導(dǎo)數(shù)的幾何意義即：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn) x?處的導(dǎo)數(shù)f'（x）就是曲線 y=f（x）在點(diǎn)P（xoy?）處的切線的斜率，即k=f'（xo）.導(dǎo)數(shù)的幾何意義在解高中數(shù)學(xué)題中應(yīng)用廣泛，常用于求曲線上某點(diǎn)的切線的方程、斜率，研究曲線的變化情況，判斷函數(shù)的單調(diào)性.下面主要談一談如何巧妙運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解兩類題.

一、求曲線上某點(diǎn)處的切線方程

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線y=f（x）在點(diǎn)P（xo-y?）處切線的斜率為h=f'（x?）， 則在該點(diǎn)處的切線方程為 y-f（xo）=f（xo）（x-xo）. 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點(diǎn)處的切線方程的步驟為：（1）求出函數(shù) f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）;（2） 將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入 f'（x）， 得到切線的斜率f'（xo）;（3）化簡(jiǎn)切線的方程y-yo=f'（xo）（x-xo）.

例1.若函數(shù) f（x）=x?+（a-1）x?+ax 為奇函數(shù)，則曲線 y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為? .

解

例2.已知 ，求曲線 y=f（x）過點(diǎn) P（2，4）的切線的方程.

解：

解此題時(shí)要特別注意審題，明確"過點(diǎn)"與"過切點(diǎn)"的區(qū)別.若題目中未明確說明曲線過切點(diǎn)，則需分該點(diǎn)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論.

若切線的方程中含有參數(shù)，或切點(diǎn)用參數(shù)表示，則需根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程，再根據(jù)切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，建立方程組，即可通過解方程求得參數(shù)的值.

二、求兩條曲線的公切線方程

兩條曲線的公切線是指其中一條曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，通常需根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于斜率的關(guān)系式.若公切線l 與其中一條曲線 y=f（x） 的切點(diǎn)為P（x?f（x）），?? 與另一條曲線y=g（x）的切點(diǎn)為Q（x?，g（x?），? 根據(jù)直線的斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得 ，通過解方程求得x 、x?， 即可根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程、點(diǎn)斜式方程求得公切線l 的方程.

例3.

解：

解答本題，需根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義明確y=√x 和 在點(diǎn)（xo√?） 處的導(dǎo)函數(shù)即為該點(diǎn)處公切線 l 的斜率，據(jù)此建立關(guān)于xo 的方程，通過解方程求得 x?的值，即可根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求得公切線的方程.

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵要明確函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，這樣就將函數(shù)的解析式與曲線、直線、直線的方程關(guān)聯(lián)起來，通過數(shù)形互化，快速求得問題的答案.

（作者單位：胡奇云，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院；周堃，成都師范學(xué)院德陽(yáng)高級(jí)中學(xué)）