肖勇 曹雨生

(寧夏大學(xué)物理學(xué)院,銀川 750021)

光波導(dǎo)模式分析是先進(jìn)波導(dǎo)器件和光波線路設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)基本任務(wù).如何處理電磁異質(zhì)界面和吸收邊界問題是光波導(dǎo)高效數(shù)值分析面對的兩大困難.現(xiàn)有高階精度有限差分模式分析方法均未考慮吸收邊界條件,導(dǎo)致漏模和輻射模難以精確模擬.本文基于浸入界面方法和完美匹配層吸收邊界條件,提出一種具有二階和四階精度的有限差分方法.利用該方法對單界面等離子波導(dǎo)、平面對稱波導(dǎo)和一維光子晶體波導(dǎo)進(jìn)行模式分析,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明二階和四階算法對于導(dǎo)模、漏模和輻射模的收斂速度均與期望的階數(shù)相符,二階算法約在歸一化步長 10-4 時(shí)提供有效折射率相對誤差約為 10-9 的極限精度,四階算法約在歸一化步長10-3時(shí)提供有效折射率相對誤差約為 10-10 的極限精度.對一維光子晶體波導(dǎo)中導(dǎo)模和包層模場分布進(jìn)行的研究表明,界面處橫電模式的場及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù),橫磁模式的場的連續(xù)及其一階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù),均可以被精確解析.本文提出的方法只需利用折射率的值而不依賴于模場的特定函數(shù)表示,即可用于計(jì)算任意折射率剖面下的任意模式,為階躍折射率平面波導(dǎo)模式分析提供一種簡單而高效的工具.

1 引言

電磁異質(zhì)結(jié)構(gòu)對于集成光學(xué)和光纖光學(xué)中多數(shù)光子器件功能的實(shí)現(xiàn)至關(guān)重要.在先進(jìn)波導(dǎo)器件和光波線路的設(shè)計(jì)中,光波導(dǎo)模式的全矢量求解是一項(xiàng)基本任務(wù)[1-3].在各種數(shù)值方法中,有限差分法(finite-difference method,FDM)易于實(shí)現(xiàn)而被普遍用于波導(dǎo)模式分析[4,5].有限差分法一般通過求解稀疏矩陣本征值問題可同時(shí)高效地確定多個(gè)模式的傳播常數(shù)以及模場.波導(dǎo)存在折射率跳變的界面,導(dǎo)致模場及其導(dǎo)數(shù)一般是不連續(xù)的.標(biāo)準(zhǔn)有限差分法基于微分方程的解及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,直接應(yīng)用于界面問題時(shí),會(huì)降低差分格式的精度.針對界面問題的高精度有限差分求解,LeVeque 和Li[6,7]提出了浸入界面方法(immersed interface method,IIM),該方法可以系統(tǒng)地生成所需精度的差分格式.Horikis 和Kath[8-10]將IIM 應(yīng)用于光波導(dǎo)模式分析,分別發(fā)展了具有任意截面形狀二維波導(dǎo)的二階精度算法以及光纖的二階和四階精度算法.在IIM 提出之前,Stern[11]利用泰勒級(jí)數(shù)展開模場然后匹配界面邊界條件的方法,來改進(jìn)階躍折射率光波導(dǎo)模式分析的有限差分法.模場展開和匹配邊界條件也是IIM 的兩個(gè)基本步驟,IIM 和Stern方法僅在差分格式的系數(shù)修正如何表示方面存在微小差異,IIM 將系數(shù)修正表示為矩陣方程的解,Stern 方法直接給出系數(shù)修正的解析表達(dá)式.在Stern 工作的基礎(chǔ)上,研究者經(jīng)過二三十年的努力,最終開發(fā)出了光波導(dǎo)的全矢量任意階精度模式求解器[12-18].高階格式提供更快的收斂速度,極大降低計(jì)算資源需求,提高計(jì)算精度.然而在現(xiàn)有波導(dǎo)模式分析的高階方法中,均未考慮吸收邊界條件,需要設(shè)置較大的計(jì)算區(qū)域以令導(dǎo)模的倏逝場衰減至可用硬壁截?cái)?而漏模則難以精確模擬.

本文針對階躍折射率平面波導(dǎo)模式的全矢量求解,采用IIM 和完美匹配層(perfectly matched layer,PML)[19,20]吸收邊界條件發(fā)展二階和四階精度的有限差分法,該方法對導(dǎo)模、漏模和輻射模均能高效模擬.本文的組織結(jié)構(gòu)為: 第2 節(jié)列出發(fā)展算法所需的解析方程;第3 節(jié)詳細(xì)推導(dǎo)二階精度有限差分格式,四階精度格式的推導(dǎo)與二階精度情形類似,主要結(jié)果羅列在附錄中;第4 節(jié)通過多種典型平面波導(dǎo)中各類模式的模擬,驗(yàn)證算法的有效性;第5 節(jié)給出結(jié)論.

2 基本方程

考慮如圖1 所示的多層平行平面系統(tǒng),每層填充各向同性介質(zhì).平行平面系統(tǒng)的模式分為橫電(transverse electric,TE)和橫磁(transverse magnetic,TM)偏振,非零場分量分別為(Ey,Hz,Hx)和 (Hy,Ez,Ex) .取時(shí)諧因子為 e-iωt,并令?/?y=0,TE 偏振滿足的場方程為

圖1 平面波導(dǎo)示意圖及坐標(biāo)系放置Fig.1.Depiction of a planar waveguide and layout of the coordinate system.

邊界條件為Ey和Hz在界面處連續(xù).TE 和TM 偏振有對偶關(guān)系,二者滿足的場方程和邊界條件在變換

下均互換.因此,可以先求解TE 偏振,TM 偏振的相應(yīng)結(jié)果直接由對偶關(guān)系獲得.

值得指出的是,經(jīng)典電磁學(xué)中沒有長度量綱的基本常數(shù),麥克斯韋方程滿足縮放不變性[21].這種縮放不變性在本問題中表現(xiàn)為,(5)式和(6)式中的空間坐標(biāo)x和電磁波長λ均可收縮入歸一化坐標(biāo).在將空間坐標(biāo)歸一化后,計(jì)算結(jié)果對于波導(dǎo)結(jié)構(gòu)和波長滿足相同比例關(guān)系的所有情形均適用.

3 算法

對于給定的平面波導(dǎo)結(jié)構(gòu),選取包含所有界面的計(jì)算區(qū)域,并用N個(gè)等間隔的格點(diǎn)將其離散,電場和磁場位于相同的格點(diǎn),如圖2 所示,其中豎線表示界面.記歸一化空間步長為h,格點(diǎn)i的歸一化坐標(biāo)為.對于一般的第i個(gè)格點(diǎn),用三點(diǎn)格式

圖2 計(jì)算區(qū)域離散Fig.2.Discretization of the computational domain.

近似波動(dòng)方程(6).

3.1 常規(guī)格點(diǎn)

若格點(diǎn)i及其 鄰近的兩個(gè)格點(diǎn)i-1 及i+1 均在同一介質(zhì)層內(nèi),則i為常規(guī)格點(diǎn),對二階導(dǎo)數(shù)取標(biāo)準(zhǔn)的中心差分格式近似將獲得二階精度,相應(yīng)的差分方程(7)的系數(shù)為

3.2 非常規(guī)格點(diǎn)

對于如圖2 所示的某一界面α兩側(cè)的格點(diǎn)j?和j?+1,三點(diǎn)格式跨越界面,由于E的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù),若依然采用(8)式作為差分方程(7)的系數(shù),則全局精度一般降為零階.格點(diǎn)j?和j?+1 稱為非常規(guī)格點(diǎn),相應(yīng)的系數(shù)C±1,0需要修正以獲得全局的二階精度.

采用IIM 獲得非常規(guī)格點(diǎn)處的修正系數(shù)C±1,0,需要E及其一階和二階導(dǎo)數(shù)在界面處的跳躍條件.引入記號(hào) [f]=0 表示函數(shù)f在界面處連續(xù),即f-=f+,其中“-”和“+”分別表示界面左側(cè)和右側(cè).邊界條件直接給出E的跳躍條件:

利用跳躍條件(9)—(11)式,將(14)式改寫為

將(12)式、(13)式、(15)式和(19)式代入(20)式,并令(20)式等號(hào)右邊O(h) 前的部分為零,得到

從中求得的C±1,0使得格點(diǎn)j?處的局域截?cái)嗾`差為T=O(h),即局域一階精度.由于界面比計(jì)算區(qū)域低一維,非常規(guī)格點(diǎn)具有局域一階精度即可以保證算法的全局二階精度[6].引入記號(hào)

類似地,可以求得非常規(guī)格點(diǎn)j?+1 處的修正系數(shù)C±1,0滿足的方程:將δ+-和μ+-的定義式(16)—(18)式中所有上標(biāo)“—”替換為“+”、“+” 替換為“—”得到δ-+和μ-+.

在上述非常規(guī)格點(diǎn)差分格式系數(shù)修正的推導(dǎo)中,未限制電磁參數(shù)是否為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)(介質(zhì)可具有增益或損耗),亦未限制其在界面兩側(cè)的跳躍量.因此對于任意電磁參數(shù)剖面的平面波導(dǎo),本文描述的方法均適用.

3.3 吸收邊界

波導(dǎo)的第一層和最后一層為開放介質(zhì)層,需要做電磁波的吸收處理以降低計(jì)算區(qū)域截?cái)鄮淼恼`差.PML 是目前計(jì)算電磁學(xué)中較為普遍采用的吸收邊界條件.Berenger[19]最初通過引入非物理分裂場的方式實(shí)現(xiàn)PML,而利用麥克斯韋方程在復(fù)平面上的解析延拓性質(zhì),通過復(fù)坐標(biāo)拖拽實(shí)現(xiàn)PML 的等價(jià)方式[20]在數(shù)學(xué)上更加優(yōu)美且易于擴(kuò)展至其他應(yīng)用場景.

電磁波被有效吸收后,在第一個(gè)格點(diǎn)和最后一個(gè)格點(diǎn)外應(yīng)用硬壁條件E=0 ,最終得到N×N的三對角矩陣本征值問題,利用稀疏矩陣技術(shù)可以高效地求得期望模式的有效折射率和電場分布.

3.4 高階精度和TM 偏振

算法可以自然地?cái)U(kuò)展至高階精度,附錄給出了四階精度的相應(yīng)公式.對TE 偏振的算法做對偶變換((4)式),即得TM 偏振的相應(yīng)結(jié)果.

4 算例

通過典型平面波導(dǎo),如單界面等離子波導(dǎo)、對稱波導(dǎo)和一維光子晶體波導(dǎo)的模式分析,驗(yàn)證算法的有效性.需要指出的是,本節(jié)算例中涉及的坐標(biāo)、厚度和步長均為相應(yīng)量乘以k0=2π/λ歸一化后的數(shù)值.簡單起見,僅考慮模式在最外層主要表現(xiàn)為倏逝波的情形.如圖3 所示,PML 吸收邊界可通過如下的實(shí)坐標(biāo)拖拽實(shí)現(xiàn):

圖3 PML 吸收邊界條件設(shè)置示意圖Fig.3.Schematic diagram of the setup of PML absorption boundary conditions.

其中“±”的“+”和“—”分別對應(yīng)左側(cè)和右側(cè)最外層,為相應(yīng)的物理界面位置,εr和μr為層中電磁參數(shù);αPML為坐標(biāo)拖拽后最外側(cè)場相對界面處場的比值,統(tǒng)一取為 10-8;neff,PML為待求模式有效折射率的估計(jì)值,或者為使得所有期望模式有效吸收的數(shù)值,例如取為有效折射率的最小估計(jì)值;?表示求復(fù)數(shù)的實(shí)部,用于處理漏模和輻射模.算例采用通信波長 1.55 μm 處典型電磁材料的參數(shù),如εAu=-104.2+3.7i,εair=1 ,εSi=12.25 ,εSiO2=1.96,材料的相對磁導(dǎo)率均取為1.

金屬和介質(zhì)構(gòu)成的單界面表面等離子波導(dǎo)中,TM 模式的有效折射率可由解析式給出:

對于金屬為金、介質(zhì)為空氣的情形,精確解為neff=1.00482710586+0.00017264861i.該波導(dǎo)中金屬層的折射率為nAu=0.18+10.21i,其含有較大的虛部,且與空氣層的折射率差異極大.三層平面對稱波導(dǎo)中,TE 模式的有效折射率由解析的特征方程

圖4 給出有效折射率的相對誤差

圖4 收斂曲 線,單界面波導(dǎo)(T Ms )和 對稱波導(dǎo)(TE1,2)模式Fig.4.Convergence curves: Modes of single interface waveguide (T Ms ) and symmetric waveguide (TE1,2).

與計(jì)算步長h的關(guān)系,其中所有材料層的歸一化厚度均為 1,單界面波導(dǎo)的neff,PML=1.004,對稱波導(dǎo)的neff,PML=1.05 .作為對比,圖中的虛線為理想的二階和四階收斂曲線.可以看出,對于三個(gè)模式,二階和四階算法的收斂速度均與期望的階數(shù)相符.計(jì)算誤差來源包含舍入誤差和截?cái)嗾`差.舍入誤差僅與計(jì)算機(jī)硬件(本文計(jì)算在CPU 主頻 3.40 GHz和雙精度下執(zhí)行)和計(jì)算操作次數(shù)有關(guān),步長越小則操作次數(shù)越多,誤差累積越大.對于穩(wěn)定的有限差分算法,截?cái)嗾`差隨步長減小而減小.在大步長和小步長區(qū)間,計(jì)算誤差分別由截?cái)嗾`差和舍入誤差主導(dǎo).兩種誤差相等的步長即對應(yīng)最優(yōu)步長,計(jì)算誤差降為極限值[22].二階算法約在步長h=10-4時(shí)提供約為 R E=10-9的極限精度;四階算法約在步長h=10-3時(shí)提供約為 R E=10-10的極限精度;進(jìn)一步減小步長將使舍入誤差超過模型截?cái)嗾`差.對于給定的步長,四階方法相對二階方法在數(shù)量級(jí)上降低誤差,而計(jì)算耗時(shí)至多僅增加約(5-3)/3≈67%.例如,h=9.3750×10-4時(shí),TE1模式在二階方法下 R E=6.7717×10-7,計(jì)算耗時(shí) 0.181 s;在四階方法下 R E=4.1112×10-11,計(jì)算耗時(shí) 0.244 s,計(jì)算耗時(shí)增加約 35 %.

常規(guī)有限差分法在處理界面問題時(shí)通常使用參數(shù)平滑或者平均方法.對于橢圓微分方程界面問題,不連續(xù)系數(shù)的調(diào)和平均方法比平滑方法更為精確,然而使用調(diào)和平均的有限差分法僅對滿足特定條件的一維橢圓界面問題提供二階精度[23].圖5給出電磁參數(shù)未做平均處理和施加調(diào)和平均處理兩種條件下,對稱波導(dǎo)中 TE1模式和單界面波導(dǎo)中TMs模式的收斂曲線. TE1模式的收斂速度在兩種處理下無論對于二階還是四階格式均降為一階,未做平均處理時(shí)收斂曲線抖動(dòng)劇烈,調(diào)和平均處理后收斂曲線趨于平穩(wěn),但誤差增加約1 個(gè)數(shù)量級(jí).對于 T Ms模式,兩種處理?xiàng)l件下二階和四階格式的精度均降為零階,且誤差水平基本一致,其中調(diào)和平均處理下的收斂曲線未在圖5 中給出.

圖5 收斂曲線,電磁參數(shù)未做處理(-non)和施加調(diào)和平均處理(-avg)Fig.5.Convergence curves: non-averaging (-non) and harmonic averaging (-avg) for electromagnetic parameters.

圖5 結(jié)果可解釋如下.對于TE 模式,三點(diǎn)式((7)式)僅在(9)—(11)式給出的電場跳躍條件全部滿足的情形下提供二階精度收斂.在介質(zhì)非磁時(shí),電磁參數(shù)未做處理使電場及其一階導(dǎo)數(shù)的跳躍條件滿足,而二階導(dǎo)數(shù)跳躍條件不滿足,因而給出一階收斂速度.此時(shí),五點(diǎn)式((A1)式)亦僅給出一階精度.電磁參數(shù)調(diào)和平均處理后,盡管收斂曲線的平穩(wěn)性得到改善,但由于電場一階導(dǎo)數(shù)的跳躍條件不再滿足,致使誤差上升.對于TM 模式,磁場的一階和二階導(dǎo)數(shù)的跳躍條件在電磁參數(shù)未做處理下均不滿足,三點(diǎn)式((7)式)和五點(diǎn)式((A1)式)只能給出零階精度.本文利用的IIM 方法精確匹配所需的跳躍條件,對TE 和TM 模式都能提供期望的收斂階.

考慮更為復(fù)雜,解析方法難于處理的一維光子晶體波導(dǎo).取波導(dǎo)堆疊為 A (LH)MC(HL)MA,其中低折射率層L 為二氧化硅,高折射率層H 為硅,芯層C 的介電常數(shù)εC=4,周圍介質(zhì)A 為空氣.算例取M=10 ,歸一化層寬wC=5,wL,H由1/4 波長堆疊條件給出:

其中h-1為小于h的臨近步長.計(jì)算取wA=1,neff,PML=1.5,有效折射率的相對誤差與步長的關(guān)系如圖6 所示.算法對包含 23 層介質(zhì)的一維光子晶體波導(dǎo)同樣有效,四階格式同樣約在步長h=10-3時(shí)給出約為 R E=10-10的精度.

圖6 收斂曲線: 一維光子晶體波導(dǎo)模式(TEc 為包層模式)Fig.6.Convergence curves: Modes of one-dimensional photonic crystal waveguide (TEc is cladding mode).

為了清楚地展示模場分布,令M=3 .圖7 給出了3 個(gè)模式在對稱軸左側(cè)的場分布,其中取了二階算法,步長h=1.688×10-2,其他計(jì)算參數(shù)不變.由圖可見,界面處TE 模式的場及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù),TM 模式的場的連續(xù)及其一階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù),均可以被精確解析.

圖7 模場分布: 一維光子晶體波導(dǎo),豎直虛線標(biāo)示界面位置Fig.7.Distribution of modal fields: One dimensional photonic crystal waveguide,with dashed lines indicating the positions of interfaces.

5 結(jié)論

針對平面波導(dǎo)的高效模式分析問題,本文基于浸入界面方法和完美匹配層吸收邊界條件,提出一種具有二階和四階精度的全矢量計(jì)算方法.本方法只需利用取樣點(diǎn)上折射率的值而不依賴于模場的特定函數(shù)展開形式,對于任意折射率剖面下的任意模式(導(dǎo)模、漏模和輻射模)均能簡單而高效求解.算法不僅可進(jìn)一步向高階擴(kuò)展,且其技術(shù)框架亦可應(yīng)用于其他波動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)值模擬中界面問題和吸收邊界條件的處理.

附 錄

本附錄羅列TE 偏振模式的四階精度公式.對于一般的第i個(gè)格點(diǎn),用五點(diǎn)格式

近似波動(dòng)方程(6).

電場E的三階和四階導(dǎo)數(shù)的跳躍條件為

引入中間函數(shù)

將(22)式擴(kuò)展為