多個(gè)別的事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論的思維能力，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的一種高階思想方法。在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師不僅要注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能的傳授，還要重視學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考問題，以切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。基于此，筆者以數(shù)學(xué)思想方法中的歸納思想為切入點(diǎn)，著重探討了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透歸納思想的可行教學(xué)策略，以期幫助學(xué)生高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，解答數(shù)學(xué)問題，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、分解運(yùn)算過程，科學(xué)轉(zhuǎn)化

部分初中生的抽象思維能力與變通能力稍有欠缺，很難從不同角度、用不同方法去思考和分析問題，這反映出的就是思維品質(zhì)的缺失。為了幫助學(xué)生夯實(shí)計(jì)算基礎(chǔ)，提高運(yùn)算能力，教師可以采用分解運(yùn)算過程、歸納運(yùn)算思路的方式，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)運(yùn)算規(guī)律，讓學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，實(shí)現(xiàn)高效的簡便運(yùn)算。

以人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊“因式分解”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例，這一課涉及十字相乘法的教學(xué)。十字相乘法是指方程從x?+（p+q）x+pq到（x+p）（x+q）的基本轉(zhuǎn)化，是學(xué)生進(jìn)行因式分解、解答一元二次方程相關(guān)問題應(yīng)該掌握的一種轉(zhuǎn)化思路。在具體的教學(xué)過程中，教師可以先出示一些例題，讓學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)它們的規(guī)律，讓學(xué)生掌握十字相乘法的基本思路。接著，教師可以準(zhǔn)備一些題目，讓學(xué)生應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解，引導(dǎo)學(xué)生用口訣的方式歸納“拆兩頭，湊中間”“叉著乘，橫著寫”等分解方法。最后，教師可以引入二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式ax?+bx+c，引導(dǎo)學(xué)生按照十字相乘法的邏輯和思路，思考這種題中的常數(shù)項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)與一次性系數(shù)應(yīng)該如何對應(yīng)，以進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的歸納思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三、融會(huì)貫通，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和知識應(yīng)用能力。

二、分析數(shù)量關(guān)系，驗(yàn)證猜測

歸納思想的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題的數(shù)學(xué)思維方式。數(shù)學(xué)知識之間具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)，教師要通過針對性訓(xùn)練，逐步提高學(xué)生的歸納推理能力，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本規(guī)律，掌握解答數(shù)學(xué)題目的基本思路與技巧，建構(gòu)數(shù)學(xué)解題模型。這樣，當(dāng)學(xué)生遇到同類型題目時(shí)，他們會(huì)更容易找到解題的切入點(diǎn)，并運(yùn)用歸納的思維模式對問題作出直觀判斷，分析數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

以人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊“因式分解”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例，其涉及“提取公因式”的教學(xué)。在教學(xué)過程中，教師可以先準(zhǔn)備一些簡單的題目，如計(jì)算3x?-3x和（m+4）（m-4）等，讓學(xué)生進(jìn)行回顧訓(xùn)練，比較思考a（a+1）（a-1）=a?-a與a?-a=a（a+1）（a-1）這兩種運(yùn)算方法的聯(lián)系與區(qū)別，借此幫助學(xué)生理解整式乘法的計(jì)算，并逆向得到因式分解的基本概念。接著，教師可以準(zhǔn)備一些具有探究性和一定難度的因式分解類題目，讓學(xué)生根據(jù)剛才提取公因式的思路，找出這些題目中的公因式，并引導(dǎo)學(xué)生歸納得出確定公因式的系數(shù)、字母（多項(xiàng)式）和指數(shù)的方法。其中，公式數(shù)的系數(shù)為各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)，字母（多項(xiàng)式）必須是各項(xiàng)都有才能提取，指數(shù)取相同字母（或多項(xiàng)式）的最低次冪。

三、利用錯(cuò)題資源，多向建構(gòu)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透歸納思想時(shí)，教師要重視對錯(cuò)題的反思和錯(cuò)題資源的利用。首先，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納和總結(jié)錯(cuò)題產(chǎn)生的原因，如審題不清、思維定式、概念模糊等，這樣才能對癥下藥解決問題。其次，教師要善于利用錯(cuò)題，讓學(xué)生進(jìn)行有效的反思，并主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，將錯(cuò)題轉(zhuǎn)化為促進(jìn)教學(xué)的資源。最后，教師要善于根據(jù)學(xué)生容易出錯(cuò)的題目，及時(shí)調(diào)整教學(xué)，改進(jìn)教學(xué)策略，以確保數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量。

例如，有一道題目是這樣的：關(guān)于x的方程ax?-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是? ?。這道題的難度不大，學(xué)生根據(jù)題目表述就能想到用一元二次方程的根的判別式解題，即題目中關(guān)于x的方程ax?-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么判別式△=b?-4ac=（-2）?-4×a×1≥0，解得a≤1。于是，很多學(xué)生就會(huì)把a(bǔ)≤1作為最終的答案填進(jìn)去，但這一答案其實(shí)是錯(cuò)誤的。針對此種情況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生細(xì)讀這道題，反思是否遺漏題目中隱含的信息，是否找到了題目中設(shè)置的“陷阱”，是否認(rèn)真梳理題目中的細(xì)節(jié)性信息。在這樣的引導(dǎo)下，有的學(xué)生會(huì)想到并提出：“關(guān)于x的方程ax?-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這就證明該方程一定是一元二次方程，所以a不能為0?！睆亩屍渌麑W(xué)生意識到這道題考查的知識點(diǎn)不僅是一元二次方程的根的情況，還包括一元二次方程的定義。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生會(huì)重新梳理這道題的解題思路，并修正錯(cuò)誤答案。之后，教師可以準(zhǔn)備一些同類型的題目，讓學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)，并歸納出這類題的易錯(cuò)點(diǎn)，加深對相關(guān)知識的理解。

四、加強(qiáng)變式訓(xùn)練，提煉本質(zhì)

變式類訓(xùn)練有助于拓展學(xué)生思維的寬度與深度，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，具有重要的教學(xué)作用。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透歸納思想時(shí)，可以將變式類訓(xùn)練作為引導(dǎo)學(xué)生辯證思考的切入點(diǎn)，讓學(xué)生從不同角度出發(fā)，思考同一考點(diǎn)的不同出題形式，抓住問題考查的本質(zhì)知識，并從中提煉解題方法與解題思路，建構(gòu)數(shù)學(xué)解題模型，從而促進(jìn)學(xué)生歸納能力與邏輯思維能力的發(fā)展。

例如，在分解因式（x-4）（x-2）（x-1）（x+1）-72時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察題目結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)（x-4）（x+1）=x?-3x-4，（x-2）（x-1）=x?-3x+2，它們的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)完全相同，那么就可以引入一個(gè)新元進(jìn)行降次處理，設(shè)x?-3x-1=a，那么原式=

[（x-4）（x+1）][（x-2）（x-1）]-72=（x?-3x-4）（x?-3x+2）-72=（a-3）（a+3）-72=a?-81=（a+9）（a-9）=（x?-3x+8）（x?-3x-10）=（x?-3x+8）（x-5）（x+2），順利完成了因式分解的要求。

又如這樣一道題：已知（x?+y?+1）（x?+y?+3）=8，則x?+y?=? ?。在解題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把x?+y?作為一個(gè)整體來考慮，將x?+y?代換為t，則原式變?yōu)椋╰+1）（t+3）=8。

（t+1）（t+3）=8可化簡為（t+5）（t-1）=0，解得t1=-5，t2=1，又因?yàn)閠=x?+y?≥0，所以t1=-5應(yīng)舍去，可以確定x?+y?的值只能是1。

在變式訓(xùn)練中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生歸納和總結(jié)換元法求解的思路，通過引入一個(gè)或幾個(gè)新變量代替原式中的某些量，以達(dá)到化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式的簡化運(yùn)算的效果。

五、指導(dǎo)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷產(chǎn)生問題、提出假設(shè)、思考論證、實(shí)驗(yàn)證明等過程。在學(xué)生自主進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，教師可以適時(shí)介入指導(dǎo)，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作與動(dòng)腦思考，歸納和發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，體驗(yàn)與經(jīng)歷知識的形成過程，以幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力與歸納總結(jié)能力的共同提高。

以折疊問題為例，這一直是很多學(xué)生頭疼的數(shù)學(xué)問題，由于對折疊的實(shí)質(zhì)理解不夠透徹，學(xué)生在解決這類問題時(shí)感到難度很大?；诖?，教師可以開展有關(guān)折疊問題的實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)，準(zhǔn)備一些常見的折疊問題，如矩形折疊、翻折變換、三角形中的折疊、紙片折疊等，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作，把握折疊引起的“變”與“不變”，并觀察折疊前后的對應(yīng)關(guān)系。這種方式非常清晰直觀，能讓學(xué)生將頭腦中想象的折疊變化得到驗(yàn)證。通過動(dòng)手操作，學(xué)生能歸納得出折疊問題的實(shí)質(zhì)，即圖形的軸對稱變換，折疊之后圖形的形狀與大小不變，對應(yīng)邊與對應(yīng)角相等。在此基礎(chǔ)上，教師可以再準(zhǔn)備一些學(xué)生平時(shí)比較頭疼的折疊類數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)。

例如，有這樣一道題：如圖1沿矩形ABCD的對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折疊后重合部分的面積。學(xué)生通過實(shí)際折紙操作會(huì)更直觀地理解折疊過程中的變與不變，歸納出重合部分實(shí)際上就是以折痕為底邊的等腰三角形，并將其應(yīng)用到解題中。

六、打開學(xué)科視角，邏輯推理

打開學(xué)科視角是指教師可以把數(shù)學(xué)教學(xué)與其他學(xué)科結(jié)合起來，打破不同學(xué)科間的邊界，創(chuàng)造性地將其他學(xué)科的知識點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法作為素材引入數(shù)學(xué)課堂。這種學(xué)科之間相互交叉滲透的方式，一方面可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，幫助學(xué)生鞏固多學(xué)科知識，另一方面可以促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科的知識學(xué)習(xí)之間的共性，有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

例如，在教學(xué)人教版初中數(shù)學(xué)九年級下冊“反比例函數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師可以將其與初中物理結(jié)合起來，為學(xué)生播放關(guān)于電流電阻實(shí)驗(yàn)的視頻，讓學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析電流與電阻之間的關(guān)系。通過對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的歸納與分析，學(xué)生得出在同一電路中，通過某段導(dǎo)體的電流與這段導(dǎo)體的電阻成反比，從而建構(gòu)出反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

同時(shí)，電流、電壓、電阻、功率等參數(shù)間存在著多種換算關(guān)系，涉及多種數(shù)學(xué)模型，這都是教師在數(shù)學(xué)課堂上可以引入和拓展的內(nèi)容。需要注意的是，教師一定要保持?jǐn)?shù)學(xué)課堂的出發(fā)點(diǎn)，不能把重點(diǎn)放在物理實(shí)驗(yàn)上。教師可以通過播放物理實(shí)驗(yàn)視頻或者出示數(shù)據(jù)的方式讓學(xué)生進(jìn)行分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，打造新穎高效的初中數(shù)學(xué)課堂。

（作者單位：

江蘇省南通中學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校）