文/呂素芬
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》)指出,教師要改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì),推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[1]。本文以人教版五年級(jí)(上冊(cè))第七單元“數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題”為例,探討基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)的實(shí)踐樣態(tài)。
教師可以從知識(shí)領(lǐng)域的視角切入,整體了解教材,系統(tǒng)梳理和分析單元、課時(shí)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等,厘清知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系,抽象出知識(shí)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)與關(guān)鍵要素,實(shí)現(xiàn)對(duì)單元教學(xué)的整體把握。
本單元教材安排了3 個(gè)例題。例1 是關(guān)于在一條線段上植樹(shù),并且兩端都栽的情況。例2 是關(guān)于在一條線段上植樹(shù),并且兩端都不栽的情況。例2 下面的“做一做”第2 題是關(guān)于在一條線段上植樹(shù),并且只栽一端的情況,探究的都是線段上的植樹(shù)問(wèn)題。例3是關(guān)于在一條首尾相接的封閉曲線上植樹(shù)的問(wèn)題,相當(dāng)于在一條線段上的植樹(shù)問(wèn)題中的“只栽一端”的情況。
植樹(shù)問(wèn)題的三種類(lèi)型的本質(zhì)是探究點(diǎn)與段之間,也就是棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。教材中的問(wèn)題題材豐富,都是學(xué)生熟悉的生活問(wèn)題,這些都有助于教師創(chuàng)設(shè)真實(shí)的學(xué)習(xí)情境,引導(dǎo)學(xué)生立足幾何直觀,通過(guò)畫(huà)線段圖,探索解決植樹(shù)問(wèn)題的思路與方法,促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。此外,教材習(xí)題設(shè)計(jì)大多涉及已知總長(zhǎng)和間隔長(zhǎng)度,求棵數(shù)、個(gè)數(shù)、根數(shù)、盞數(shù)等問(wèn)題。因此,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是先用總長(zhǎng)除以間隔長(zhǎng)度,得到間隔數(shù),也就是“總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)”。
教師只有通過(guò)分析學(xué)情找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn),確定單元教學(xué)主題,設(shè)定單元教學(xué)目標(biāo),重組單元教學(xué)內(nèi)容,形成整體教學(xué)規(guī)劃,才能使學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)[2]。
植樹(shù)問(wèn)題知識(shí)較抽象。小學(xué)生的思維以具體形象思維為主,較難理解和記憶植樹(shù)問(wèn)題的三種類(lèi)型。在學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生往往會(huì)將“兩端都栽”“兩端都不栽”“只栽一端”三種類(lèi)型混淆。學(xué)生的抽象邏輯思維需要借助直觀思維逐步形成。因此,教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖,通過(guò)觀察、思考,對(duì)比植樹(shù)問(wèn)題三種類(lèi)型的異同,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)本質(zhì),理解和建立植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,這一教學(xué)策略應(yīng)貫穿本單元教學(xué)的全過(guò)程。
基于以上對(duì)本單元教材的研讀和學(xué)情分析,教師的單元教學(xué)目標(biāo)確定如下:(1)經(jīng)歷植樹(shù)問(wèn)題三種類(lèi)型的探索過(guò)程,建立不同情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,初步體會(huì)植樹(shù)問(wèn)題的模型思想;(2)學(xué)生會(huì)自覺(jué)畫(huà)線段圖,嘗試用植樹(shù)問(wèn)題的方法解決實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題,習(xí)得方法,提升思維品質(zhì);(3)感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系,獲得學(xué)習(xí)成功的愉悅感。
例1、例2 及例2 下面的“做一做”,探究的都是線段上的植樹(shù)問(wèn)題,涵蓋了植樹(shù)問(wèn)題的三種數(shù)學(xué)模型。對(duì)此,教師可以整合成一節(jié)課進(jìn)行教學(xué),便于學(xué)生比較異同,領(lǐng)會(huì)植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)都是棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系,清晰構(gòu)建植樹(shù)問(wèn)題的三種數(shù)學(xué)模型。這節(jié)課是本單元的關(guān)鍵。在第二課時(shí),教師可講解例3,繼續(xù)突出線段圖的教學(xué),讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)示意圖,理解在一條封閉曲線上植樹(shù)的規(guī)律是棵數(shù)等于間隔數(shù),有幾個(gè)間隔就有幾棵樹(shù)。教師可以設(shè)計(jì)核心問(wèn)題“在一條封閉曲線上的植樹(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成在一條線段上的植樹(shù)問(wèn)題嗎?你能找到其中的規(guī)律嗎?”,鼓勵(lì)學(xué)生積極思考,自主驗(yàn)證,交流想法,讓學(xué)生理解在一條封閉曲線上的植樹(shù)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于在一條線段上的植樹(shù)問(wèn)題中的“只栽一端”的情況。教師運(yùn)用課件直觀演示,可以幫助學(xué)生理解、建構(gòu)這一知識(shí)聯(lián)系。這時(shí),對(duì)于植樹(shù)問(wèn)題三種類(lèi)型的完整建構(gòu)便水到渠成。后續(xù)的練習(xí)課、單元整理復(fù)習(xí)課,有利于達(dá)成鞏固提升的教學(xué)預(yù)期。重新整合后的教學(xué)和整合前相比,優(yōu)勢(shì)是能實(shí)現(xiàn)教師有結(jié)構(gòu)地教、學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué),有利于學(xué)生深度學(xué)習(xí),提高教學(xué)效率。以下是整合前和整合后的“植樹(shù)問(wèn)題”單元教學(xué)框架對(duì)比(見(jiàn)表1)。
表1
以下是重新整合后,本單元的關(guān)鍵課“植樹(shù)問(wèn)題”第1 課時(shí)的課堂實(shí)踐。
師:同學(xué)們都有一個(gè)聰明的腦袋瓜和一雙靈巧的小手。你能找到手上的數(shù)學(xué)知識(shí)嗎?
生:一只手有5 根手指,每?jī)蓚€(gè)手指之間有個(gè)“空”。
師:2 個(gè)手指之間有個(gè)“空”,在數(shù)學(xué)上,我們把這個(gè)“空”叫“間隔”。(板書(shū):間隔)也就是說(shuō),5 個(gè)手指之間有幾個(gè)間隔?4 個(gè)間隔是在幾個(gè)手指之間?
師:我們可以把一個(gè)手指想象成一個(gè)點(diǎn),我們一起來(lái)數(shù)數(shù)有幾個(gè)點(diǎn)?幾段?也就是幾個(gè)間隔呢?(5 個(gè)點(diǎn),4 個(gè)間隔)也就是說(shuō)點(diǎn)數(shù)是5,間隔數(shù)是4。(師畫(huà)出線段圖,引導(dǎo)理解。)那4 個(gè)點(diǎn)之間有幾個(gè)間隔?3個(gè)點(diǎn)呢?2 個(gè)點(diǎn)呢?請(qǐng)你和同桌說(shuō)一說(shuō)。
師:今天我們一起研究與間隔有關(guān)的有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。(板書(shū):植樹(shù)問(wèn)題)
出示例題:同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100 米的小路一邊植樹(shù),每隔5 米栽一棵,一共要栽多少棵樹(shù)?
師:你怎么理解題目的數(shù)學(xué)信息?
生:小路全長(zhǎng)100 米,只栽一邊,另一邊不栽,每隔5 米栽一棵。(生借助尺子比畫(huà))“每隔5 米栽一棵”的意思是每?jī)煽脴?shù)之間的距離都是5 米,兩棵樹(shù)之間間隔5 米。
師:對(duì)了,5 米是兩棵樹(shù)之間的間隔長(zhǎng)度。請(qǐng)你猜測(cè)一下,一共要栽多少棵樹(shù)?
(生猜測(cè):20 棵、21 棵、19 棵、18 棵……)
師:這是大家的猜測(cè)。該如何解決問(wèn)題呢?
生2:畫(huà)線段圖分析
師:線段圖是我們學(xué)習(xí)的好幫手。用一條線段表示100 米的小路,每隔5 米栽一棵,每隔5 米栽一棵(畫(huà)線段圖展示),照這樣一棵一棵種下去,是不是很麻煩?
生:100 米這個(gè)數(shù)據(jù)有點(diǎn)大,畫(huà)圖時(shí)會(huì)比較麻煩,因此我們可以選擇較小數(shù)據(jù)來(lái)分析。
師:把大一些、稍復(fù)雜的數(shù)據(jù)變小,便于思考、探究,在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為“化繁為簡(jiǎn)”。
教師出示植樹(shù)問(wèn)題學(xué)習(xí)單(如圖1):
圖1
師:請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考,完成學(xué)習(xí)單后,四人為一小組交流、討論。(教師巡視、指導(dǎo),收集代表性作品,指名上臺(tái)回答,相機(jī)板書(shū))
生1:假設(shè)小路全長(zhǎng)20 米,每隔5 米栽一棵,頭尾都栽,一共要栽5 棵樹(shù)。因?yàn)?0 米里有4 個(gè)5 米,也就是有4 個(gè)間隔,棵數(shù)比間隔數(shù)多1,所以要栽5 棵樹(shù)。列式:20÷5=4(個(gè)), 4 +1=5(棵)。
師:你能給這種植樹(shù)方法取個(gè)名字嗎?
生1:兩邊都栽。
師:有不同意見(jiàn)嗎?
生2:是兩端都栽,就是起點(diǎn)栽,終點(diǎn)也栽?!皟蛇叾荚浴钡囊馑际锹返膬蓚?cè)都要栽樹(shù)。
師:理解透徹,分析到位!用詞精準(zhǔn)!你們還有問(wèn)題要問(wèn)這位“小老師”嗎?
生2:為什么是4“個(gè)”,而不是4“棵”?
生1:因?yàn)?0÷5=4,求的是間隔數(shù),4表示的是4段,是4 個(gè)間隔,而不是4 棵樹(shù)。
生2:那我們要怎么求出間隔數(shù)?
生1:總長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)度=間隔數(shù)。
師:兩端都栽是植樹(shù)問(wèn)題的一種類(lèi)型。還有不同的植樹(shù)方法嗎?
生3:假設(shè)小路全長(zhǎng)20 米,每隔5 米栽一棵,但起點(diǎn)栽,終點(diǎn)不栽,我發(fā)現(xiàn)有4 個(gè)間隔,4 棵樹(shù),棵數(shù)和間隔數(shù)相等。20÷5=4(棵)。這種植樹(shù)方法可以叫“一端栽,一端不栽”吧!
師:你說(shuō)得真好!我們也可以說(shuō)是“只栽一端”。這又是植樹(shù)問(wèn)題的另一種類(lèi)型。
生4:我的栽樹(shù)方法和他們的都不一樣。萬(wàn)一小路的兩端有障礙物呢?假如我們?cè)趦蓷潣侵g栽樹(shù),那兩端都不能栽??!如果小路長(zhǎng)還是20 米,20 米里有4個(gè)5 米,有4 個(gè)間隔,但只能栽3 棵樹(shù),棵數(shù)比間隔數(shù)少1。20÷5=4(個(gè)),4-1=3(棵)。
師:有思考、有探究就有收獲?。ㄖ钢鍟?shū))這節(jié)課我們探究了在一條線段上植樹(shù)的問(wèn)題,有這三種類(lèi)型:兩端都栽,只栽一端,兩端都不栽。請(qǐng)你認(rèn)真觀察線段圖,理解算式,思考這三種類(lèi)型有什么聯(lián)系和區(qū)別,在小組中交流想法。
生5:我發(fā)現(xiàn)都是先求出有4 個(gè)間隔,也就是間隔數(shù),不同的是:兩端都栽,棵數(shù)=間隔數(shù)+1;只栽一端,棵數(shù)=間隔數(shù);兩端都不栽,棵數(shù)=間隔數(shù)-1。
生6:要先計(jì)算“總長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)度=間隔數(shù)”,都是先求出總長(zhǎng)里有幾個(gè)間隔長(zhǎng)度。
師:那為什么間隔數(shù)相同,栽樹(shù)棵數(shù)卻不同呢?你能借助線段圖找到棵數(shù)和間隔數(shù)關(guān)系的奧秘嗎?
生5(上臺(tái)比畫(huà)線段圖):大家看,我們從第一棵樹(shù)開(kāi)始,一棵樹(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔,最后一棵樹(shù)沒(méi)有間隔對(duì)應(yīng),就多出來(lái)了,所以棵數(shù)比間隔數(shù)多1。
生6(上臺(tái)比畫(huà)線段圖):大家從最后一棵樹(shù)看起,一棵樹(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔,起點(diǎn)處的這棵樹(shù)落單多出來(lái)了??脭?shù)比間隔數(shù)多1,也就是間隔數(shù)比棵數(shù)少1。
師:同學(xué)們用一一對(duì)應(yīng)的方法理解了“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。請(qǐng)你用這樣的方法和同桌互相說(shuō)說(shuō),怎么理解“棵數(shù)=間隔數(shù)”,“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”?(再借助課件直觀演示,促進(jìn)理解)
師(展示作品):有的同學(xué)選擇的數(shù)據(jù)不是20 米,而是10 米、15 米、25 米、30 米……總長(zhǎng)變了,間隔長(zhǎng)度5 米不變,什么會(huì)變?但什么不變?
生7:總長(zhǎng)變了,間隔長(zhǎng)度不變,間隔數(shù)會(huì)變,棵數(shù)也會(huì)變,但相同種樹(shù)情況的規(guī)律不變。
師:如果小路的全長(zhǎng)是n 米呢?你會(huì)列式嗎?
生7:兩端都栽,棵數(shù)=n÷5+1;只栽一端,棵數(shù)=n÷5;兩端都不栽,棵數(shù)=n÷5-1。
學(xué)生獨(dú)立完成例題,教師巡視指導(dǎo),指名回答,呈現(xiàn)三種解法。
教師給出兩道習(xí)題,要求學(xué)生獨(dú)立完成,可以同桌交流解題思路及注意點(diǎn),再全班交流。
師:通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),同學(xué)們肯定收獲滿(mǎn)滿(mǎn),和大家分享分享!
生1:遇到復(fù)雜的問(wèn)題,可以化繁為簡(jiǎn)。
生2:我們可以用畫(huà)線段圖的方法解決植樹(shù)問(wèn)題。
生3:我們要認(rèn)真審題,根據(jù)題中的已知條件先判斷是植樹(shù)問(wèn)題的哪種類(lèi)型,再用對(duì)應(yīng)的規(guī)律解答。
生4:植樹(shù)問(wèn)題的三種類(lèi)型反映的都是棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系,可以用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)理解記憶。
總之,教師要立足《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求,以全局視角,整體把握單元教學(xué),根據(jù)單元教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情,把零散的、關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合,設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究,構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),獲得學(xué)習(xí)能力的提高,達(dá)到核心素養(yǎng)的階段培養(yǎng)目標(biāo)。