關(guān)欣 陳剛

1) (太原學(xué)院材料與化學(xué)工程系,太原 030032)

2) (山西大學(xué)激光光譜研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

3) (山西大學(xué)極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

4) (鄭州大學(xué)物理學(xué)院,鄭州 450001)

拓撲無能隙系統(tǒng)作為不同量子相的連接,目前已經(jīng)成為備受關(guān)注的前沿科學(xué).超導(dǎo)量子電路作為一個重要的全固態(tài)量子器件是宏觀調(diào)控量子效應(yīng)的優(yōu)秀平臺.本文在超導(dǎo)量子電路中構(gòu)建了雙鏈的Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型并發(fā)現(xiàn)了拓撲非平庸的節(jié)點.首先設(shè)計了電容耦合的雙鏈transmon 比特,之后用兩個交流微波驅(qū)動每一個transmon 比特,從而實現(xiàn)比特間耦合強度的獨立調(diào)控,最后通過選擇比特間合適的耦合參數(shù)實現(xiàn)交錯的雙鏈SSH 模型.接下來探索了交錯雙鏈SSH 模型的拓撲性質(zhì),首先計算了k 空間中雙鏈SSH 模型的本征能量,并發(fā)現(xiàn)了兩種類型的相邊界.之后在參數(shù)空間中畫出了拓撲相圖,發(fā)現(xiàn)了兩類拓撲絕緣相,其拓撲數(shù)分別為1 和—1,對應(yīng)有兩類邊界態(tài).拓撲相圖也進一步給出了兩類相邊界的分布以及它們兩側(cè)拓撲數(shù)的值.最后分析了兩類相邊界的拓撲性質(zhì),發(fā)現(xiàn)其中一類拓撲相邊界對應(yīng)的能帶有兩個拓撲非平庸的節(jié)點.本文的工作為探索鏈條型物理系統(tǒng)、拓撲物態(tài)以及節(jié)點型拓撲半金屬提供了新的途徑.

1 引言

近年來,微納米技術(shù)的快速發(fā)展使得全固態(tài)量子器件超導(dǎo)量子電路成為了量子信息[19-22]、量子計算[23-26]以及量子模擬[27-34]的優(yōu)秀平臺.相比于其他量子平臺,超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)在擴展性、集成性、調(diào)控性等方面都具有更大的優(yōu)勢[35-38].基于這些優(yōu)勢,大量的量子模擬工作已經(jīng)在超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中實現(xiàn),如多體局域化[28]、動力學(xué)量子相變[27]、磁性物理[29,30]、量子行走[39]以及拓撲材料[31,32]等.最近,實驗[40]上已經(jīng)實現(xiàn)了由24 個最近鄰耦合的transmon 比特構(gòu)造的雙鏈結(jié)構(gòu),并模擬出了雙鏈玻色-哈伯德模型,進一步探索了系統(tǒng)中單激發(fā)和雙激發(fā)的動力學(xué)特性.同時,實驗[41,42]中實現(xiàn)了transmon 比特之間耦合強度的獨立可調(diào),并且模擬出了單鏈的Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型,進一步觀測到了拓撲非平庸的磁子絕緣體[31].因此,基于目前的實驗現(xiàn)狀,可以通過改變雙鏈transmon 比特間的耦合強度在超導(dǎo)量子電路中實現(xiàn)雙鏈SSH 模型.

基于以上的實驗及理論工作,本文提出了利用transmon 比特實現(xiàn)耦合強度獨立可調(diào)的雙鏈SSH 模型的可行性實驗方案,并在這一模型中發(fā)現(xiàn)了拓撲非平庸的節(jié)點.本文首先設(shè)計了電容耦合的雙鏈transmon 比特,然后用兩個交流微波驅(qū)動每一個transmon 比特,從而實現(xiàn)比特間耦合強度的獨立調(diào)控,最后通過改變比特間耦合參數(shù)實現(xiàn)交錯耦合的雙鏈SSH 模型.接下來探索雙鏈SSH 模型的拓撲性質(zhì),首先計算k空間中雙鏈SSH 模型的本征能量,并發(fā)現(xiàn)了兩種類型的相邊界.之后在參數(shù)空間中畫出拓撲相圖,發(fā)現(xiàn)了兩類拓撲絕緣相,拓撲數(shù)分別為1 和—1,對應(yīng)有兩類邊界態(tài).拓撲相圖也進一步給出了兩類相邊界的分布以及它們兩側(cè)拓撲數(shù)的值.最后分析了兩類相邊界的拓撲性質(zhì),將布洛赫態(tài)映射為k空間的矢量場,發(fā)現(xiàn)第一類相邊界對應(yīng)能帶的節(jié)點處,矢量場存在兩個扭結(jié).兩個節(jié)點有相反的拓撲荷分別為1 和—1,并且受到平移和反轉(zhuǎn)對稱性的保護.另外,本文發(fā)現(xiàn)第二類相邊界的能帶節(jié)點是拓撲平庸的.本文的工作為探索鏈條型物理系統(tǒng)、拓撲物態(tài)以及節(jié)點型拓撲半金屬提供了新的途徑.

2 理論模型

目前,雙鏈耦合的超導(dǎo)量子比特鏈已經(jīng)在實驗上實現(xiàn)[40].基于這一實驗,本文用transmon 比特設(shè)計了雙鏈的Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型.如圖1(a)所示,兩條比特鏈中所有最近鄰比特之間都通過電容進行耦合,相應(yīng)的拉氏量表示為

圖1 雙鏈SSH 模型 (a) 兩條transmon 比特鏈分別標記為A 和B.每個transmon 比特都與其最近鄰比特兩兩耦合.這里所有的耦合器均為電容. Q νj 表示的是第ν 條鏈上的第j 個比特. C νj 和分別是第ν 條鏈上,第j 個比特的有效電容和約瑟夫森能.Cνij 是耦合第ν 條鏈上,第i 和第j 個比特的電容. C ABj 表示A,B 兩條鏈上第j 個比特之間耦合的電容. φ νj 是第ν 條鏈上,第j 個比特的約瑟夫森結(jié)的相位.本文中transmon 比特的約瑟夫森結(jié)由超導(dǎo)量子干涉儀(SQUID)形成,是SQUID 中每個約瑟夫森結(jié)的能量.每個比特都受到兩個外加磁通的調(diào)制.(b) 雙鏈SSH 模型示意圖,圖中紅色和藍色的實心球表示SSH 模型中一個原胞的兩種比特Fig.1.Two-leg SSH model: (a) Two-leg (labeled respectively by A and B) superconducting circuits with transmon qubits.The qubits are coupled with their nearest-neighbor sites.All couplers are capacitors. C νj andare the effective capacitance and the Josephson energy of the qubit at the jth site on the ν th leg. C νij and C ABj are the capacitors to couple the qubits at the jth site on the ν th leg with its nearest-neighbor sites along each leg and between the legs,respectively. φ νj is the phase of the Josephson junction of the qubit at the jth site on the ν th leg.The Josephson junction of the transmon qubit is a superconducting quantum interference device(SQUID).is the Josephson energy of SQUID.Each qubit is modulate by two external magnetic fluxesand

式中,每條鏈上比特的位置用j標記,不同的鏈用ν=A/B來標記.第ν條鏈上,第j個比特的電容用Cνj來表示.第ν條鏈上,第j個比特的約瑟夫森能用表示.第ν條鏈上,第i和第j個比特之間耦合的電容用Cνij表示.A,B兩條鏈上第j個比特之間耦合的電容用CABj表示.第ν條鏈上,第j個比特中約瑟夫森結(jié)的相位用φνj表示,φ0=1/(2e)是其量子化單位.〈i,j〉是每條鏈上最近鄰比特的求和.如果選擇為正則坐標,相應(yīng)的正則動量可以表示為

為了實現(xiàn)雙鏈SSH 模型,需要調(diào)節(jié)比特間的耦合強度,本文利用兩個交流微波對每個transmon比特進行驅(qū)動.實驗上可以通過磁通偏置線實現(xiàn)這種驅(qū)動[41,42].如圖1(a)所示,將transmon 比特的約瑟夫森結(jié)替換成超導(dǎo)量子干涉儀(SQUID).將兩個獨立可控的交流磁通設(shè)置在SQUID 的回路中

3 拓撲相圖

式中ε(k)=(εx,εy,εz) ,其中εx=(t1+t2)cos(k)+1,εy=(t1-t2)sin(k),εz=0 .是三維泡利算符.k空間中的能譜可以通過對角化哈密頓量(28)式得到:

討論 SPT多好發(fā)于30歲左右的年輕女性[4]。Papavramidis等[5]的一組大數(shù)據(jù)中97.8%的患者為女性，平均年齡為22歲。Yu等[6]報道中國人SPT患者男女比例為1∶8.37，平均年齡27歲，本組患者女性占85.19%，平均年齡為30歲，與文獻報道結(jié)果相符。

由(29)式可知,能譜的兩個能帶會在ε±=0時發(fā)生簡并.當ε±=0 時有:

其中kc是能帶簡并點的波矢.通常情況下,參數(shù)空間中能帶簡并點兩側(cè)的拓撲性質(zhì)會發(fā)生變化.由(30)式和(31)式可知,根據(jù)kc的不同取值,拓撲相邊界可以分為兩類.第一類是當kc/=0 時,有t1=t2以 及 c os(kc)=-1/(2t2) .第二類是當kc=0 時,即 s in(kc)=0 時,有 c os(kc)=-1/(t1+t2) .那么,可以得到第一類相邊界:

第一類相邊界的能帶有兩個節(jié)點±kc.第二類相邊界的能帶有一個節(jié)點kc=π 或kc=0 .兩類相邊界有兩個交點,為t1=t2=±1/2 .本文將兩類相邊界以及交點t1=t2=±1/2 上對應(yīng)的能帶圖畫在了圖2中,可以更直觀地看到第一類相邊界對應(yīng)能帶的兩個節(jié)點(圖2(a))以及第二類相邊界對應(yīng)能帶的一個節(jié)點(圖2(b)).另外,第一類相邊界能帶的兩個節(jié)點在相邊界交點處相遇,變?yōu)橐粋€節(jié)點(圖2(c)).

圖2 雙 鏈SSH 模型的能譜圖 (a) t1=t2=1.5 ;(b) t1=-1.5 和t2=0.5 ;(c)t1=t2=-0.5Fig.2.Energy bands of SSH model: (a) t1=t2=1.5 ;(b) t1=-1.5 and t2=0.5 ;(c) t1=t2=-0.5 .

接下來,進一步探索相邊界兩側(cè)的拓撲性質(zhì).首先需要計算拓撲不變量.本文中,由于哈密頓量有PT 對稱性,因此根據(jù)Altland-Zirnbauer拓撲分類[44],能帶的拓撲不變量為繞數(shù):

根據(jù)拓撲不變量N的分布,圖3 給出了參數(shù)空間中的相圖.圖中紅色實線標記的是第一類相邊界((32)式),發(fā)現(xiàn)相邊界兩側(cè)的拓撲不變量分別為—1 和1.這表明第一類相邊界的兩側(cè)區(qū)域中,能帶都是拓撲非平庸的,并且兩側(cè)區(qū)域的拓撲不變量之差為2.黑色實線標記的是第二類相邊界((33)式),邊界兩側(cè)的拓撲不變量分別為0 和1 或0 和—1.這表明第二類相邊界兩側(cè)中總有一側(cè)是拓撲平庸的,另一側(cè)是拓撲非平庸的,并且兩側(cè)區(qū)域的拓撲不變量之差為1.

圖3 雙 鏈SSH 模型在參數(shù)空間 t1-t2 中的拓撲相圖.深綠色的區(qū)域是拓撲數(shù) N =-1 的區(qū)域,淺咖色的區(qū)域是拓撲數(shù) N =1 的區(qū)域,淺綠色的區(qū)域是拓撲數(shù) N =0 的區(qū)域;紅色的線標記的是第一類相邊界,黑色的線標記的是第二類相邊界Fig.3.Topological phase diagram in the t1-t2 plane.The bottle green,light coffee color and pale green areas indicate the areas with N =-1,N =1 and N =0 respectively.N denotes the winding number.The red and black lines indicate the first and second phase boundaries respectively.

接下來進一步討論開邊界條件下相圖中不同區(qū)域的特性.根據(jù)體邊對應(yīng)原理[45,46],當體態(tài)表現(xiàn)為拓撲非平庸時,邊界態(tài)是沒有能隙的.因此,圖3中的拓撲非平庸區(qū)域在開邊界條件下其能帶會出現(xiàn)準0 能模.為了證明這點,圖4 給出出了開邊界條件下的能帶圖以及相應(yīng)的波函數(shù).圖4(a1)是N=1時對應(yīng)的能帶,可以看出,在能量0 點處出現(xiàn)了兩個簡并的能隙閉合點.相應(yīng)的波函數(shù)ψα(j)畫在圖4(b1)中,可以看出其呈指數(shù)地局域在系統(tǒng)的邊界上,這正是拓撲相在開邊界條件下的一個顯著特征.圖4(a2)和圖4(b2)是N=-1 時對應(yīng)的能帶及波函數(shù),它們與圖4(a1)和圖4(b1)有相同的特征.圖4(a3)和圖4(b3)是N=0,也就是拓撲平庸時對應(yīng)的能帶及波函數(shù),可以發(fā)現(xiàn)此時0 能簡并消失,出現(xiàn)能隙,并且波函數(shù)沒有邊界局域的特征.

圖4 開邊界能帶和邊界態(tài) (a1) t1=1.5 和 t2=0.5 ;(a2) t1=0.5 和 t2=1.5 ;(a3) t1=0.5 和 t2=0.3 .(b1 )—(b3 )是(a1)—(a3)中第20 個能帶的波函數(shù)Fig.4.Energy bands with open boundary condition with (a1 ) t1=1.5 and t2=0.5 ;(a2 ) t1=0.5 and t2=1.5 ;(a3 )t1=0.5 and t2=0.3 .The wave functions corresponding with the 20th energy bands of (a1 ),(a2 ),and (a3 ) are plotted in (b1 ),(b2),and (b3),respectively.

4 節(jié)點的拓撲特性

由上文知,系統(tǒng)存在兩種類型的相邊界.可以發(fā)現(xiàn),這兩類相邊界最顯著的不同是,第一類相邊界兩側(cè)的相區(qū)域都是拓撲非平庸的且拓撲數(shù)相差2;第二類相邊界兩側(cè)的相區(qū)域總有一側(cè)是拓撲平庸的,另一側(cè)拓撲非平庸且兩側(cè)拓撲數(shù)相差1.那么這兩類相邊界是否有不同的拓撲性質(zhì)呢? 本節(jié)將討論這個問題.

由哈密頓量(29)知,ε在布洛赫球的x-y平面上的軌跡為一個正橢圓:

對于第3 節(jié)中拓撲數(shù)為1 和—1 的相區(qū)域,該橢圓運動軌跡的旋轉(zhuǎn)方向相反但均將原點 (0,0) 包含在橢圓內(nèi)部(圖5(a)和圖5(b)).而對于拓撲數(shù)為0 的相區(qū)域,該橢圓始終沒有將原點 (0,0) 包含在橢圓內(nèi)部(圖5(c)).布洛赫球上的原點正是上文中得到的能級簡并點.這與第3 節(jié)得到的結(jié)論是一致的.那么,當參數(shù)取在相邊界上時,橢圓軌跡會有怎樣的變化呢? 對于第一類相邊界,參數(shù)滿足(30)式,橢圓軌跡方程(35)變?yōu)椴悸搴涨騲軸上的線段(圖5(d)):

圖5 不同參數(shù)下 ε 在布洛赫球的 x -y 平面上的軌跡 (a)拓撲數(shù) N =1 時 ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為 t1=1.5 和 t2=0.5 ;(b)拓撲數(shù) N =-1 時 ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為 t1=0.5和t2=1.5 ;(c)拓撲數(shù) N =0 時 ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為 t1=1 和t2=-0.7 ;(d)參數(shù)滿足第一類相邊界 t1=t2 時 ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為 t1=t2=1 ;(e)參數(shù)滿足第二類相邊界t1+t2=1 時 ε 的軌跡,參數(shù)設(shè)定為t1=0.8 和 t2=0.2 ;(f)參數(shù)滿足第二類相邊界 t1+t2=-1 時 ε 的軌 跡,參 數(shù)設(shè)定為 t1=-1.3和t2=0.3 .圖中紅點表示原點,箭頭表示軌跡的運動方向Fig.5.The curve of the vector ε in x -y plane of the Bloch sphere with (a) t1=1.5 and t2=0.5 ;(b) t1=0.5 and t2=1.5 ;(c) t1=1 and t2=-0.7 ;(d) t1=t2=1 ;(e) t1=0.8 and t2=0.2 ;(f) t1=-1.3 and t2=0.3 .The red points and arrows indicate the origin points and direction of the curve respectively.

顯然,這是一個以 (1,0) 為平衡位置,4|t1|為振幅的簡諧振動.對于第二類相邊界,參數(shù)滿足(31)式,橢圓軌跡(35)式仍為一個正橢圓(圖5(e),(f)):

該橢圓的半軸長度分別為1和|2t1±1|,并且可以注意到,該橢圓會經(jīng)過原點 (0,0) .至此可以看到,ε在這兩類相邊界上有完全不同的運動軌跡.最重要的是,軌跡方程(36)在完成一個振動周期后會經(jīng)過兩次原點 (0,0),并且兩次運動軌跡的方向相反,而軌跡方程(37)在完成一個運動周期后只經(jīng)過了一次原點 (0,0) .從這里可以看出第一類相邊界上的能帶是拓撲非平庸的,而第二類相邊界上的能帶是拓撲平庸的.

接下來,分析拓撲相邊界的另一些拓撲特性.首先,在k空間定義一個三維的矢量場F(k) :

其中sgn(·)是符號函數(shù).可以看出,場F存在扭結(jié),扭結(jié)出現(xiàn)在kc=arccos(-1/2t1) 的位置,在第一布里淵區(qū) (-π,π] 中,kc有兩個取值.這兩個扭結(jié)正是第一類相邊界的能帶簡并點.兩個扭結(jié)的拓撲荷分別為1 和—1.為了直觀地看到場F的扭結(jié),圖6 給出了(40)式中自旋期待值隨k的變化.從這里也能夠判斷出,第一類相邊界上的兩個能帶簡并點(也稱為節(jié)點)是受到拓撲保護的.

圖6 參數(shù)設(shè)定為 t1=t2=1 (第一類相邊界上)時矢量F(k) 隨波矢k 的變化.圖中箭頭表示自旋的方向,kc 為能級簡并點處的波矢Fig.6.The variation of the vector F (k) as k changes with t1=t2=1 .The arrows and kc indicate the direction of the spin and degenerate energy point respectively.

對于第二類相邊界,即參數(shù)滿足|t1+t2|=1時,場矢量F(k) 為

此時場矢量F與k無關(guān),也就是說這時不存在扭結(jié).因此,這時的節(jié)點是拓撲平庸的.

至此,了解到只有第一類相邊界的能帶節(jié)點是受到拓撲保護的,因此在這一節(jié)點處一定有其獨有的對稱性.接下來討論這一問題.當系統(tǒng)處在第一類相邊界時,參數(shù)滿足t1=t2.這時系統(tǒng)不再是雙鏈SSH 模型,而變成了兩條完全相同的比特鏈.這時會出現(xiàn)兩個雙鏈SSH 模型中沒有的對稱性.這兩個對稱性分別用一步平移算符和子格子反演算符來刻畫.這兩個算符的作用分別為

由上文知,節(jié)點出現(xiàn)在波矢為kc的位置,對應(yīng)的能量簡并本征態(tài)為

這些本征態(tài)滿足:

這說明本文第一類相邊界的節(jié)點受到一步平移對稱性和子格子反演對稱性的保護.

5 結(jié)論

本文提出了利用transmon 比特實現(xiàn)耦合強度獨立可調(diào)的雙鏈SSH 模型的可行性實驗方案,發(fā)現(xiàn)了拓撲絕緣體和兩類不同拓撲性質(zhì)的相邊界.構(gòu)建模型時,本文首先設(shè)計了電容耦合的雙鏈transmon 比特,然后用兩個交流微波驅(qū)動每一個transmon 比特,從而實現(xiàn)比特間耦合強度的獨立調(diào)控,最后通過改變比特間耦合參數(shù)實現(xiàn)交錯的雙鏈SSH 模型.雙鏈SSH 模型是探索拓撲物態(tài)的重要模型之一,本文提供了一種構(gòu)建雙鏈SSH 模型的新途徑.接下來探索了交錯雙鏈SSH 模型的拓撲性質(zhì),首先計算了k空間中雙鏈SSH 模型的本征能量,并發(fā)現(xiàn)了兩種類型的相邊界.之后在參數(shù)空間中畫出了拓撲相圖,發(fā)現(xiàn)了兩類拓撲絕緣相,其拓撲數(shù)分別為1 和—1,對應(yīng)有兩類邊界態(tài).拓撲相圖也進一步給出了兩類相邊界的分布以及它們兩側(cè)拓撲數(shù)的值.最后分析了兩類相邊界的拓撲性質(zhì).本文將布洛赫態(tài)映射為k空間的矢量場,發(fā)現(xiàn)第一類相邊界兩個能帶節(jié)點處的矢量場有兩個扭結(jié).兩個節(jié)點的拓撲荷分別為1 和—1,并且受到平移和反轉(zhuǎn)對稱性的保護.另外,本文發(fā)現(xiàn)第二類相邊界的能帶節(jié)點處的矢量場不存在扭結(jié),節(jié)點是拓撲平庸的.本文的結(jié)果填補了超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中實現(xiàn)雙鏈SSH 模型的空白,并為探索鏈條型物理系統(tǒng)、拓撲物態(tài)以及節(jié)點型拓撲半金屬提供了新的途徑.