楊卓媛，黃宇云，陳奕林

（1. 長江勘測規(guī)劃設計研究有限責任公司，湖北 武漢 430010； 2. 流域水安全保障湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430010；3. 武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室，湖北 武漢 430072）

0 引 言

河流系統(tǒng)為適應所處環(huán)境，通過調(diào)整河底坡降不斷朝著恢復相對平衡狀態(tài)的方向進行自動調(diào)整，使單位重量水體在該河段運動過程中的能耗達到最小值，即在當年的河床約束條件（如河底坡降、河床穩(wěn)定性、徑流量等）下，使河床縱剖面最小功模式下的河段平均流速達到最大，這就是河流縱剖面演變最小功原理［1］。一般來說，最小功原理適用于處于動態(tài)平衡狀態(tài)下封閉、耗散的系統(tǒng)［2］。若假設一段接近動態(tài)平衡（即“準平衡狀態(tài)”）的單一開放河段的進、出口斷面各連著一個始終處于恒定流放水狀態(tài)且無限大的水庫，該開放河段即可被視為一個準平衡狀態(tài)下的“封閉系統(tǒng)”［3］。在這樣的假設前提下，河流縱剖面演變最小功原理便可應用在黃河口尾閭段。

一般情況下，河流只能以兩種狀態(tài)存在：準平衡態(tài)和遠平衡態(tài)，不存在絕對平衡狀態(tài)［3］。而在河床演變學中，處于準平衡狀態(tài)下的河床形態(tài)通常用水位平灘時的河槽特征值表示，平灘流量則常作為表征河槽形態(tài)的綜合參數(shù)［4］。當河槽實際流量達到平灘流量時，主槽輸沙效率最高，相應水流的流速大，輸沙能力最強［5，6］。因此，平灘流量的調(diào)整過程可直接反映一個河段的河床形態(tài)因來水來沙條件的改變而發(fā)生的變化［4］。

上述“河床縱剖面演變最小能耗原理”與“平灘流量”在河床演變相關(guān)研究及工程實踐中均有著廣泛的應用［1，2，4-6］。河段縱剖面最小功模式下的特征參數(shù)由河床縱剖面形態(tài)決定，反過來也能作為反映河道幾何形態(tài)的重要參數(shù)。此外，河道的河床形態(tài)由水沙條件塑造，因此當一個單一河段處于準平衡狀態(tài)時，該河段縱剖面最小功模式下的特征參數(shù)必然與河段平灘流量存在一定的聯(lián)系［3］。

黃河口尾閭段河床調(diào)整過程復雜，現(xiàn)已有大量關(guān)于尾閭段平灘特征參數(shù)的研究［7-11］，尚缺乏從能量角度對該河段河床演變過程進行分析的研究。因此本文將依托黃河口尾閭段準平衡狀態(tài)年份的實測流量數(shù)據(jù)和斷面地形數(shù)據(jù)，推導出尾閭段縱剖面最小功模式下的河段平均流速數(shù)學表達式，通過該表達式計算出準平衡時期的最小功河段平均流速值建立其與同時期河段平灘流量的經(jīng)驗關(guān)系，最后利用經(jīng)驗關(guān)系推算維持黃河口尾閭段平灘流量為4 000 m3∕s 的中水河槽所應控制的河底坡降范圍。

1 研究區(qū)域概況

黃河口尾閭段上起利津，流至渤海，全長約為106 km［12］，如圖1 所示。該河段根據(jù)河道平面形態(tài)特點可分為：蜿蜒段（利津-王家莊，10 km），過渡段（王家莊-漁洼，30 km）和河口段（漁洼-河口，66 km）［9］。通常，黃河口尾閭段受海洋動力影響的長度小于30 km，河口附近潮差僅為1～2 km。此外，在汛期基本沒有潮汐進入尾閭段河道，這表明與徑流動力相比，黃河口附近的海洋動力相對較弱［13］。若以水動力特點劃分尾閭段，利津-清4 段可劃分為徑流段，清4-河口段為感潮河段［14］。黃河口尾閭段中蜿蜒段導控工程較多，因此主槽較為穩(wěn)定；而過渡段和河口段沿岸控導較少，清4以下甚至再無控導工程，因此河勢極不穩(wěn)定［9］。在1996 年實施了清8 人工出汊以及1999 年小浪底水庫投入使用后，尾閭段河勢逐漸趨于穩(wěn)定。

圖1 黃河口尾閭段平面示意圖Fig.1 The tail reach of the Yellow River Estuary

2 基于最小功原理的河段平均流速

縱剖面最小功原理未考慮研究河段平面形態(tài)調(diào)整，僅研究河段縱剖面演變的問題。根據(jù)“地貌最小功原理”，沖積河流傾向于在維持輸沙平衡的條件下，通過調(diào)整河道坡降及其幾何形態(tài)使單位質(zhì)量水體運動能耗趨于當?shù)丨h(huán)境所許可的最小值［1，2］。本研究假設河段內(nèi)流體為一維流，由能量守恒可知，單位質(zhì)量水體（m取1）沿河段縱剖面從進口斷面運動到出口斷面的摩阻能耗W可表示為［15］：

式中：g為重力加速度（g=9.81 m2∕s）；ΔH為進口斷面與縱剖面線上任一某點的深泓高差，m；u為單位水體從進口斷面運動到出口斷面處的流速，m∕s。

由于黃河口尾閭段的河床縱剖面形態(tài)較為復雜，無法簡單地用直線或拋物線曲線進行擬合，因此在本研究中采用三次曲線作近似擬合（圖2）：

圖2 黃河口尾閭段河床縱剖面示意圖Fig.2 The longitudinal section of the river bed in the tail reach of the Yellow River Estuary

式中：hb為河段縱剖面線上某點高程，m；x為該點距離進口斷面的距離，km；a、b、c、d為待定系數(shù)。

由式（1），單位質(zhì)量水體的能量守恒等式可表示為u=，其中W=∫fdl，f為單位河長（dl）阻力，f=cosθ· tgθ，θ為縱坡夾角（＜＜15），cosθ≈1，tgθ≈J（J為河底坡降），由J≈d（ΔH）∕dl可得W=∫fdl=∫d()H-hb=H-hb。由此可得：

黃河口利津-汊3段長度僅94.3 km，河段單一且無支流，故假設河段河道內(nèi)的流量沿河長均勻損失［2，3，15］，則研究河段任一斷面的流量可近似表示為（圖2）：

式中：為研究河段進口斷面的汛期平均流量，m3∕s；A為河段縱剖面線上與進口斷面相距x的某點對應斷面的過水斷面面積，m2；L為利津至河口長度，km；L0為出口斷面與進口斷面的距離，km，本研究中研究河段取利津-CS7段，L0=48.32 km。

將式（3）代入動能式中可得：

根據(jù)Qu2～u3及運算等式∑i=(∑i3)1∕2［15］。再結(jié)合式（2）和式（6），可推導出河段平均流速數(shù)學表達式為：

式中：為河段平均過水斷面面積，m2。

3 準平衡時期選取及數(shù)據(jù)計算

以黃河口尾閭段實測資料為基礎，通過河段沖淤量變幅選取尾閭段準平衡時期，并利用一維水動力模型和河段平均方法計算河段平灘特征參數(shù)。該計算平灘特征參數(shù)的方法已被證明能夠充分體現(xiàn)黃河口尾閭段斷面不均分布對河段平灘特征參數(shù)大小的影響［16］。

3.1 尾閭段河床沖淤過程及準平衡時期選取

自清水溝流路行河以來，黃河口尾閭段河床沖淤過程具有復雜的時空變化特征，其累計沖淤量的變化過程如圖3 所示。從圖中可以看出，尾閭段河道在1996 年清8 人工出汊以前經(jīng)歷了劇烈淤積和持續(xù)淤積的河床演變過程，基本處于遠平衡狀態(tài)。1976-1980年間，尾閭河道尚未形成固定河槽，河道散亂出汊，水流漫灘入海，故河道淤積嚴重，累計淤積量約為2.02 億m3。1986 年龍羊峽運用后，進入尾閭段的水沙條件變異，河槽持續(xù)淤積。1996年后因為人工出汊縮短了河道，近海河段發(fā)生的溯源沖刷導致尾閭段整體略有沖刷。1999 年小浪底水庫投入使用后，河床連續(xù)4 年持續(xù)沖刷，累計沖刷量約為0.64 億m3。之后河床沖淤幅度逐漸變小，河床接近動態(tài)平衡。

圖3 黃河口尾閭段累計沖淤量年際變化Fig.3 Interannual variation of accumulated scour and silting volume in the reaches of the Yellow River Estuary

1999年小浪底水庫投入使用，使得進入黃河口尾閭段的水沙條件得以改善。在經(jīng)過河床自動調(diào)整后，2004～2016 年尾閭段部分相鄰年份間的沖淤幅度較小。例如，2004-2005 年尾閭段沖刷量約0.047 4 億m3；2005-2006 年淤積量約0.026 億m3；2007-2008 年沖刷量約0.040 4 億m3；2008-2009 年及2015-2016年沖刷量均約為0.03 億m3。因此，選取這5個時期作為黃河口尾閭段沖淤準平衡時期。

3.2 研究所用數(shù)據(jù)

選取2004-2005 年、2005-2006 年、2007-2008 年、2008-2009 年及2015-2016 年這十年的實測水文和斷面資料，再利用一維水動力模型計算得到黃河口尾閭段的斷面平灘流量后，采用以下河段平均方法計算河段尺度的平灘流量［16］：

式中：Qibf為第i個斷面平灘流量；x為斷面與斷面之間的距離；N為斷面總數(shù)。已有研究證明河段尺度的平灘特征參數(shù)比斷面尺度的平灘特征參數(shù)更能體現(xiàn)河段整體的河床形態(tài)特征［11，16］，并采用上述河段平均的方法計算得到了1990-2016年黃河口尾閭段平灘流量的數(shù)據(jù)結(jié)果，因此本研究直接采用這些數(shù)據(jù)［11］。將計算所得同時期兩年的河段平灘流量進行平均，并與、、H和L一同在表1中列出，以便用于計算同時期河段最小功平均流速值。

表1 黃河口尾閭段的河段平灘流量、汛期平均水沙條件、進口斷面高程及河長Tab.1 Bankfull discharge， average water and sediment conditions in flood season， elevation of inlet section and length of the Yellow River Estuary

基于黃河口尾閭段統(tǒng)測斷面的汛后數(shù)據(jù)資料，率定式（2）中待定系數(shù)a、b、c、d的值，如表2 所示，圖4 為相應的主槽縱剖面的三次曲線擬合形態(tài)。此外，表2 中還列出了所選取準平衡時段下與待定系數(shù)值相應的決定系數(shù)（R2）。從表2 中可以看出，R2均大于0.85，因此可認為運用式（2）對尾閭段河床縱剖面形態(tài)作三次曲線擬合是合理的。

表2 準平衡年份主槽縱剖面的表達式Tab.2 Expression of longitudinal profile of main groove in quasi-equilibrium years

圖4 準平衡年份黃河口尾閭段主槽縱剖面的三次曲線擬合形態(tài)Fig.4 The cubic curve fitting shape of the longitudinal section of the main trough of the Yellow River Estuary in the quasi-equilibrium year

4 最小功原理在黃河口尾閭段的應用

研究表明，河流主槽既然作為排洪輸沙的主體，那么不論是斷面形態(tài)還是縱剖面形態(tài)的調(diào)整均受水沙條件的影響［17］。黃河口尾閭段平灘流量已被證實與水流沖刷強度之間存在相關(guān)程度較高的冪函數(shù)關(guān)系［11］，因此若本文所建立的與縱剖面形態(tài)相關(guān)的最小功平均流速與來水來沙過程之間同樣存在一定的聯(lián)系，那么最小功平均流速與平灘流量也應存在類似的函數(shù)關(guān)系。為了維持黃河下游河道良好的主槽斷面形態(tài)以及大小，平灘流量作為綜合反映河槽形態(tài)的指示性因子，其恢復目標應大于4 000 m3∕s［17］。因此本節(jié)做出的工作如下：①通過分析最小功平均流速與汛期平均水沙條件之間的關(guān)系，建立準平衡時期最小功平均流速與相應汛期平均水流沖刷強度的經(jīng)驗關(guān)系式；②以平灘流量作為已知量，并以河段最小功平均流速與河底坡降的函數(shù)關(guān)系為基礎，反推維持黃河口尾閭段4 000 m3∕s平灘流量所應控制的河底坡降范圍。

4.1 最小功平均流速對來水來沙變化的響應

將同一準平衡時段下兩年的汛期流量、含沙量進行平均計算，作為來水來沙條件，并分別點繪出尾閭段最小功平均流速與來水來沙條件的關(guān)系，如圖5 所示。從圖5（a）、（b）中可以看出，河段最小功平均流速隨汛期平均流量和平均含沙量的增大而增大，且相關(guān)程度較高（R2均＞0.85）。

圖5 河段最小功平均流速與來水來沙的響應Fig.5 The minimum work average flow velocity of the river reach and the response to the incoming water and sediment

圖6 河段最小功平均流速與汛期平均水流沖刷強度關(guān)系Fig.6 The relationship between the average flow velocity of the river reach and the average water flow in the flood season

從圖6 可以看出，汛期平均水流沖刷強度對河段最小功平均流速的定性作用是明確的，即河段最小功平均流速隨水流沖刷強度的增大而減小，且相關(guān)程度較高（R2＞0.8）。此外，準平衡時期的河段最小功平均流速大小范圍在0.8～1.2 m∕s 之間，與尾閭段進口斷面處利津站汛期平均流速1.5～2.5 m∕s 的實測流速范圍相比偏小。造成這種差異的原因為：①尾閭段河床形態(tài)較為復雜，沿程變化較大，導致流速沿程分布不均勻；②河段內(nèi)僅進口斷面設立了水文測站可獲取徑流數(shù)據(jù)，進口斷面下游再無水文站設立，因次無法分析河段內(nèi)流量損失規(guī)律，而得出式（4）的假設前提是流量沿河長均勻損失，即河段內(nèi)流量損失率等價于，這與實際情況必然存在差異。綜合以上，最小功模式下流速進行河段平均后的值與進口斷面測流速值相比偏小。

4.2 維持4 000 m3/s平灘流量應控制的河底坡降范圍

河段平灘流量是表示河道斷面形態(tài)的重要指標，河底坡降是河床縱剖面的重要指標。4.1 節(jié)的結(jié)果表明，河段最小功平均流速不僅能對水沙條件的變化迅速做出響應，且與水沙條件存在相關(guān)性較高的冪函數(shù)關(guān)系。因此在圖7（a）中點繪出黃河口尾閭段準平衡狀態(tài)下五個時段的平灘流量與河段最小功平均流速的關(guān)系，得到與存在相關(guān)程度較高的線性關(guān)系（R2＞0.9）：

圖7 河段最小功平均流速與河段平灘流量和河底坡降的關(guān)系Fig.7 The relationship between the average flow velocity of the river reach with minimum work and the flat discharge of the river reach and the channel slope

又根據(jù)實測地形數(shù)據(jù)，可得尾閭段河底坡降J與河段最小功平均流速存在以下線性關(guān)系［圖7（b）］：

為維持黃河口尾閭段平灘流量在4 000 m3∕s 以上，故應滿足下式：

根據(jù)式（11）和式（12），得到黃河口尾閭段的河底坡降范圍應控制在：

由圖8點繪的黃河口尾閭段河底坡降實測值隨年際變化過程和實測河段平灘流量調(diào)整過程［11］可知，黃河口尾閭段的河底坡降趨于調(diào)平，且式（13）所提供的河底坡降范圍與尾閭段實際情況相符。2008-2016 年，河段平灘流量均在4 000 m3∕s 以上，且同時期的河底坡降J滿足式（13）。由此可見，要使黃河口尾閭段的主槽過流能力在日后繼續(xù)維持在4 000 m3∕s 以上，河底坡降的控制范圍應滿足式（13）。

圖8 黃河口尾閭段河底坡降隨年際變化過程Fig.8 The interannual variation process of channel slope in the tail reach of the Yellow River Estuary

5 結(jié) 論

研究重點闡述了河流縱剖面演變最小能耗原理的基本原理與研究方法，并將其應用在黃河口尾閭段，發(fā)現(xiàn)尾閭段在處于準平衡狀態(tài)的前提下，河段最小功平均流速與來水來沙條件和河段平灘流量之間均存在某種特定的函數(shù)關(guān)系。得到結(jié)論如下：

（1）黃河口尾閭段的河床縱剖面演變遵循河床縱剖面演變最小能耗原理，且在準平衡時期，尾閭段的最小功平均流速與同時期的汛期平均流量、含沙量以及汛期平均水流沖刷強度之間的關(guān)系為正相關(guān)關(guān)系，與河段平灘流量之間則為負相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)均大于0.9。

（2）通過準平衡時期黃河口尾閭段的最小功平均流速與河段平灘流量和河底坡降的函數(shù)關(guān)系，可估算黃河口尾閭段實現(xiàn)維持平灘流量4 000 m3∕s 的河底坡降范圍，并基于實測資料得到河底坡降范圍應在0～0.087 之間，該結(jié)果與尾閭段的實際情況相符。

（3）河段最小功平均流速的數(shù)學表達式與河床縱剖面形態(tài)密切相關(guān)，本研究采取對縱剖面形態(tài)作三次曲線擬合，有4個待定系數(shù)，因此最終推導出的是形式較為復雜的河段最小功平均流速數(shù)學表達式。若對河床縱剖面形態(tài)作二次曲線擬合甚至線性擬合，數(shù)學表達式的推導過程和形式也會隨曲線擬合次數(shù)減少而變得更簡單，但河段最小功平均流速的計算精度也會相應下降。

（4）研究所涉及的黃河口尾閭段準平衡年份較少（僅10年），因此可能會導致的計算結(jié)果以及函數(shù)關(guān)系與實際情況有所偏差。此外，由于黃河口尾閭段水文測站較少，尚缺乏有效數(shù)據(jù)分析河段流量損失率，因而無法估算出符合實際情況的河段最小功平均流速大小。因此，黃河口尾閭段最小功河段平均流速與準平衡狀態(tài)下平灘流量的變化特征依舊需要進一步深入研究。