徐艷春，闞銳涵，謝莎莎，MI Lu

（1.梯級水電站運(yùn)行與控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（三峽大學(xué)），湖北宜昌 443002；2.德克薩斯農(nóng)工大學(xué)電氣與計(jì)算機(jī)工程系，美國德州 77840）

0 引言

在能源結(jié)構(gòu)低碳化轉(zhuǎn)型背景下，構(gòu)建以新能源為主體的新型電力系統(tǒng)將成為實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、碳中和目標(biāo)的重要手段，這使得電力系統(tǒng)從確定性系統(tǒng)向強(qiáng)不確定性系統(tǒng)轉(zhuǎn)變[1]。在源側(cè)，可再生能源發(fā)電受到氣象條件與環(huán)境因素的影響，其出力表現(xiàn)出間歇性與波動性；在荷側(cè)，供需日益頻繁，伴隨著用戶側(cè)光伏與儲能的發(fā)展[2]，負(fù)荷表現(xiàn)出時變性和隨機(jī)性[3]。新型電力系統(tǒng)中的分布式電源因含有非線性逆變器裝置，其給系統(tǒng)帶來的諧波問題越來越受到廣泛重視[4]。因此，研究不確定性背景下[5-9]的概率諧波潮流對提高電能質(zhì)量有著重要意義。

概率諧波潮流的研究方法主要分為模擬法、解析法、近似法3 類。蒙特卡洛法[10]（Monte Carlo，MC）在不確定性問題的建模上由于采樣數(shù)量多、精度高、計(jì)算效率偏低，通常被用作衡量其他方法的標(biāo)準(zhǔn)[11]。解析法計(jì)算復(fù)雜，會造成更大的近似誤差，難以求解。而近似法所得結(jié)果可近似于真實(shí)值，主要以點(diǎn)估計(jì)法（Point Estimate Method，PEM）為代表[12]。文獻(xiàn)[13]提出一種基于改進(jìn)的三點(diǎn)估計(jì)法和局部電壓穩(wěn)定指標(biāo)的含風(fēng)電場電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定評估方法。文獻(xiàn)[14]分析了不同分布特征的風(fēng)機(jī)在大型傳輸系統(tǒng)下的概率諧波傳播。文獻(xiàn)[15]將點(diǎn)估計(jì)法與區(qū)間仿射法相結(jié)合，提供了一種處理背景諧波電壓與光伏諧波電流相互作用的方法。但文獻(xiàn)[14-15]都為單一諧波源，且輸出結(jié)果受輸入隨機(jī)變量分布的限制。文獻(xiàn)[16]將點(diǎn)估計(jì)法與最大熵分布結(jié)合，提升了計(jì)算效率。

綜上所述，目前概率諧波潮流計(jì)算的難點(diǎn)在于如何兼顧以下多方面的需求：一是要將輸出隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征、概率密度全部求出；二是既要保證計(jì)算精度，又要提高計(jì)算效率。為此，本文提出了一種基于改進(jìn)三點(diǎn)估計(jì)法與最大熵理論（Improved Three-point Estimate Method and Maximum Entropy，ITPEM&ME）的概率諧波潮流計(jì)算方法，以便有效解決概率諧波潮流計(jì)算中存在的問題。

本文從概率理論出發(fā)，針對配電網(wǎng)中不確定因素導(dǎo)致的諧波問題展開研究：在傳統(tǒng)三點(diǎn)估計(jì)法基礎(chǔ)上通過增加1 組估計(jì)點(diǎn)改變原有權(quán)重，重新構(gòu)建風(fēng)-光-荷的概率模型，避免了引入輸入隨機(jī)變量的高階矩而造成的較大誤差，進(jìn)而在保證精度的前提下提高工作效率；在所構(gòu)建的概率模型的基礎(chǔ)上引入最大熵理論，對輸出變量的概率密度函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，從而對其分布特征進(jìn)行精確擬合；在IEEE33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)上分別對不同工況下的諧波潮流進(jìn)行分析，從改善諧波電壓精度方面證明了所提方法的可行性和實(shí)用性，可用以提高電能質(zhì)量[17-18]。

1 改進(jìn)三點(diǎn)估計(jì)與最大熵理論

1.1 改進(jìn)三點(diǎn)估計(jì)

本節(jié)從統(tǒng)計(jì)特征求取以及概率密度函數(shù)擬合兩方面對改進(jìn)三點(diǎn)估計(jì)法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于ITPEM&ME 的概率諧波潮流算法，用以分析評估系統(tǒng)狀態(tài)。

點(diǎn)估計(jì)法根據(jù)求得的n個風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷的出力作為輸入隨機(jī)變量Xi(i=1,2,...,n)的m個估計(jì)點(diǎn)xi,j(j=1,2,...,m)及權(quán)重wi,j，來獲得一系列概率分布，估計(jì)出待求輸出變量諧波電壓Z的數(shù)字特征。估計(jì)點(diǎn)xi,j和權(quán)重wi,j如式（1）和式（2）所示：

式中：xi,j為第i個風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷出力的第j個估計(jì)點(diǎn)；μi和σi分別為第i個風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷出力波動的期望和標(biāo)準(zhǔn)差；ξi,j為第i個風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷出力的第j個估計(jì)點(diǎn)xi,j所對應(yīng)的位置系數(shù)，由風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷出力波動的標(biāo)準(zhǔn)化中心矩獲得。

式中：wi,j為第i個風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷出力波動的第j個估計(jì)點(diǎn)對應(yīng)的權(quán)重。

為了提高諧波電壓在期望值處的權(quán)重，新增估計(jì)點(diǎn)處的新位置系數(shù)ξ′i,j及相對應(yīng)的權(quán)重如式（3）所示：

式中：ξ′i,1，ξ′i,2分別為第i個風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷出力波動的第1，2個估計(jì)點(diǎn)的新位置系數(shù)；w′i,j為第i個風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷出力波動的第j個估計(jì)點(diǎn)對應(yīng)的新權(quán)重。

新位置系數(shù)ξ′i,j忽略了峰度系數(shù)λi,3，能夠更好地改善尾部特征，因此只需考慮新估計(jì)點(diǎn)的權(quán)重w′i,j的前3 階矩即可使計(jì)算結(jié)果更加精確。

將式（3）中的ξ′i,1，ξ′i,2帶入式（1），得到1 組新的估計(jì)點(diǎn)x′i,j如式（4）所示：

進(jìn)而估計(jì)待求輸出變量諧波電壓Z的原點(diǎn)矩E′(Zl)如式（5）所示：

式中：g(Xμ)為風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷出力取各自數(shù)學(xué)期望時對應(yīng)的函數(shù)值，反映了風(fēng)機(jī)、光伏和負(fù)荷出力與諧波電壓之間的非線性關(guān)系；μn為第n個隨機(jī)變量的期望值；w0為當(dāng)估計(jì)點(diǎn)取期望值時對應(yīng)的權(quán)重；l為待求變量諧波電壓的原點(diǎn)矩階數(shù)。

所提算法在兩點(diǎn)估計(jì)基礎(chǔ)上額外增加1 組估計(jì)點(diǎn)x′i,j構(gòu)造多重采樣點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征的精確求解，其期望值取自所有函數(shù)值線性疊加后的算數(shù)平均值。與多點(diǎn)估計(jì)法相比，改進(jìn)三點(diǎn)估計(jì)法僅考慮前3 階矩，避免了計(jì)算高階矩的需求，從而既保證了計(jì)算精度，又可避免引入高階矩，使三點(diǎn)采樣更具實(shí)際價值。

1.2 最大熵理論

傳統(tǒng)點(diǎn)估計(jì)（Point Estimate Method，PEM）常與Gram-Charlier（GC）級數(shù)展開[19]相結(jié)合（PEM&GC）求取輸入隨機(jī)變量的概率密度。針對輸出結(jié)果統(tǒng)計(jì)特性描述的需要，本文通過將改進(jìn)三點(diǎn)估計(jì)與最大熵理論結(jié)合對統(tǒng)計(jì)特征的求取方面做出進(jìn)一步改進(jìn)。

最大熵理論是以Z的熵取最大值為目標(biāo)函數(shù)，以Z的前4 階原點(diǎn)矩作為約束條件，通過求解非線性方程可獲取Lagrange 系數(shù)λ0,λ1,...,λ4，最終得到的最大熵概率密度函數(shù)如式（6）所示：

式中：fZ(z)為諧波電壓Z的概率密度函數(shù)；exp 為自然常數(shù)e 為底的指數(shù)函數(shù)；λ0和λl分別為Lagrange系數(shù)的初值和第l階原點(diǎn)矩；zl為Z的第l階原點(diǎn)矩。

由此可見，最大熵的概率擬合只需要隨機(jī)變量的前4 階統(tǒng)計(jì)矩作為有限的約束條件。相比于GC級數(shù)需要求取隨機(jī)變量的前7 階統(tǒng)計(jì)矩甚至更多的情況，最大熵理論對未知信息作最少的設(shè)定，從而獲得更客觀的概率分布。

2 概率諧波潮流計(jì)算實(shí)現(xiàn)框架

2.1 諧波潮流計(jì)算模型

電力系統(tǒng)中的諧波源包括傳統(tǒng)的非線性設(shè)備及現(xiàn)代電力電子裝置兩大類。當(dāng)系統(tǒng)中接入分布式電源時，其中存在的非線性電力電子器件通過頻繁開關(guān)實(shí)現(xiàn)電力轉(zhuǎn)換，因而產(chǎn)生一系列諧波分量，其來源如圖1 所示。

圖1 諧波源來源示意圖Fig.1 Schematic diagram of source of harmonic

現(xiàn)有諧波潮流計(jì)算方法主要有統(tǒng)一迭代法、交替迭代法、直接求解法和解耦法4 種求解方法。由于諧波潮流是基波潮流在非線性元件中轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的，因此基波潮流與諧波潮流兩者之間存在相互耦合的關(guān)系，計(jì)算時可將非線性元件進(jìn)行線性化處理[20]，由各諧波源節(jié)點(diǎn)的注入諧波電流通過諧波網(wǎng)絡(luò)方程求解各節(jié)點(diǎn)諧波電壓，如式（7）所示:

式中：Ih為h次諧波電流矩陣；Yh為h次諧波導(dǎo)納矩陣；Uh為h次諧波電壓矩陣。

本文采用解耦法[21]并根據(jù)文獻(xiàn)[22]所提的諧波潮流模型來求解計(jì)及配電網(wǎng)中風(fēng)-光-荷不確定性的概率諧波潮流問題，在提高計(jì)算精度的同時進(jìn)一步減少計(jì)算量。

2.2 基于ITPEM&ME的諧波潮流的計(jì)算

假設(shè)源荷之間只考慮風(fēng)速、光照強(qiáng)度及負(fù)荷的波動且彼此獨(dú)立互不干擾。將各節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷需求、風(fēng)電機(jī)組的有功無功出力以及光照強(qiáng)度不同的出力看作輸入隨機(jī)變量，節(jié)點(diǎn)電壓看作輸出變量，帶入ITPEM&ME 算法中將不確定性問題確定化。

基于ITPEM&ME 的概率諧波潮流求解流程如圖2 所示。其中，k和k′為諧波潮流計(jì)算的次數(shù)。

圖2 基于ITPEM&ME的概率諧波潮流計(jì)算流程圖Fig.2 Flow chart of probabilistic harmonic power flow calculation based on ITPEM&ME

3 算例分析

3.1 仿真系統(tǒng)

本文基于IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[23]展開分析，系統(tǒng)的接線圖如圖3 所示。其中，OLTC 為有載分接開關(guān)，PV 為16 節(jié)點(diǎn)接入風(fēng)機(jī)電源，W 為30 節(jié)點(diǎn)接入光伏電源。

圖3 IEEE33系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)接線圖Fig.3 Node connection for IEEE 33 system

風(fēng)機(jī)模型采用正態(tài)分布，光伏模型采用Beta 分布。當(dāng)風(fēng)機(jī)與光伏之間相互獨(dú)立時，分別在節(jié)點(diǎn)16與節(jié)點(diǎn)30 接入風(fēng)機(jī)與光伏，并作為諧波源節(jié)點(diǎn)，本文以諧波源產(chǎn)生的5 次諧波和7 次諧波為例，諧波電流含有率分別取自文獻(xiàn)[24]和文獻(xiàn)[25]，各次諧波的諧波含有率如表1 所示。

表1 各次諧波含有率Table 1 Each harmonic ratio

3.2 算例分析

3.2.1 統(tǒng)計(jì)特征比較

計(jì)及風(fēng)速波動對接入風(fēng)機(jī)出力影響較大，為證明本文所提方法的準(zhǔn)確性與可行性，通過4 種工況對概率諧波潮流進(jìn)行分析計(jì)算。

1）工況1：5 次諧波，風(fēng)速7 m/s。

2）工況2：5 次諧波，風(fēng)速13.5 m/s。

3）工況3：7 次諧波，風(fēng)速7 m/s。

4）工況4：7 次諧波，風(fēng)速13.5 m/s。

以10 000 次MC 模擬得到的概率諧波電壓結(jié)果作為參考，將期望值及標(biāo)準(zhǔn)差的誤差指標(biāo)作為算法準(zhǔn)確度的評價指標(biāo)，對所求得的概率諧波潮流的精確性進(jìn)行分析。

定義期望的相對誤差如式（8）所示：

式中：μMC為由MC 得到的Z的期望值；μPEM為不同點(diǎn)估計(jì)法得到的Z的期望值。

定義標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差如式（9）所示：

式中：σMC為由MC 得到的Z的標(biāo)準(zhǔn)差；σPEM為由不同點(diǎn)估計(jì)法得到的Z的標(biāo)準(zhǔn)差。

2 種算法計(jì)算得到的相對誤差結(jié)果如表2 所示。

表2 2種算法的諧波電壓統(tǒng)計(jì)特征相對誤差Table 2 Relative error of statistical characteristics for harmonic voltages with two algorithms /%

從表2 中可以看出，2 種算法在求解風(fēng)光兩諧波源節(jié)點(diǎn)的諧波電壓時，ITPEM&ME 法的相對誤差更小。2 種方法在期望值的相對誤差上差異性并不大，均未超過0.000 1%，在標(biāo)準(zhǔn)差方面，ITPEM&ME算法在16 節(jié)點(diǎn)所求得的相對誤差在4 種工況下分別比PEM&GC 法低0.016 4%，0.016 4%，0.016 6%和0.016 3%，在30 節(jié)點(diǎn)所求得的相對誤差在4 種工況下分別比PEM&GC 法低0.036 6%，0.034 1%，0.037 4%和0.035 8%，最高相對誤差達(dá)到了近0.04%。這是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是通過1 階、2 階原點(diǎn)矩計(jì)算得到的，在估計(jì)點(diǎn)采樣時，ITPEM&ME 更加完善了采樣點(diǎn)的尾部特征，而PEM&GC 忽略了這一點(diǎn)，導(dǎo)致隨機(jī)變量的各階原點(diǎn)矩因誤差累積逐漸增大。因此，在處理輸入變量不確定的問題時，本文提出的ITPEM&ME 算法使用少量采樣點(diǎn)即可得到精確的輸出諧波電壓，有效提高了傳統(tǒng)模型的效率，相比于其他方法優(yōu)勢明顯。

表3—表6 為不同變異系數(shù)約束下4 種工況在采用2 種不同算法時計(jì)算得到的諧波電壓的相對誤差。其中，表示PEM&GC 的期望相對誤差，表示ITPEM&ME 的期望相對誤差，表示PEM&GC的標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差，表示ITPEM&ME 的標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差。

表3 工況1下2種算法的諧波電壓相對誤差Table 3 Relative error of harmonic voltages with two algorithms under condition 1 %

表4 工況2下不同算法的諧波電壓相對誤差Table 4 Relative error of harmonic voltages with two algorithms under condition 2 %

表5 工況3下不同算法的諧波電壓相對誤差Table 5 Relative error of harmonic voltages with two algorithms under condition 3 %

表6 工況4下不同算法的諧波電壓相對誤差Table 6 Relative error of harmonic voltages with two algorithms under condition 4 %

從表3—表6 可以看出，變異系數(shù)的增大導(dǎo)致風(fēng)-光-荷之間的不確定性增強(qiáng)，因此算法之間求得統(tǒng)計(jì)特征的誤差也隨著不確定性的增大而增大。當(dāng)變異系數(shù)為0.20 時，IPEM&ME 相較于PEM&GC的相對誤差更小。因此，IPEM&ME 在不同風(fēng)速及不同次諧波下的諧波電壓的統(tǒng)計(jì)特征仍具有較高的精度，說明本文所提出的ITPEM&ME 方法準(zhǔn)確性更高，有效提高了傳統(tǒng)模型的效率。

3.2.2 分布特征比較

在4 種工況下，針對ITPEM&ME 與PEM&GC和 MC 在概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）重構(gòu)上的不同進(jìn)行對比分析，結(jié)果如圖4—圖7 所示。

圖4 工況1下諧波源節(jié)點(diǎn)的PDFFig.4 PDF for photovoltaic and wind turbine nodes under condition 1

圖5 工況2下諧波源節(jié)點(diǎn)的PDFFig.5 PDF for photovoltaic and wind turbine nodes under condition 2

圖6 工況3下諧波源節(jié)點(diǎn)的PDFFig.6 PDF for photovoltaic and wind turbine nodes under condition 3

圖7 工況4下諧波源節(jié)點(diǎn)的PDFFig.7 PDF for photovoltaic and wind turbine nodes under condition 4

由圖4—圖6 可以看出，本文提出的ITPEM&ME方法相比于傳統(tǒng)的PEM&GC 方法在4 種不同工況下的概率密度估計(jì)曲線均最貼近MC 模擬出的真實(shí)情況。這是因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)接入風(fēng)機(jī)后，由于風(fēng)速的波動性極強(qiáng)，風(fēng)機(jī)節(jié)點(diǎn)的出力一般具有較高的高階累積量，導(dǎo)致在概率密度擬合時最大熵理論只以輸入的諧波電壓的前4 階原點(diǎn)矩作為約束條件，通過拉格朗日乘數(shù)法求出概率密度函數(shù)，而PEM&GC 求出諧波電壓的前7 階原點(diǎn)矩和半不變量對級數(shù)進(jìn)行展開擬合，因此累積造成誤差。由此證明了利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出的各階統(tǒng)計(jì)矩作為約束條件來近似得出待求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)更為合理，也進(jìn)一步驗(yàn)證了所提ITPEM&ME 方法在具備高度精確性的同時也可有效地保證概率密度估計(jì)的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

本文針對配電網(wǎng)中存在風(fēng)機(jī)、光伏及負(fù)荷的出力不確定問題，提出了ITPEM&ME 方法，從統(tǒng)計(jì)特征求取以及概率密度函數(shù)擬合兩方面對其進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了對諧波電壓及其統(tǒng)計(jì)特征高效求解的效果，既保證了計(jì)算精度，又提高了計(jì)算效率。具體結(jié)論如下：

1）考慮到風(fēng)-光-荷的隨機(jī)性與波動性對配電網(wǎng)造成的影響，提出改進(jìn)三點(diǎn)估計(jì)模型解決諧波潮流問題。所提算法計(jì)算效率更高，能夠?qū)﹄S機(jī)性輸入變量作出更精確近似。

2）通過最大熵理論對求得的諧波電壓分布進(jìn)行精確擬合，簡化計(jì)算的同時提高了精度，且求得的概率密度函數(shù)更接近實(shí)際情況。

3）所提算法準(zhǔn)確度較高，統(tǒng)計(jì)得到的諧波電壓的期望和方差等統(tǒng)計(jì)特征均優(yōu)于PEM&GC 方法，因此可更精確地處理配電網(wǎng)中存在的風(fēng)-光-荷不確定性問題。

在對諧波電壓的統(tǒng)計(jì)信息進(jìn)行估計(jì)時，忽略了風(fēng)機(jī)和光伏之間存在的相關(guān)性造成誤差，故在下一步的研究中應(yīng)添加風(fēng)機(jī)與光伏的相關(guān)性，進(jìn)一步分析其對諧波潮流的影響。