袁 笑 徐 銘 謝世偉 高子聰 茍欣迪

(中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)部 青島 266100)

0 引言

在水聲領(lǐng)域，深度的估計與判別一直是重點難點問題?；诤喺B(tài)的深度識別與估計方法受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1?2]。郭曉樂等[3]提出了一種利用簡正波模態(tài)消頻散來對聲源進行定位的方法。郭良浩等[4]利用水平陣模態(tài)域波束形成判別聲源深度，根據(jù)聲源波數(shù)譜結(jié)構(gòu)和波數(shù)位置的不同來分辨近水面聲源和水下聲源。曹懷剛等[5]介紹了一種基于簡正模態(tài)相位關(guān)系的淺海聲源深度分辨方法，適用于海水聲速隨深度不變或緩變的水文環(huán)境。另外，于喜鳳等[6]介紹了一種基于陣列不變量的淺海聲源深度分類方法。近年來，模態(tài)波束形成[7?10]被廣泛用于水下目標(biāo)定位。模態(tài)波束形成器是一種作用在模態(tài)域的線性波束形成器，其對水平距離和深度的定位精度很大依賴于獲取的模態(tài)數(shù)目。簡正波理論將水聽器接收到的聲場分解為多號簡正波的疊加，并指出短垂直陣能夠?qū)Ω唠A簡正波完整采樣，但對聲場貢獻較大的低階簡正波采樣不充分。而具有較少陣元但覆蓋了整個水層的稀疏陣能完整采樣低階模態(tài)，卻對高階模態(tài)采樣不足。有限的模態(tài)數(shù)直接影響了聲源水平距離和深度的定位精度。一般來說，水平距離的估計精度可以在千米量級，而對深度的估計精度在百米級，前者可以接受，但對于深度的估計精度卻不能滿足實際需求。這就促使學(xué)者們尋找高精度深度估計的方法。另外，在混響環(huán)境中定位散射體也需要提高對深度估計的精度。例如，如果混響來自海底，想要知道混響是來自海山還是斷裂區(qū)域，只有精確地知道散射體的深度才能回答這一問題。

傳統(tǒng)的波束形成方法雖具有較好的穩(wěn)健性，但得到的主瓣較寬和旁瓣較高。許多高精度算法依賴于信號協(xié)方差矩陣的準(zhǔn)確估計，如最小方差無畸變響應(yīng)(Minimum variance distortionless response,MVDR)和多信號分類(Multiple signal classification,MUSIC)算法，其具有較窄的主瓣和較低的旁瓣，但是，這些算法對信號失配很敏感—信號失配會導(dǎo)致部分信號被當(dāng)作噪聲或干擾，從而降低算法性能。為了降低對失配的敏感度，MVDR 算法加入了另外的限制條件對其進行改進，如加入白噪聲增益(White noise array gain,WNG)限制[11]或分布源限制條件[12]，在獲得相比原有MVDR 算法略寬主瓣的同時保持較低的旁瓣。這些算法對協(xié)方差矩陣進行對角加載，但是加載值通常是未知的，需要通過迭代搜索得到。此類高精度算法的另一個問題是信號的協(xié)方差矩陣是未知的，時常被采樣協(xié)方差矩陣代替；假定接收到的信號是穩(wěn)態(tài)的，那么采樣協(xié)方差矩陣需要足夠多的信號樣本(一般是接收器數(shù)目的2～3 倍)，以確保在波束輸出時能快速收斂且能量損失最小[13]；在非穩(wěn)態(tài)的環(huán)境中，例如當(dāng)存在方向變化速率較大的運動聲源時，用于計算協(xié)方差矩陣的樣本數(shù)目變得相對較小，即所謂的快拍欠缺條件[14]。在這些(快拍欠缺)條件下，高精度算法性能較低，如果忽略非穩(wěn)態(tài)條件仍然對由多個樣本得到的協(xié)方差矩陣進行平均處理，波束形成器的抗干擾能力將大大降低。MUSIC 算法是一種典型的空間譜估計技術(shù)，但在低信噪比(Signal to noise ratio,SNR)和小快拍數(shù)的條件下，MUSIC 算法的分辨力下降，估計性能顯著降低；另外，對于相干源的分辨，MUSIC算法失效。

基于線性系統(tǒng)的去模糊問題在工程應(yīng)用中很常見，其本質(zhì)上是一個線性求逆問題，通常被表示為第一類弗雷德霍姆積分方程的形式：

從被模糊了的輸出a(y)還原出輸入c(x)是一個不適定問題：a(·)和g(·)中很小的改變會導(dǎo)致該問題解的巨大變化。特別地，在非負條件下線性系統(tǒng)的求逆問題受到廣泛關(guān)注。Vardi 等[15]指出非負條件下確定性的線性逆問題可以被認為是一個基于有限觀察樣本的統(tǒng)計估計問題，這就允許使用弱大數(shù)定律；因此，最大似然估計法和最大期望算法提供了一個解決此類問題的直接辦法。Synder 等[16]也解決了相同的問題，他總結(jié)到基于最小Csiszár’s I-散度(Minimum Csiszár’s I-divergence,MCID)的解漸進地等效于某些特定的最大似然估計。

本文將最小Csiszár’s I-散度原理和模態(tài)波束形成相結(jié)合，提出了一種新的高精度深度估計方法。仿真結(jié)果表明，與上述經(jīng)典方法相比有如下優(yōu)勢：

(1) 相比于傳統(tǒng)的波束形成方法，能夠?qū)崿F(xiàn)深度的高精度定位且抑制旁瓣能量；

(2) 在低SNR 和小快拍數(shù)的情況下，對于非相干聲源，深度分辨性能更加顯著。另外，能夠更好實現(xiàn)對相干聲源的定位。

SWellEx-96 實驗進一步驗證了在小快拍數(shù)條件下，本文提出深度定位方法的有效性。

1 理論模型

1.1 模態(tài)波束形成

模態(tài)波束形成將模態(tài)濾波和波束形成處理結(jié)合，實際上是一種工作在模態(tài)域的波束形成方法。對于絕熱簡正波聲場，距離信息只包含在信號的相位中，而深度信息包含在本征函數(shù)里，可以對垂直陣接收到的數(shù)據(jù)進行處理，分離出各階模態(tài)幅度和相位，再應(yīng)用傳統(tǒng)波束形成(Conventional beamforming,CB)方法原理，從而在模態(tài)域估計聲源的水平距離和深度。

由垂直陣接收到的聲場可以表示成各號簡正波的疊加形式：

其中，N代表垂直陣中的水聽器個數(shù)，M代表總的簡正波號數(shù)(高階簡正波被視作噪聲)；φi(zj)代表深度為zj時第i號模式的幅度；這里忽略海洋中的環(huán)境噪聲。模式系數(shù)ai是關(guān)于聲源水平距離和深度的函數(shù)：

其中，rs和zs分別代表聲源的水平距離和深度，ki代表第i號簡正波的水平波數(shù)。參考公式(2),φi(zs)可被稱作模式深度幅度，ai為模式距離幅度，或者簡單地說是模式幅度。模式深度幅度φi(zs)和水平波數(shù)ki可以通過簡正波程序計算得到，但是模式幅度ai是未知的，須從實驗數(shù)據(jù)中獲得。

從實驗數(shù)據(jù)中得到模式幅度被稱作模式分解或者模式濾波，其原理是利用各號簡正波間的正交性，通過空間積分將聲場投影到模式空間，從而從實驗數(shù)據(jù)中得到各號簡正波的模式幅度。將聲場p(zj)寫成N維向量的形式P，同樣模式幅度ai可以寫成M維向量的形式A，那么公式(2)寫成矩陣的形式為

其中，E是N×M維矩陣，每個矩陣分量Eji=φi(zj)。模式幅度向量A為

得到模式幅度向量A后，應(yīng)用模態(tài)波束形成(一種在波數(shù)域的求和延時算法)可以估計聲源位置：

其中，B是關(guān)于水平距離r和深度z的波束輸出。si代表第i階模態(tài)的導(dǎo)向矢量：

公式(6)將在聲源的實際水平距離和深度處取得最大值。當(dāng)取得的簡正波號數(shù)較大時，對于水平距離和深度的定位來說，分別有

可以認為，模態(tài)波束形成關(guān)于聲源水平距離和深度的定位函數(shù)公式(8a)和公式(8b)是CB在模態(tài)域的推廣。模態(tài)波束形成方法能夠?qū)崿F(xiàn)聲源定位的前提是已知各階模態(tài)的幅值大小和相位。水平距離和深度的估計精度很大程度上依賴于對向量A估計的準(zhǔn)確度。公式(5)是一個準(zhǔn)確的結(jié)果，但通常是奇異的，也就是說矩陣E+E通常會有一些接近0的本征值，這時可以直接用E+P對向量A近似估計，但定位結(jié)果就不夠準(zhǔn)確。如何對向量A進行準(zhǔn)確估計不在本文的考慮范圍內(nèi)。

1.2 最小Csiszár’s I-散度的迭代算法

Csiszár’s I-divergence 是信息論中一種刻畫兩個非負函數(shù)間差異的測度，也是積分區(qū)間不相等的兩個函數(shù)間Kullback-Leiber 距離的推廣。Csiszár[17]總結(jié)道如果需要比較的兩個函數(shù)是非負的，他提出的I-散度測度是唯一契合其提出公理的差異測度。對于非負的線性求逆問題，Synder 等[16]提出了一種最小差異測度的算法，該算法生成的序列具有許多良好的特性，如保證序列中每個估計值的非負性、單調(diào)收斂至全局最小值等，并且已經(jīng)被應(yīng)用在各種領(lǐng)域，例如，Lucy[18]和Richardson[19]將其應(yīng)用到圖像恢復(fù)問題中。Yang[20?21]將該序列應(yīng)用到目標(biāo)的方向估計問題，以實現(xiàn)目標(biāo)方位估計的高精度和基于短陣列的超分辨率性能；在他討論的問題中，類似于公式(1)，CB的波束能量可以表示成波束方向圖案和聲源(包括噪聲)分布的卷積形式，其等同一個線性系統(tǒng)，

這里的波束方向圖案Bp(sinθ|sin?)是當(dāng)遠場點源的方向正弦值為sin?時，該線性系統(tǒng)在輸出方向正弦值為sinθ時的響應(yīng)(即波束能量)。已知BCBF和Bp反求聲源分布S(sin?)，這樣就得到關(guān)于聲源目標(biāo)的方位估計。注意到Bp(sinθ|sin?)的移位不變性，即Bp(sinθ|sin?)=Bp(sinθ?sin?)，那么聲源分布S(sin?)的估計問題就變成了一個典型的反褶積問題。利用上述序列[12]，反褶積作用在波束能量域(非負的)，且是適定的。在水聲環(huán)境中，當(dāng)海底環(huán)境參數(shù)隨方位變化或接收陣列為任意形狀時Bp(sinθ|sin?)Bp(sinθ?sin?)，即積分：

是關(guān)于變量sinθ的函數(shù)，不是一個定值，需要對其進行歸一化處理。

類似于公式(9)，可以將公式(8b)中聲源的深度分布(系統(tǒng)輸入)和B(rs,z)(系統(tǒng)輸出)間的關(guān)系表示為第一類弗雷德霍姆積分方程的形式：

其中，B(z)是略掉了聲源水平距離rs的簡略形式，x代表聲源的實際深度，s(x)代表聲源深度的分布，

(α為常系數(shù))類似于公式(9)中陣列波束方向圖案，代表聲源深度為x時，波束能量在深度位置z的值。

公式(11)中涉及到的函數(shù)都為非負的，可以應(yīng)用最小I-divergence 的迭代算法求得聲源的深度分布s(x)。在實際應(yīng)用中，假定變量z和x定義在有限維集，即z ?R，x ?R。那么公式(11)的離散形式可以寫成：

通過最小Csiszar’s I-散度的測度：

這里B(z)是給定的波束輸出，而波束輸出的估計值(z)可由特定的聲源深度估計分布得到：

依據(jù)庫恩-塔克條件，可以得到一種使得公式(13)中I[B(z)||?B(z)]最小的迭代算法：

2 仿真分析

將基于SWellEx-96 實驗[22]中的Event S5，用仿真和實驗數(shù)據(jù)對本文提出的方法進行驗證。實驗布局如圖1 所示，整個實驗持續(xù)75 min，水深大部分在180～220 m 間。在Event S5 中，水面科考船拖曳著兩個聲源—淺聲源(zs=9 m)和深聲源(zs=54 m)，以5 knot (約2.5 m/s)的速度由西南向東北方向勻速直線行駛。聲源發(fā)出各種頻率和SNR的連續(xù)波(Continuous wave,CW)信號。星號標(biāo)記的垂直陣(Vector senor line array,VLA)包含21 個水聽器，略有傾斜，大致均勻分布在深度為94～212 m的水層，間隔約為5.6 m。

圖1 SWellEx-96 實驗Event S5Fig.1 Event S5 of the SWellEx-96 experiment

Yang[23]應(yīng)用最小方差原理，得到一種高精度的深度估計方法，并比較了CB 法和最小方差(Minimum variance,MV)法定位性能。MUSIC 算法是一種基于子空間分解的算法，它利用信號子空間和噪聲子空間的正交性，構(gòu)建空間譜函數(shù)，通過譜峰搜索，能夠?qū)崿F(xiàn)對信號的參數(shù)的高精度估計。本文將比較MCID 法、CB 法、MV 法和MUSIC 法深度定位性能的優(yōu)劣。

在1.1 節(jié)提到，深度的精確定位很大程度上依賴對模態(tài)幅度向量A的準(zhǔn)確估計，即需準(zhǔn)確分解各階模態(tài)，這通常要求垂直陣的陣元數(shù)遠遠大于需分解的模態(tài)數(shù)。為了更好地分解各階模態(tài)，仿真部分選取一個陣元數(shù)為100、陣元間隔為2 m 均勻分布的垂直陣列，該陣列覆蓋水深為2～200 m 的水體?；赟WellEx-96 實驗的聲速剖面和海底環(huán)境參數(shù)，如圖2所示，用Kraken程序去仿真垂直陣接收到的聲場數(shù)據(jù)。下面的仿真都假定聲源靜止不動，與垂直陣間的水平距離為5000 m，頻率為170 Hz，共激發(fā)出21號簡正波。由于選取垂直陣陣元數(shù)為100，且基本覆蓋整個實驗水深，能夠?qū)崿F(xiàn)對21號簡正波的完整采樣。由于最多選取21 號簡正波，則一般需要40～60個快拍來確保協(xié)方差矩陣收斂；本文除在討論快拍數(shù)目對上述方法定位影響部分外，都選取50個快拍計算協(xié)方差矩陣，以保證協(xié)方差矩陣是可逆的。

2.1 高精度和低旁瓣

圖3(a)為聲源深度100 m、SNR為20 dB(每個陣元)，選取前20 號簡正波時的深度定位圖。對于這種理想情形，MCID 法的波束輸出近似于深度在100 m 處的Delta 函數(shù)，幾乎沒有旁瓣；且主瓣寬度約為2 m，與MV 法、MUSIC 法相近。設(shè)定SNR 為10 dB，聲源深度為30 m，同樣選取前20 號簡正波，深度定位結(jié)果如圖3(b)所示。很明顯，MCID 法的主瓣寬度依舊很窄；相比于圖3(a)，旁瓣(類沖擊曲線)能量增加，但平均輸出旁瓣能量低于另外3種方法的旁瓣能量；特別地，MCID 法的峰值旁瓣比(Peak-tosidelobe-level ratio,PSR)比CB 法約高8 dB。這是因為輸出噪聲是波束方向圖與輸入噪聲積分后的結(jié)果，一定程度上抑制了噪聲的輸出。這里設(shè)置迭代次數(shù)為1000 次，在下面的仿真討論中，迭代次數(shù)在1000～2000次之間；由此可得，MCID法在獲得窄主瓣、低旁瓣的同時，加大了計算量。那么似乎沒有必要先對接收進行模態(tài)波束形成，然后對波束形成的輸出進行迭代處理，以消除由它引起的模糊效應(yīng)(這里的迭代運算并不等同于去波束形成或逆波束形成，后者是為了恢復(fù)原始數(shù)據(jù))。請注意，如果只需要估計聲源的深度，則可能不需要模態(tài)波束形成。例如，人們可以使用維納濾波的方式直接從接收到的信號中估計聲源深度。首先將波束形成應(yīng)用于信號的原因是利用波束形成所提供的能量增益(類似于陣列增益，模態(tài)數(shù)類似于陣列中的陣元數(shù))來增強信號能量。然后應(yīng)用該迭代算法到CB 法的波束輸出能量以獲得其他優(yōu)勢，如窄主瓣和低旁瓣。

圖3 選取前20 號簡正波時的深度估計Fig.3 The depth estimation when the first 20 normal modes are selected

2.2 簡正波數(shù)量對主瓣寬度的影響

文獻[7]表明深度的定位受限于可分解的模態(tài)數(shù)，且具體選取多少號模態(tài)就能達到對深度的定位還與相應(yīng)的波導(dǎo)環(huán)境、陣列孔徑等相關(guān)。就本文考慮的仿真條件而言，若要達到精度小于40 m 的深度定位則至少需5 號簡正波；另外，一般來說，選取的簡正波數(shù)量越少，相應(yīng)波束輸出主瓣寬度也越寬。本節(jié)討論了前不同簡正波號數(shù)對4種方法深度定位精度性能的影響。假定聲源深度為100 m，SNR 為20 dB，選取前5 到20 號簡正波，圖4 為4 種方法主瓣寬度(波束能量為?3 dB 處)隨簡正波號數(shù)變化的折線圖。由圖4 可得，隨著簡正波號數(shù)的減少，4種方法的主瓣寬度也逐漸增加；在選取前不同號的簡正波的條件下，相比于CB 法，MCID 法的主瓣寬度窄且變化不大，變化范圍在2～4 m 內(nèi)，與MV 法、MUSIC法等高精度算法相近，驗證了MCID方法深度定位的高精度性能。

圖4 主瓣寬度隨簡正波號數(shù)的變化Fig.4 The mainlobe width varies with the number of normal mode

2.3 兩個相干聲源的定位

對于兩個相干聲源的定位而言，MV 法和傳統(tǒng)的MUSIC 法的定位性能將顯著下降。為比較4 種方法對兩個相干聲源的定位性能，進行如下仿真實驗，選取前20 號簡正波，每個陣元的接收信號為兩個等能量相干聲源(深度為30 m 和100 m)發(fā)出信號的疊加，SNR 為20 dB。定位結(jié)果如圖5 所示，MCID 法和CB 法能夠準(zhǔn)確辨別出兩個不同深度的相干聲源，但相比于CB 法，MCID法定位精度更高，旁瓣更低；由于聲源間的相干性，MV 法和MUSIC法定位效果很不理想，PSR 僅為3 dB，而MCID 法和CB法的PSR遠大于3 dB。注意到接受到的信號為兩個不同深度(30 m 和100 m)聲源發(fā)出的相干信號的疊加，這會導(dǎo)致其他深度處的波束能量輸出增加，進而引起旁瓣能量的整體增加。

圖5 水平距離相同、深度不同的兩個相干聲源深度定位Fig.5 Depth localization of two coherent sources at same range but different depths

2.4 SNR和快拍數(shù)對聲源分辨性能的影響

在實際應(yīng)用場景中，如在快拍數(shù)少、SNR 低情況下，協(xié)方差矩陣的估計存在較大偏差，這會導(dǎo)致特征分解協(xié)方差矩陣得到的噪聲和聲源信號特征值之間的差異減弱，從而使得MUSIC 算法的性能顯著下降。對于兩個相鄰深度的非相干聲源，MUSIC算法的分辨性能將明顯下降。MV 方法需大量的快拍來保證協(xié)方差矩陣的可逆性，同時SNR也會影響其對相鄰聲源的分辨能力。下面將比較上述4 種方法在低SNR 和小快拍數(shù)條件下對相鄰非相干聲源的分辨性能。

假定深度分別為100 m 和108 m 的兩個等能量的非相干聲源，水平距離均為5000 m，SNR 為?5 dB，取前20 號簡正波。深度定位結(jié)果如圖6 所示。可以發(fā)現(xiàn)此時CB 法、MV 法和MUSIC 法已幾乎不能分辨出兩個聲源，3 種方法在該場景下均失效；而MCID 法在100 m 和108 m 附近仍有兩個尖銳峰值，較為準(zhǔn)確地實現(xiàn)了相鄰深度非相干聲源的分辨。

圖6 水平距離相同、深度不同的兩個非相干聲源深度定位Fig.6 Depth localization of two incoherent sources at same range but different depths

除SNR 外，保持上述實驗條件不變；圖7(a)為相同快拍數(shù)(50)下，MCID 法、MV 法和MUSIC 法分辨力隨SNR 變化的分辨概率折線圖。該試驗中，SNR 間隔為1 dB，從?10～0 dB 均勻變化。對3 種算法進行500 次蒙特卡洛仿真實驗。圖7(a)結(jié)果表明，隨著SNR 增加，3 種算法成功分辨率也逐漸增加，但MCID 法成功分辨率明顯高于MV 法和MUSIC法。圖7(b)為相同SNR下，3 種算法隨快拍數(shù)變化的成功分辨概率折線圖。SNR 為?5 dB，快拍數(shù)間隔為10，從10～150 均勻變化，同樣取前20號簡正波且對3 種算法進行500 次蒙特卡洛仿真實驗。選取的簡正波號數(shù)為20，當(dāng)快拍數(shù)較小時計算的協(xié)方差矩陣不可逆，從而導(dǎo)致波束能量圖中出現(xiàn)高旁瓣和畸變主瓣，故這里不考慮MV 法在快拍數(shù)為10、20 和30 時的分辨性能。由圖7(b)可得，隨著快拍數(shù)的增加，3 種算法的分辨能力也逐漸提升；同樣相比于MV法和MUSIC法，本文提出的MCID法分辨性能更加優(yōu)越。注意到由于相鄰聲源接近，CB 法在上述場景下已完全失效，故不討論此時CB法的分辨能力。綜上所述，相比于傳統(tǒng)的CB法、MV法和MUSIC 法，本文提出方法能獲得更好的相近非相干聲源的分辨性能。

圖7 不同SNR 和快拍數(shù)下的成功分辨率Fig.7 Successful resolution at different SNR and snapshot

MUSIC 方法還需已知聲源數(shù)目D(聲源+干擾)以區(qū)分聲源信號和噪聲的特征向量，當(dāng)SNR 較低且存在強干擾時，對應(yīng)于聲源和噪聲的特征值將難以區(qū)分，從而導(dǎo)致對聲源的錯誤定位。假定存在一個強干擾和一個聲源目標(biāo)，兩者非相干，干噪比為?5 dB，信干比為?7 dB，深度分別為50 m 和150 m，水平距離均為5000 m，取前20 號簡正波，深度定位結(jié)果如圖8 所示。由于SNR 較低，對應(yīng)于聲源信號和噪聲的特征值相差不大且都小于強干擾的特征值，在當(dāng)前仿真條件下，對基于模式幅度向量A(歸一化后)得到的協(xié)方差矩陣進行特征值分解，得到從大到小排列后的前5 號特征值依次為0.4918、0.0953、0.0777、0.0544、0.0410；可以發(fā)現(xiàn)，此時聲源信號對應(yīng)的特征值0.0953 和后面噪聲的特征值難以區(qū)分，在實際處理中，若不已知聲源數(shù)目D，易將聲源信號等同于噪聲。結(jié)合圖8(a)和圖8(b)可得，若未知聲源數(shù)目D，錯取D=1，MUSIC方法只能辨別出深度在50 m 處的強干擾；而MCID 法、CB 法和MV 法仍在深度為150 m 的聲源位置處出現(xiàn)峰值。在圖8(a) 中，由于聲源信號和噪聲能量相差不大且存在強干擾，導(dǎo)致一部分聲源信號能量泄漏到干擾和噪聲空間，進而引起MUSIC 法在聲源位置處輸出能量的降低。

圖8 強干擾+目標(biāo)聲源深度定位Fig.8 Depth localization for strong interference+target source

2.5 簡正波數(shù)量和SNR對迭代次數(shù)的影響

對MCID 法而言，選取不同的簡正波號數(shù)和SNR所需的迭代次數(shù)不同，本節(jié)將討論選取前不同號簡正波和SNR 對MCID 法迭代次數(shù)的影響。假定SNR為20 dB，聲源深度為100 m，圖9(a)為選取前L號簡正波，主瓣寬度隨迭代次數(shù)(迭代次數(shù)范圍為10～3000 次)變化圖。由于深度搜索的間隔為1 m，隨著迭代次數(shù)的增加，主瓣寬度階梯式地下降；主瓣寬度收斂至2 m 時，前20 號、16 號、14 號、12號、8 號簡正波所對應(yīng)的迭代次數(shù)分別為871、963、1212、1561 和1624，可以得到隨著簡正波數(shù)目的減少，主瓣寬度收斂至2 m 處的迭代次數(shù)增加。聲源深度為100 m，選取前20 號簡正波，圖9(b)為不同SNR(單位為dB)條件下，主瓣寬度隨迭代次數(shù)(迭代次數(shù)范圍為20～3000 次)變化圖。同樣可以發(fā)現(xiàn)隨著SNR的降低，主瓣寬度收斂至2 m 處的迭代次數(shù)也逐漸增加。本文選取的迭代次數(shù)在1000～2000次之間，在選取簡正波數(shù)目較少或SNR 較低時，主瓣寬度雖有變化但較小(變化范圍在2 m 內(nèi))，對上面的仿真討論影響不大。

圖9 不同簡正波號數(shù)和SNR 下的迭代次數(shù)Fig.9 The iterations under different normal modes and SNRs

3 實驗數(shù)據(jù)分析

利用SWellEx-96 實驗的Event S5 中垂直陣數(shù)據(jù)進行處理。這里分別選取1500 s(水平距離約為5200 m)和2000 s(水平距離約為4000 m)附近時間長度為20 s 的垂直陣數(shù)據(jù)進行深度定位。選取頻率分別為130 Hz 和127 Hz 的實驗數(shù)據(jù)，SNR 在15～20 dB 之間，此時共激發(fā)出17 號簡正波，其中前者選取前12 號簡正波，后者選取前17 號簡正波；聲源深度分別約為54 m 和9 m，利用MCID法、CB法、MV 法和MUSIC 法對深度進行估計，其結(jié)果如圖10 所示。由于聲源的運動，可用于估計協(xié)方差矩陣的快拍數(shù)大大減少；這里選取10 個快拍(～2 s)估計協(xié)方差矩陣，由于估計的協(xié)方差矩陣是不可逆的，對于MV 方法，采用對角加載的方法進行定位，一般來說對角加載值是不確定的，只知道其上下界限，這里對角加載值選為0.08；由于對角加載相當(dāng)于人為地加入噪聲，這會降低MV 法的定位性能。垂直陣的陣元數(shù)為21，而共激發(fā)出17 號簡正波，在計算過程中矩陣E+E并不可逆，本文用向量E+P近似估計向量A，其對接收到的垂直陣數(shù)據(jù)的模態(tài)分解效果并不理想；另外，聲源的運動會引起快拍欠缺；這都會導(dǎo)致最后估計的協(xié)方差矩陣存在較大偏差。由圖10可得，相比于CB 法、MV 法和MUSIC法，MCID法具有更窄的主瓣寬度和更低的旁瓣，與上述仿真結(jié)果類似；且由于未能對協(xié)方差矩陣進行準(zhǔn)確估計，MV法和MUSIC法的定位性能顯著下降，主瓣寬度變寬，PSR 在3～4 dB 之間，遠小于MCID法和CB法。

由于科考船在運動過程中會隨著海面上下起伏，拖曳聲源也會隨之抖動，再加上垂直陣的傾斜、海洋環(huán)境參數(shù)的變化等原因，在實際處理中，深度定位往往會出現(xiàn)偏差：如在圖10 中，可以看到基于MCID 法聲源深度的估計與實際聲源深度有一定偏差，如在圖10(a)和圖10(b)中，深度估計約為58 m(偏差為4 m)；圖10(c)和圖10(d)中，深度估計為12 m (偏差為3 m)。其偏差受CB 法影響，因為MCID 法本身就是基于CB 法的波束能量輸出實現(xiàn)深度估計的，雖有偏差，定位結(jié)果仍然可以接受；這在一定程度上也驗證了MCID法的穩(wěn)健性。

4 結(jié)論

基于傳統(tǒng)模態(tài)波束形成的深度定位方法精度不高，為了提高深度定位的精度，可以將許多目標(biāo)方位估計高精度算法的原理應(yīng)用到深度定位。但高精度算法也存在著各種各樣的問題，如自適應(yīng)的高精度方法(如MVDR)會由于方向變化速率過大的聲源目標(biāo)而面臨快拍欠缺問題。本文基于最小Csiszár’s I-散度的迭代算法，提出一種新的高精度深度定位方法。由仿真和實驗數(shù)據(jù)可以得到，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)深度的高精度定位。由于該方法是對接收到的數(shù)據(jù)進行模態(tài)波束形成處理后，再估計出原來的聲源深度的分布狀況，實際上解決的是線性系統(tǒng)的求逆問題，這相當(dāng)于一個去模糊處理，一定程度上能減少噪聲對實際聲源分布的影響，從而能夠在保持深度定位高精度的同時抑制旁瓣。當(dāng)然該方法也存在不足，如本文的實驗條件下，迭代次數(shù)達到數(shù)千次，這大大增加了計算量。下一步的工作是探索減小計算量的方法并將最小Csiszár’s I-散度的迭代算法應(yīng)用到對水平距離和深度的同時估計。