陳 靜，周根苗，易 烜，許冰冰，呂 勇

（1.中南林業(yè)科技大學(xué) 林學(xué)院，湖南 長沙 410004；2.湖南省農(nóng)林工業(yè)勘察設(shè)計(jì)研究總院，湖南 長沙 410007；3.湖南省青羊湖國有林場(chǎng)，湖南 寧鄉(xiāng) 410600；4.福建省林業(yè)勘察設(shè)計(jì)院，福建 福州 350001）

森林蓄積量是指一定森林面積上存在著的林木樹干部分的總材積，是反映森林生長情況和森林生態(tài)活力的指標(biāo)，一般可以通過構(gòu)建立木材積模型編制立木材積表進(jìn)行森林蓄積量預(yù)估。我國常用的立木材積表包括一元材積表和二元材積表[1-3]，分別為基于胸徑或樹高和胸徑的立木材積模型[4-6]。由我國農(nóng)林部頒布的二元立木材積表[7]至今已有40 多年，與編表時(shí)相比，現(xiàn)全國森林資源結(jié)構(gòu)已發(fā)生很大的變化，當(dāng)前的森林資源情況可能不再適用于原頒布的二元立木材積表[6]。

隨著統(tǒng)計(jì)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的快速發(fā)展，考慮到生境復(fù)雜性對(duì)樹木生長的影響，越來越多的學(xué)者采用更復(fù)雜的模型來預(yù)估活立木材積，以期提高模型的精度與適用性。近年來，學(xué)者們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐中普遍認(rèn)為山本材積式適用性好、精度高、應(yīng)用廣[8]。有學(xué)者以山本式為基礎(chǔ)模型，考慮到胸徑和樹高的變化率，如黃四南等[9]、陳怡[10]構(gòu)建的可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型提升了原模型精度。此外，啞變量模型和混合效應(yīng)模型在林業(yè)中都有成功的應(yīng)用[11-13]，如曾偉生等[14]將樹種和區(qū)域作為隨機(jī)效應(yīng)變量、啞變量，構(gòu)建線性混合模型和啞變量模型比總體平均模型的精度要高；趙浩彥等[15]運(yùn)用多元非線性混合模型構(gòu)建南京地區(qū)馬尾松材積模型，與山本式二元材積模型相較擬合精度更高。陳振雄等[16]考慮分枝數(shù)、區(qū)域、品系為隨機(jī)變量，構(gòu)建海南省橡膠樹立木材積混合效應(yīng)模型，明顯優(yōu)于常規(guī)模型?？梢钥闯觯诓煌母倪M(jìn)方法的山本式二元材積模型與其常規(guī)模型相比較，改進(jìn)模型的擬合效果更好，精度更高。

杉木Cunninghamialanceolata是我國南方人工造林的重要樹種，水平分布在我國整個(gè)亞熱帶、熱帶北緣等氣候區(qū)的19 個(gè)?。▍^(qū)、市），垂直分布在海拔130～2 900 m 的丘陵山地[17]，較喜光，喜溫暖濕潤，是湖南省的主要造林樹種之一。根據(jù)第九次全國森林資源清查顯示，按優(yōu)勢(shì)樹種分，杉木人工林面積和蓄積量位居前10 位，相較于第八次森林資源清查，杉木面積名次有所上升[18]。為精確估算湖南省杉木的材積量，針對(duì)現(xiàn)有湖南省杉木二元立木材積模型存在誤差的問題，本研究以湖南省杉木為對(duì)象采集數(shù)據(jù)，以山本材積式為基礎(chǔ)模型構(gòu)建可變參數(shù)模型；以區(qū)域因素為隨機(jī)變量、啞變量構(gòu)建啞變量模型和混合效應(yīng)模型，為找到適用于湖南省杉木的二元立木材積模型提供理論依據(jù)。

1 研究區(qū)概況

湖南省位于長江中游（24°38＇～30°08＇N，108°47＇～114°15＇E），總面積約21.18×104km2。湖南屬亞熱帶季風(fēng)氣候，大陸性亞熱帶季風(fēng)濕潤氣候帶，主要為山地和丘陵，以紅壤和黃壤為主。湖南省森林資源豐富，森林覆蓋率為59.7%，林業(yè)用地面積為129.98×105hm2，約占全省國土總面積的61.4%，活立木總蓄積量5.05 億m3。境內(nèi)現(xiàn)有高等植物5 000 多種，其中木本植物1 900 多種，主要樹種包括馬尾松Pinusmassoniana、杉木、樟樹Cinnamomumcamphora、檫樹Sassafrastsumu、栲Castanopsisfargesii等[19]。杉木人工林面積占全國人工喬木林總面積的1/4 和總蓄積量的1/3。其中，湖南省杉木人工林面積和蓄積量分別占全省的33%和41%[20]。

2 材料與方法

2.1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)來源于湖南省杉木人工林的調(diào)查數(shù)據(jù)，樣地大小約為667 m2，數(shù)據(jù)采集于湖南省常德、郴州、衡陽、永州、邵陽、湘西州和益陽，共1 002 個(gè)樣地，采用3 倍標(biāo)準(zhǔn)差法剔除異常數(shù)據(jù)，剔除異常數(shù)據(jù)后為973 株杉木標(biāo)準(zhǔn)木，按3∶1 比例選取729 株標(biāo)準(zhǔn)木數(shù)據(jù)為建模數(shù)據(jù)，244 株標(biāo)準(zhǔn)木數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分布情況如表1 所示，解析木按徑階與樹高級(jí)大小的分配情況如圖1 和圖2 所示。

圖1 解析木株數(shù)按胸徑大小的分配情況Fig.1 The distribution of trees by DBH

表1 樣木基本情況Table 1 Basic information of the sample woods

2.2 標(biāo)準(zhǔn)木材積計(jì)算

1）中央斷面積區(qū)分求積法：

將樹干按一定長度（通常1 m 或2 m）分段，量出每段中央直徑和最后不足一個(gè)區(qū)分段梢頭底端直徑。

當(dāng)把樹干區(qū)分為n個(gè)分段，利用中央斷面近似求積式求算各分段的材積，其總材積為：

式中：gi為第i區(qū)分段中央面積；g＇為梢頭底端斷面積；l為各區(qū)分段的長度；l＇為梢頭長度；n為區(qū)分段個(gè)數(shù)。

2）現(xiàn)有湖南省杉木立木材積模型[9]

式中：c0、c1、c2為參數(shù)，其中c0=0.000 058 777 042，c1=1.969 983 1，c2=0.896 461 57。

2.3 研究方法

2.3.1 配對(duì)t 檢驗(yàn)法

采用配對(duì)t檢驗(yàn)來比較原二元立木材積與實(shí)際材積的2 組數(shù)據(jù)是否存在差異性。采用SPSS 23.0軟件對(duì)2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

2.3.2 固定參數(shù)模型

對(duì)于主干材積而言，山本材積式最適合湖南省杉木材積的計(jì)算，能較好地反映干性、胸徑和樹高對(duì)材積的影響，因此，選山本式為基礎(chǔ)模型，模型的結(jié)構(gòu)式為[8]：

式中：V為材積，D為胸徑，c0、c1、c2為模型參數(shù)。

2.3.3 可變參數(shù)模型

樹干的材積不僅與胸徑和樹高這2 個(gè)變量有關(guān)，還與胸徑和樹高的表現(xiàn)形式有關(guān)，也與模型中的參數(shù)是否可變有關(guān)。因此，為了提高二元立木材積模型的預(yù)估精度，將山本式中的參數(shù)設(shè)計(jì)成胸徑和樹高相關(guān)的函數(shù)式，得到可變參數(shù)模型結(jié)構(gòu)如下[10]：

根據(jù)不同胸徑級(jí)與樹高級(jí)分別進(jìn)行擬合分析，將可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型設(shè)計(jì)如下：

式（5）中：V為材積，D為胸徑，H為樹高，c0、c1、c2、c3、c4為模型參數(shù)。

2.3.4 混合效應(yīng)模型

材積模型的建立可以采用混合模型的方法[14]，利用湖南省7 個(gè)地區(qū)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)直接建立木材積模型存在一定的偏差，立木材積模型的誤差大小可能與地區(qū)的氣候和溫度等因子有關(guān)。將區(qū)域作為隨機(jī)效應(yīng)變量構(gòu)建混合效應(yīng)模型?；旌闲?yīng)模型有2 種形式，一是線性混合效應(yīng)模型（Linear mixed effects model，LME），二是非線性混合效應(yīng)模型（Nonlinear mixed effects model，NLMES）[12]。

混合效應(yīng)的表達(dá)式如下：

式中；yi為第i個(gè)因變量向量；a為固定效應(yīng)參數(shù)向量；δi為隨機(jī)參數(shù)向量；xi為第i個(gè)自變量向量。

2.3.5 啞變量模型

材積模型的建立也可以采用啞變量模型的方法[14]。啞變量也稱虛擬變量，通常取值為0、1 或-1。將區(qū)域因子作為啞變量引入到湖南杉木立木材積再參數(shù)化模型中，處理時(shí)，將變量賦值來表示定性或分類變量[21]，即：

本研究將區(qū)域這個(gè)分類變量作為啞變量，郴州地區(qū)劃分為1 則其他地區(qū)劃分為0，構(gòu)建含區(qū)域啞變量的杉木立木材積模型。

2.3.6 異方差處理

由于立木材等數(shù)據(jù)存在異方差，在對(duì)模型參數(shù)求解時(shí)必須消除異方差的影響。通常采用加權(quán)回歸或者對(duì)數(shù)回歸法消除，本研究采用R 語言，運(yùn)用非線性回歸分析加權(quán)最小二乘法擬合二元材積方程。

2.4 模型精度評(píng)價(jià)

采用SPSS 23.0 等軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到模型參數(shù)，本研究采用確定系數(shù)（R2）、總相對(duì)偏差（TRB）、平均系統(tǒng)偏差（MSB）、均方根誤差（RMSE）、赤池信息準(zhǔn)則（AIC）及貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）等指標(biāo)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，計(jì)算公式如下：

式中：yi為第i樣本實(shí)測(cè)值，是第i樣本預(yù)估值，為平均實(shí)測(cè)值，p為模型中參數(shù)的個(gè)數(shù)，n為樣本數(shù)，l表示模型極大似然函數(shù)值。

3 結(jié)果與分析

3.1 配對(duì)t 檢驗(yàn)

采用SPSS 23.0 軟件對(duì)湖南省當(dāng)前使用的二元立木材積模型計(jì)算的材積值與中央斷面積計(jì)算的實(shí)測(cè)材積值進(jìn)行配對(duì)t檢驗(yàn)，具體的檢驗(yàn)結(jié)果如表2 所示。

表2 配對(duì)t 檢驗(yàn)結(jié)果Table 2 The paired t-test results

由表2 可以看出，P值（即Sig.）小于0.05，所以可以推翻原假設(shè)，即現(xiàn)有的湖南杉木材積模型計(jì)算值與實(shí)際材積計(jì)算值存在顯著差異。

3.2 湖南省現(xiàn)有杉木二元立木材積模型的調(diào)整

3.2.1 固定參數(shù)模型與可變參數(shù)模型的擬合結(jié)果

利用加權(quán)回歸分析法，以模型的倒數(shù)為權(quán)函數(shù)，使用R 語言的nls 函數(shù)對(duì)材積方程進(jìn)行擬合，得到固定參數(shù)模型與可變參數(shù)模型的擬合結(jié)果并對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，具體結(jié)果如表3～4 所示。如表3所示，模型的擬合結(jié)果良好，確定系數(shù)（R2）都在0.95以上，固定參數(shù)模型與可變參數(shù)模型的均方根誤差（RMSE）無顯著差異，總相對(duì)偏差（TRB）與平均系統(tǒng)偏差（MSB）均在±3%范圍內(nèi)，可變參數(shù)模型的總相對(duì)偏差與平均系統(tǒng)偏差趨近于0，相對(duì)來說，可變參數(shù)模型相較于固定參數(shù)模型，擬合效果更好。通過分徑階對(duì)模型進(jìn)一步檢驗(yàn)，結(jié)果如表4 所示，從整體上看，固定參數(shù)模型和可變參數(shù)模型的總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差都在±3%范圍內(nèi)；在24 cm 徑階固定參數(shù)模型的總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差高達(dá)±7%，而可變參數(shù)模型徑階的偏差相對(duì)較小，在大徑階和小徑階的效果更為明顯，基本都優(yōu)于固定參數(shù)模型。

表3 固定參數(shù)模型與可變參數(shù)模型擬合結(jié)果Table 3 Fitting results of the fixed parameter model and variable parameter model

表4 固定參數(shù)模型與可變參數(shù)模型分徑階檢驗(yàn)結(jié)果Table 4 Diameter order test results of fixed parameter model and variable parameter model

為了進(jìn)一步了解固定參數(shù)模型與可變參數(shù)模型的差異，分別建立了比較圖與殘差圖，如圖3～6所示。

圖3 實(shí)測(cè)值與固定參數(shù)模型預(yù)測(cè)值比較Fig.3 Comparison between the measured value and predicted value of the fixed parameter model

從圖3 和圖5 可以看出擬合精度較好，可變參數(shù)模型的擬合精度比固定參數(shù)模型更優(yōu)，從圖4和圖6 可以看出殘差值較均勻的分布在橫軸兩側(cè)，沒有明顯的喇叭狀，個(gè)別點(diǎn)偏離橫軸，存在少量異常數(shù)據(jù)，殘差近似服從正態(tài)分布。

圖4 固定參數(shù)模型殘差Fig.4 Residual diagram of the fixed parameter model

圖5 實(shí)測(cè)值與可變參數(shù)模型預(yù)測(cè)值比較Fig.5 Comparison of the measured value and the predicted value of variable parameter model

圖6 可變參數(shù)模型殘差Fig.6 Residual diagram of the variable parameter model

3.2.2 混合效應(yīng)模型與啞變量模型的擬合結(jié)果

運(yùn)用R 語言對(duì)混合效應(yīng)模型及啞變量模型進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如表5 所示。混合效應(yīng)與啞變量模型的擬合精度均高達(dá)0.958，混合效應(yīng)模型與啞變量模型的均方根誤差（RMSE）相差不大，但啞變量模型的赤池信息準(zhǔn)則（AIC）與貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）均小于混合效應(yīng)模型，啞變量模型總相對(duì)偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）趨向于0，偏差較小，說明啞變量模型較好。采用分徑階的方法對(duì)混合效應(yīng)模型和可變參數(shù)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表6 所示，從整體上看，啞變量模型的總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差比混合效應(yīng)模型小，尤其中小徑階效果明顯，但在24 cm 徑階中效果不明顯，偏差較大。

表5 混合效應(yīng)模型與啞變量模型的擬合結(jié)果Table 5 Fitting results of the mixed effect model and dummy variable model

表6 混合效應(yīng)模型與啞變量模型分徑階檢驗(yàn)結(jié)果Table 6 Test results of the binary tree volume model by diameter classes

混合效應(yīng)模型在參數(shù)效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)的方差協(xié)方差結(jié)構(gòu)確定后，有2 個(gè)問題必須要考慮：一是模型的異方差，二是模型的自相關(guān)性[12]。由于本研究的數(shù)據(jù)不是重復(fù)觀察的杉木材積數(shù)據(jù)，所以不需要考慮自相關(guān)性。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證混合效應(yīng)模型與啞變量模型的擬合精度，分別建立了比較圖與殘差圖（圖7～10）。

圖7 實(shí)測(cè)值與混合效應(yīng)模型預(yù)測(cè)值比較Fig.7 Comparison of the measured value and predicted value of the mixed effect model

由圖7 和圖9 可以看出，實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值比較圖中離群點(diǎn)較少，擬合精度較好；由圖8 和圖10 可以看出，混合效應(yīng)模型與啞變量的殘差圖沒有呈現(xiàn)明顯的喇叭狀，不需要消除異方差性。

圖8 混合效應(yīng)模型殘差Fig.8 Residual diagram of the mixed effect model

圖9 實(shí)測(cè)值與啞變量模型預(yù)測(cè)值比較Fig.9 Comparison of the measured value and predicted value of the dummy variable model

圖10 啞變量模型殘差Fig.10 Residual diagram of the dummy variable model

4 結(jié)論與討論

4.1 討 論

無論是編制林業(yè)數(shù)表，還是估算森林蓄積量，二元立木材積模型都是重要依據(jù)，而山本材積式是常用的單木材積計(jì)算模型。本研究以山本式為基礎(chǔ)模型建立固定參數(shù)模型，通過對(duì)基礎(chǔ)模型的再參數(shù)化構(gòu)建可變參數(shù)模型。因立木材積模型受樹高和胸徑2 個(gè)因子影響，存在異方差現(xiàn)象，故對(duì)參數(shù)估計(jì)時(shí)采用加權(quán)最小二乘法消除異方差性，以對(duì)比分析胸徑和樹高對(duì)材積的影響。結(jié)果表明，相較于固定參數(shù)模型，可變參數(shù)模型的擬合精度更高，誤差更小。這與諸多學(xué)者結(jié)論一致，如陳怡[10]、賀鵬等[22]以山本式為基礎(chǔ)模型構(gòu)建可變參數(shù)模型，結(jié)果表明可變參數(shù)模型明顯優(yōu)于固定參數(shù)模型，具有更高的預(yù)估精度，這是由于樹干材積與樹高和胸徑2 個(gè)變量的變化率有關(guān)。

考慮到湖南地處丘陵地帶，地形地貌復(fù)雜，局部區(qū)域氣候有差異，用常規(guī)的回歸方法擬合模型的結(jié)果存在偏差。本研究以區(qū)域作為隨機(jī)變量和啞變量，分別構(gòu)建了混合效應(yīng)模型和啞變量模型，能較好地提高模型精度。如張珍等[23]以不同氣象因子為主要預(yù)測(cè)變量，構(gòu)建混合效應(yīng)模型，與Logistic 基礎(chǔ)模型相比，擬合精度更高，預(yù)測(cè)更優(yōu)。羅洪斌等[24]運(yùn)用啞變量方法更好地提高了蓄積量的估測(cè)精度。Li 等[25]、Ou 等[26]以齡組和冠層密度等為啞變量對(duì)生物量進(jìn)行估測(cè)研究，結(jié)果表明啞變量的引入可以有效提高估測(cè)精度。上述研究表明，混合效應(yīng)和啞變量模型的引入對(duì)提升模型預(yù)估精度有效。

本研究通過確定系數(shù)、總相對(duì)偏差、平均系統(tǒng)偏差、均方根誤差、赤池信息準(zhǔn)則和貝葉斯信息準(zhǔn)則對(duì)各模型進(jìn)行檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)，并通過分徑階的方法對(duì)各模型進(jìn)行檢驗(yàn)，為選取最優(yōu)模型提供了較客觀的判斷依據(jù)。在分徑階對(duì)各模型進(jìn)行檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在24 cm 徑階的總相對(duì)偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）均超出±3%的范圍，存在一定的偏差。可能因?yàn)闃颖酒骄鶑诫A樣木多，兩頭的樣木比較少，在今后的材積模型中可以考慮通過高徑比、徑階或者樹高級(jí)進(jìn)行分段建模。

4.2 結(jié) 論

本研究以湖南省常德、郴州、衡陽、永州、邵陽、湘西以及益陽地區(qū)的采集杉木樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用固定參數(shù)、可變參數(shù)、混合效應(yīng)以及啞變量的方法研建二元立木材積模型，并與現(xiàn)有材積模型進(jìn)行對(duì)比分析，主要結(jié)論如下：

1）現(xiàn)有的湖南杉木立木材積模型已沿用40多年，通過配對(duì)t檢驗(yàn)法對(duì)原二元立木材積模型進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)查表后發(fā)現(xiàn)與現(xiàn)有的立木材積模型存在顯著差異。

2）以山本材積式為模型基礎(chǔ)，建立了固定參數(shù)模型和可變參數(shù)模型，2 個(gè)模型的擬合精度均在0.95 以上。從整體上看，總相對(duì)誤差和平均系統(tǒng)誤差均在±3%范圍內(nèi)，可變參數(shù)模型的誤差趨于0，均方根誤差為0.016～0. 017；10 cm 和22 cm 徑階固定參數(shù)模型的總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差均超出±3%范圍；在24 cm 徑階中，總相對(duì)偏差高達(dá)-8.13%。從整體上看，固定參數(shù)模型和可變參數(shù)模型的均有較高的擬合精度，可變參數(shù)模型的總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差較小，明顯優(yōu)于固定參數(shù)模型。

3）混合效應(yīng)模型和啞變量模型的擬合精度均高達(dá)0.958，均方根誤差都在0.016～0.017，總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差均在±3%范圍內(nèi)，啞變量模型的赤池信息準(zhǔn)則和貝葉斯信息準(zhǔn)則相較于混合效應(yīng)模型較?。辉?0、12 和24 cm 徑階混合效應(yīng)模型的總相對(duì)偏差均超出±3%范圍，存在一定偏差，而啞變量模型的總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差趨于0，模型更優(yōu)。