郭紅戈,任 貝,郤 偉,張春美

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,太原 030024)

橫向控制關(guān)系到車(chē)輛的穩(wěn)定性和舒適性,是車(chē)輛自動(dòng)控制的核心研究問(wèn)題之一。

Jin等人在魯棒控制的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了增益調(diào)度環(huán)節(jié),實(shí)現(xiàn)了四輪轉(zhuǎn)向汽車(chē)的橫向控制[1],提高了車(chē)輛的穩(wěn)定性。Yoshida等人在建立非線性二自由度車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,應(yīng)用預(yù)測(cè)控制來(lái)進(jìn)行變道轉(zhuǎn)向中的控制[2]。Attia等人綜合考慮了汽車(chē)的縱向和橫向協(xié)調(diào)問(wèn)題,設(shè)計(jì)了預(yù)測(cè)控制器實(shí)現(xiàn)了車(chē)輛的自動(dòng)駕駛[3],Attia在解決高速工況下車(chē)輛變道的問(wèn)題上[4],設(shè)計(jì)了模型預(yù)測(cè)控制器來(lái)控制車(chē)輛轉(zhuǎn)向。Khosravi等人將自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制和LQR控制器相結(jié)合來(lái)控制車(chē)輛的橫向運(yùn)動(dòng)[5],實(shí)現(xiàn)了存在不確定性情況下的車(chē)輛橫向控制。Anderson等人集成了駕駛員響應(yīng)信號(hào)和LQR控制器響應(yīng)信號(hào),實(shí)現(xiàn)了車(chē)輛的路徑跟蹤控制[6]。Marino R提出了一種嵌套式PID控制算法,實(shí)現(xiàn)了道路曲率不確定情況下對(duì)車(chē)輛期望路徑的準(zhǔn)確跟蹤[7]。Peter H提出了一種將濾波誤差的滑模控制作為跟蹤控制算法,解決了平滑約束下的跟蹤控制問(wèn)題[8]。Alfraheed M設(shè)計(jì)了一種縱向和橫向一體化控制系統(tǒng),解決高速公路上車(chē)隊(duì)在轉(zhuǎn)彎時(shí)的橫向和縱向聯(lián)合控制問(wèn)題[9]。Salehpour S等使用基于PID和LQR控制器的粒子群優(yōu)化算法設(shè)計(jì)車(chē)輛跟蹤控制[10]。Wang R利用魯棒狀態(tài)反饋控制器,解決跟蹤行駛車(chē)輛時(shí)數(shù)據(jù)丟失的問(wèn)題[11]。

廣義預(yù)測(cè)控制(Generalized Predictive Control,GPC)[12]的控制思想與駕駛員的駕駛思維非常相似,且魯棒性強(qiáng),能夠有效處理約束條件[13]。本文根據(jù)車(chē)輛橫向動(dòng)力學(xué)模型中存在耦合的問(wèn)題[14],設(shè)計(jì)了一種輸出解耦型廣義預(yù)測(cè)控制(Decoupling Generalized Predictive Control,DGPC)器。

1 車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型

車(chē)輛橫向控制結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 車(chē)輛橫向控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of vehicle lateral control structure

車(chē)輛橫向動(dòng)力學(xué)模型采用文獻(xiàn)[15]中的狀態(tài)空間表達(dá)式,式(1)中的物理量如表1所示。

表1 橫向動(dòng)力學(xué)模型中的符號(hào)及參數(shù)Tab.1 Symbolic representation in lateral dynamics model

(1)

將式(1)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間方程表達(dá)式,

(2)

Y=NX

(3)

式(2)和式(3)中的動(dòng)力學(xué)模型是連續(xù)的,而輸出DGPC器用來(lái)解決離散化模型問(wèn)題。對(duì)車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行離散化,得:

X(k+1)=OX(k)+PU(k)

(4)

Y(k)=QX(k)

(5)

轉(zhuǎn)化為矩陣傳遞函數(shù)的表達(dá)形式,

W=Q(sI-O)-1P

(6)

令:

A=Q-1(sI-O),B=P.

2 輸出解耦型廣義預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

多輸入多輸出系統(tǒng)的CARIMA模型,如式(7)所示。

A(z-1)Δy(t)=B(z-1)Δu(t-1)+ξ(t)

(7)

其中:

A(z-1)=I+A1z-1+A2z-2…AnA-1z-nA+1+AnAz-nA

B(z-1)=B0+B1z-1+B2z-2…BnB-1z-nB+1+BnBz-nB

u(t)Τ=[u1(t),u2(t)…um(t)]

y(t)Τ=[y1(t),y2(t)…ym(t)]

ξ(t)Τ=[ξ1(t),ξ2(t)…ξm(t)]

Δ=diag[1-z-1]

式(7)中{u(t)}和{y(t)}為m維輸入輸出向量,ξ(t)為干擾,方差是σI.Δ為矩陣差分算子,方差是σI.

由于系統(tǒng)輸出間存在耦合,輸入對(duì)輸出不存在耦合現(xiàn)象,故設(shè)B(z-1)為一對(duì)角矩陣,將A(z-1)分成兩部分,如式(8)所示。

(8)

由式(7)和式(8)得:

B(z-1)Δu(t-1)+ξ(t)

(9)

(10)

(11)

定義第一個(gè)矩陣Diophantine方程,

Ej(z-1)B(z-1)=Gj(z-1)+z-1Hj(z-1)

(12)

由于B(z-1)是對(duì)角矩陣,可令Ej(z-1),Gj(z-1),Hj(z-1)均為對(duì)角矩陣。則:

定義第二個(gè)矩陣Diophantine方程,

I=Ej(z-1)A(z-1)Δ+z-jFj(z-1)

(13)

(14)

(15)

其中:

聯(lián)立式(8)、式(13)和式(15)得:

(16)

(17)

Ej(z-1)B(z-1)Δu(t-1)+Ej(z-1)ξ(t)

(18)

聯(lián)立式(12)和式(18)得:

z-1Hj(z-1)Δu(t-1)+Ej(z-1)ξ(t)

(19)

聯(lián)立式(16)、式(17)和式(19)得:

[Gj(z-1)+z-1Hj(z-1)]Δu(t-1)+Ej(z-1)ξ(t)

(20)

式(20)經(jīng)移項(xiàng)變換得:

z-jHj(z-1)Δu(t-1)+Ej(z-1)ξ(t)

(21)

對(duì)式(21)兩邊同乘zj,可得t+j時(shí)刻的多變量廣義預(yù)測(cè)最優(yōu)輸出y(t+j):

Gj(z-1)Δu(t+j-1)+Hj(z-1)Δu(t-1)+

Ej(z-1)ξ(t+j)

(22)

由此被控制對(duì)象的最優(yōu)預(yù)測(cè)輸出可表示為:

Δu(t+j-1)+Hj(z-1)Δu(t-1)

(23)

y(t+j)=y°(t+j)+Ej(z-1)ξ(t+j)

(24)

將式(23)代入式(10)得:

(25)

(26)

聯(lián)立式(25)和式(26)得:

Hj(z-1)Δu(t-1)-ω(t+j)+

(27)

其中:j=1,…,N

令J取極小值,可求得目標(biāo)在控制狀態(tài)下的最優(yōu)預(yù)測(cè)控制U,則式(27)可寫(xiě)為:

(28)

則可得被控對(duì)象的最優(yōu)控制輸入U(xiǎn)

U=(GΤG+λ)-1GΤ

(29)

Δu(t)=[e1,…,eN]

(30)

式(30)中Δu(t)表示的含義是當(dāng)j=1時(shí),Δu(t+j-1)=Δu(t),在每一個(gè)采樣周期中,只有U中的第一個(gè)元素需要計(jì)算,這是因?yàn)槎嘧兞繌V義預(yù)測(cè)控制不斷進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化。

由于醫(yī)學(xué)院校大都采用大班教學(xué)的授課形式[6]，班級(jí)人數(shù)較多，醫(yī)學(xué)免疫學(xué)和微生物學(xué)課程的傳統(tǒng)紙質(zhì)作業(yè)交齊后，教師需要耗費(fèi)大量時(shí)間進(jìn)行批閱。由于批閱任務(wù)的繁重，教師在批閱時(shí)會(huì)更多的關(guān)注作業(yè)的大體結(jié)果，對(duì)所教學(xué)生的作業(yè)整體情況缺乏深層次的了解。有時(shí)對(duì)每個(gè)學(xué)生的作業(yè)情況難以做到詳細(xì)的記錄和分析，從而影響了對(duì)不同學(xué)生學(xué)習(xí)情況的判別[3]。并且，由于大學(xué)課程的安排特點(diǎn)，學(xué)生至少在幾天以后才能拿到批改后的作業(yè)信息[7]。學(xué)生得到反饋信息的時(shí)候，教師已經(jīng)進(jìn)行新課內(nèi)容的教學(xué)，學(xué)生作業(yè)反映出來(lái)的問(wèn)題難以及時(shí)跟進(jìn)，從而降低了考核的預(yù)期效果，影響課程教學(xué)的質(zhì)量。

將式(30)中Δu(t)進(jìn)行合并,得:

Δu(t)+[e1,…,eN]HΔu(t-1)=

(31)

式(31)可寫(xiě)為:

(32)

(33)

聯(lián)立式(32)和式(33)可得被控對(duì)象閉環(huán)系統(tǒng)方程為,

z-1B(z-1)[e1,…,eN]W-

(34)

(35)

(36)

至此,得到如下的輸出解耦型廣義預(yù)測(cè)控制器:

第3步:利用式(36)計(jì)算輸出解耦控制Δu(t).

3 輸出解耦型GPC器在車(chē)輛橫向控制中的仿真研究

采用兩次變道的雙移線作為跟蹤路徑,假定輪胎與路面不產(chǎn)生側(cè)滑現(xiàn)象。前期經(jīng)過(guò)多次仿真對(duì)比,GPC、輸出DGPC和PID都取控制效果最好的控制器參數(shù)。當(dāng)縱向車(chē)速分別取36 km/h、76 km/h時(shí),進(jìn)行輸出DGPC、GPC和PID橫向控制器的對(duì)比驗(yàn)證,以驗(yàn)證改進(jìn)的輸出解耦型廣義預(yù)測(cè)控制器的有效性。

表1為車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型的參數(shù),表2為廣義預(yù)測(cè)控制器的參數(shù)。

表2 廣義預(yù)測(cè)的控制參數(shù)Tab.2 Broad prediction control parameters

(1)工況1:車(chē)輛速度36 km/h時(shí),車(chē)輛橫向控制仿真圖形及結(jié)果分析。

圖2表明,除在路徑轉(zhuǎn)角處與目標(biāo)路徑有稍偏差,其它路徑輸出DGPC、GPC和PID在的跟蹤精度都很好。輸出DGPC在三者之中跟蹤效果最佳,并且橫向偏離不超過(guò)0.1 m.

圖2 車(chē)速36 km/h時(shí)車(chē)輛參考路徑Fig.2 Vehicle reference path at 36 km/h

圖3表明,前輪轉(zhuǎn)角在兩種不同的轉(zhuǎn)彎路徑下,曲線光滑,在±0.06 rad范圍內(nèi)小幅度變化,表明三種控制方法得到的控制量均能緩慢平穩(wěn)變化,符合實(shí)車(chē)運(yùn)行要求。

圖3 車(chē)速36 km/h時(shí)車(chē)輛前輪轉(zhuǎn)角Fig.3 The front wheel corner of the vehicle at 36 km/h

由圖4和圖5可以看出,三種控制方法下的車(chē)輛側(cè)向速度在±2.4 m/s較小范圍內(nèi)波動(dòng)較小,說(shuō)明車(chē)輛行駛較為穩(wěn)定。

圖4 車(chē)速36 km/h時(shí)車(chē)輛側(cè)向速度Fig.4 Side speed of the vehicle at 36 km/h

圖5 車(chē)速36 km/h時(shí)車(chē)輛橫擺角速度Fig.5 Vehicle swing angle speed at 36 km/h

總之,當(dāng)車(chē)速為36 km/h時(shí),PID控制、廣義預(yù)測(cè)控制和輸出解耦型廣義預(yù)測(cè)控制的控制效果都較好。

(2)工況2:車(chē)速72 km/h時(shí),車(chē)輛橫向控制仿真圖形及結(jié)果分析。

圖6中PID控制方法與其36 km/h效果接近。GPC在第二次變道處超調(diào)現(xiàn)象開(kāi)始有增強(qiáng),且在第二次變道處有明顯偏移,是因?yàn)檐?chē)輛縱向速度變大,該路徑下變道縱向路程縮短,模型輸出的變量耦合增強(qiáng)而導(dǎo)致的結(jié)果。而輸出DGPC沒(méi)有隨轉(zhuǎn)彎路徑變短而出現(xiàn)跟蹤偏離超過(guò)0.2 m的現(xiàn)象,仍具有良好的路徑跟蹤效果。

圖6 車(chē)速72 km/h時(shí)車(chē)輛參考路徑Fig.6 Vehicle reference path at 72 km/h

由圖7-圖9可見(jiàn),在兩種不同的轉(zhuǎn)彎路徑下,前輪轉(zhuǎn)角、輸出量側(cè)向速度和橫擺角速度均變化平穩(wěn),可以確保行車(chē)過(guò)程車(chē)輛姿態(tài)的穩(wěn)定。

圖7 車(chē)速72 km/h時(shí)車(chē)輛前輪轉(zhuǎn)角Fig.7 The front wheel corner of the vehicle at a speed of 72 km/h

圖8 車(chē)速72 km/h時(shí)車(chē)輛側(cè)向速度Fig.8 Side speed of the vehicle at 72 km/h

圖9 車(chē)速72 km/h時(shí)車(chē)輛橫擺角速度Fig.9 Vehicle swing angle speed at 72 km/h

對(duì)上述兩種工況下的仿真結(jié)果分析可得,低速和中高速時(shí)三種控制器均可保證車(chē)輛姿態(tài)的穩(wěn)定,且均具有較好的跟蹤能力,但輸出DGPC的跟蹤效果始終最佳,尤其中高速時(shí)輸出耦合增強(qiáng),輸出DGPC的優(yōu)越性更明顯。

4 結(jié)論

本文為了解決系統(tǒng)輸出變量間存在相互耦合的廣義預(yù)測(cè)控制問(wèn)題,提出了一種輸出解耦型廣義預(yù)測(cè)控制器,對(duì)輸出變量矩陣系數(shù)拆分成對(duì)角陣和反對(duì)角矩陣之和的形式,并將它們與Diophantine方程結(jié)合,經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的公式推導(dǎo),得到了控制器。以車(chē)輛對(duì)雙移線參考路徑跟蹤能力為仿真研究對(duì)象,對(duì)比PID、GPC和輸出DGPC三種控制方法的控制效果,仿真結(jié)果表明,在低速時(shí)三種控制方法控制效果相當(dāng),隨著車(chē)速的增大,輸出DGPC對(duì)雙移線路徑表現(xiàn)出更好的跟蹤能力,驗(yàn)證了輸出DGPC的實(shí)用性和優(yōu)越性。