辛瑋　汪路軍　劉煜　張學典　劉學靜

關鍵詞：三芯光纖；分布式形狀傳感；有限元；光頻域反射儀；應變

中圖分類號：O 439 文獻標志碼：A

引言

光纖形狀傳感是近年來一個新的研究方向，該技術在航天變形翼形狀監(jiān)測、手術導管跟蹤、長距離電纜變形監(jiān)測等場合都具有較高的應用價值[1-2]。光頻域反射法（optical frequency domainreflectometry， OFDR）可以做到分布式測量，利用鋪設在被測物體上的光纖，采用分布式測量光纖曲率的方法，通過一定的算法測量物體的形狀和位置，具有較高的空間分辨率。由于多芯光纖適用于大曲率情況，具有芯間各項同性等優(yōu)點，研究其重構(gòu)算法具有很大意義。

Miller 等[3] 提出將光纖近似劃分為圓弧，根據(jù)密切圓理論重構(gòu)算法由分布式應變測量數(shù)據(jù)研究二維光纖形狀傳感。 Duncan 等[4] 結(jié)合OFDR技術，在一根1.1 m 的多芯光纖上蝕刻光纖布拉格光柵（fiber Bragg grating， FBG），實現(xiàn)了空間分辨率為1 cm 的二維和三維傳感。Moore 等[5]采用基于空間微分幾何的Frenet框架，將FBG傳感器置于多芯光纖中測量應變值，用數(shù)值方法求解相應方程，從而重構(gòu)了多芯光纖的形狀。Khan 等[6] 分別在形狀各異的模具中放入帶有FBG 傳感器的螺旋芯和直芯，發(fā)現(xiàn)螺旋芯更適合扭曲的測量應用。楊濠琨[7] 采用FBG曲面重構(gòu)算法對機器人觸手形狀進行了重構(gòu)。張新華[8]在基于正交曲率和Frenet 方程的三維重構(gòu)算法之上設計了基于FBG的無人機翼和蒙皮形變檢測系統(tǒng)。Khan 等[9] 利用Frenet框架，提出了一種基于四芯光纖的FBG 傳感器測量數(shù)據(jù)，重建醫(yī)療導管中心曲線的技術。傅程[10] 利用Frenet框架對光纖二維形狀進行了還原。國內(nèi)外研究現(xiàn)狀主要集中在FBG傳感器與二維層面，F(xiàn)BG 傳感器往往受限于環(huán)境變化的影響，而基于瑞利散射的OFDR 光纖傳感技術能帶來更高的空間分辨率，實現(xiàn)全分布式監(jiān)測[11]?，F(xiàn)有文獻中尚未發(fā)現(xiàn) OFDR 傳感器結(jié)合Frenet 框架的三芯光纖三維重構(gòu)的報道。

本文首先從理論上分析了光纖應變與光譜波長漂移量之間的物理關系，定義了三芯光纖表觀曲率向量，推出曲率和撓率的計算公式，引入Frenet-Serret 公式和插值擬合處理方法計算得出三維形狀還原曲線的積分方程； 接著利用ANSYS 有限元仿真軟件對S 形應變數(shù)據(jù)進行建模并提取，代入算法并重建S 形光纖；最后對重構(gòu)誤差進行分析并提出改進措施。

1 形狀重構(gòu)算法設計

1.1 理論基礎

光頻域反射技術通過測量傳感量產(chǎn)生的相位改變，采用相位補償思想，在解調(diào)后得到的光譜變化能反映應變、溫度等傳感量的變化程度[12]。瑞利背向散射光譜的變化受應變與溫度的影響可表示為

要實現(xiàn)三維空間形狀的測量，需要選取均勻分布的至少3根單模光纖或者三芯光纖對物體形狀改變的應變進行測量[13]。三芯光纖在彎曲時不容易受到損壞，具有較高的可靠性和可操作性，相比四芯或七芯光纖，三芯光纖更容易控制和操作，使得OFDR 測量更加精準、高效。此外，三芯光纖的體積小、成本低，可以更輕松地安裝在測量物體上，更好地滿足大規(guī)模的測量需求。因此，本文選擇三芯光纖作為研究對象。

在應變測量時，同一環(huán)境下溫度基本保持不變，因此溫度的變化往往可忽略。對K_ε進行標定之后，得到各個芯的頻譜漂移量和應變的對應關系。隨后采用合適的還原算法，對三維空間的光纖進行原始形態(tài)的還原。

郭雅美[14] 提出了基于OFDR形狀傳感重構(gòu)算法，本文在此基礎上，加入樣條插值擬合，具體流程如圖1 所示。

一般運用于形狀傳感的三芯光纖的截面圖如圖2所示。這里省略了涂覆層，光纖由纖芯、包層組成，纖芯之間以周向120°排布。θ_i是局部坐標系的y 軸正方向與第 個纖芯位置之間的角度，θ_b是局部坐標系中y 軸與光纖彎曲方向之間的角度，r 是纖芯與光纖幾何中心之間的距離。

2 分析與討論

2.1 模型建立

本文利用Ansys workbench 建立了三芯光纖有限元模型來驗證算法的正確性，選取有利于提高計算精度的solid186 單元，建立了如圖3 所示的簡化幾何模型，光纖總長為50 mm。三芯光纖材料的具體參數(shù)如表1 所示。

2.2 重構(gòu)分析

為了更好地展現(xiàn)出光纖的三維形變，本文設定的光纖變形情況為S 形彎曲，從平面S 形彎曲的基礎上拓展到空間S 形彎曲，分別測量出彎曲時的位移云圖與軸向應變分布圖，與應變分布的實際情況進行比較分析。最后將初始邊界條件和纖芯彎曲數(shù)據(jù)代入相關公式，運用本文算法重構(gòu)出三芯光纖的曲線方程。

首先在15 mm 和35 mm 處分別施加兩個方向相反的1 mm 位移載荷，使三芯光纖產(chǎn)生二維面上的S 形彎曲，求解后得到的位移云圖如圖4 所示。

結(jié)合光纖長度分別提取3 個纖芯的軸向應變值，繪制了平面S 彎曲時3 個纖芯的軸向應變分布曲線圖，如圖5 所示。

拓展到三維空間，將原35 mm 處所施加徑向1 mm 位移載荷轉(zhuǎn)換到正交方向，其余條件不變，使三芯光纖產(chǎn)生空間S 形彎曲，提取3 個纖芯應變數(shù)據(jù)，通過本文算法重構(gòu)光纖的形狀。求解后得到的位移云圖如圖6 所示。

結(jié)合光纖長度分別提取3 個纖芯的軸向應變值，繪制了空間S 彎曲時3 個纖芯的軸向應變分布曲線圖，如圖7 所示。

由圖4、5 可知，平面S 彎曲時兩端位移較小，彎曲部位位移最大，最大值為0.001 m 左右，光纖上的位移分布與彎曲情況相符；纖芯2 和纖芯3 應變分布曲線幾乎重疊，變化走勢趨于一致，和纖芯1 的變化趨勢相反，在光纖的末端應變值趨于0。應變分布符合平面上S 彎曲時纖芯的實際情況。

由圖6、7 可知，空間S 彎曲時兩端位移較小，彎曲部位位移最大，最大值為0.001 m 左右，光纖上的位移分布與彎曲情況相符。纖芯1 和纖芯2 的軸向應變值趨勢一致，和纖芯3 相反，在光纖的末端應變值趨于0。應變分布符合空間S 彎曲時纖芯的實際情況。

將初始邊界條件和纖芯彎曲數(shù)據(jù)代入式（10）和式（14），即可重構(gòu)出三芯光纖的曲線方程。三芯光纖的重構(gòu)曲線方程可由初始邊界條件和纖芯應變數(shù)據(jù)得到，對于光纖實際曲線，在ANSYS 仿真軟件的模型中間建立path，分別提取每個位置在x， y 方向的變形得到。圖8 所示為光纖實際曲線對比重構(gòu)曲線圖，由圖可知，該算法還原光纖三維形狀的效果非常好。

由圖可見，位置誤差隨著光纖長度的增加逐漸增加，最大位置誤差在末端。誤差來源主要是對彎曲曲率和彎曲方向的樣條插值誤差以及Frenet 框架還原會出現(xiàn)奇異點等問題。均方根誤差計算結(jié)果為0.996 mm，計算得到單位長度誤差最大值為0.082 4%。

3 結(jié)論

本文設計了基于Frenet-Serret 框架的OFDR三維形狀重構(gòu)算法，并利用有限元仿真軟件Ansys workbench 建模S 形彎曲時的三芯光纖，提取應變進行了算法驗證。通過OFDR 瑞利散射光譜波長漂移可以得到纖芯的應變分布數(shù)據(jù)，再結(jié)合本文的重構(gòu)算法可以重構(gòu)三芯光纖的形狀。因為運用OFDR 設備進行實驗獲取應變數(shù)據(jù)比較繁瑣，本文直接利用有限元軟件仿真三芯光纖三維形狀的S 形變化，并且得到每個纖芯的離散應變數(shù)據(jù)以及空間坐標系下的坐標數(shù)據(jù)。本文還原算法存在累積誤差，即位置誤差隨著光纖長度的增加逐漸增加，誤差來源主要是3 次樣條插值時產(chǎn)生的誤差以及Frenet 框架還原會出現(xiàn)奇異點等問題。均方根誤差計算結(jié)果為0.996 mm，單位長度誤差最大值為0.0824%。未來將采用更高階的樣條插值方法，減小3 次樣條插值處理時帶來的誤差；在還原過程中將曲率限制在一個合理的范圍內(nèi)，從而有效避免還原時奇異點問題。本研究為更深入地研究OFDR 形狀檢測提供了重要的理論基礎，研究結(jié)果具有一定的工程應用價值。未來將以本研究為基礎，進一步探討減小算法累積誤差的方法，探究長尺寸、大形變的光纖重建。