古 瑤,佘彩云,吳建新,胡劉博

(1.中山大學(xué)電子與通信工程學(xué)院,廣東 深圳 518107;2.上海無線電設(shè)備研究所,上海 201109)

0 引言

分布式陣列雷達(dá)(distributed array radar,DAR)是下一代雷達(dá)發(fā)展的技術(shù)方向。相比于集中式陣列雷達(dá),分布式陣列雷達(dá)具有波束分辨性能更好、抗干擾能力更強(qiáng)、探測效能更高、作戰(zhàn)方式更靈活等優(yōu)點(diǎn)[1]。由于分布式陣列雷達(dá)中各節(jié)點(diǎn)雷達(dá)均獨(dú)立,各節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的本振和通道的不一致性,以及各節(jié)點(diǎn)雷達(dá)間的時(shí)鐘誤差都會帶來系統(tǒng)誤差[2],各節(jié)點(diǎn)雷達(dá)參考陣元之間的位置誤差[3]也會影響相參性能。

現(xiàn)有的陣列誤差估計(jì)校正方法適用于分布式陣列雷達(dá)中各節(jié)點(diǎn)雷達(dá)共用頻綜和波控的情況,對于節(jié)點(diǎn)雷達(dá)獨(dú)立、構(gòu)成方式靈活的分布式陣列雷達(dá)則不適用。基于參數(shù)估計(jì)的陣列誤差校正方法通過對誤差建模,將其轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計(jì)問題,該方法可以對任意構(gòu)型的陣列誤差進(jìn)行處理。根據(jù)校正源的應(yīng)用情況,校正方法通常分為兩大類:有源校正[4-5]和自校正[6]。

有源校正需要在空間設(shè)置特定的校正源,依靠校正源構(gòu)造模型并求解。通過校正源的設(shè)置,能夠在一定程度上增加信息量,從而降低運(yùn)算量。自校正是一種基于某種優(yōu)化函數(shù)對空間信源的方位與陣列的擾動參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)的校正方法。其優(yōu)點(diǎn)是不需要輔助校正源,可實(shí)時(shí)在線完成方位估計(jì)及誤差校正,應(yīng)用方便且具有較高的校正精度。上述方法雖然針對分布式陣列雷達(dá)提出了時(shí)間和相位的同步方案,但是沒有考慮由位置誤差引起的相位差,因此無法實(shí)現(xiàn)對位置誤差的估計(jì)。由于平臺運(yùn)動,位置誤差會隨著時(shí)間的變化而改變,因此需要每隔一段時(shí)間進(jìn)行一次在線估計(jì),否則基線誤差補(bǔ)償?shù)牟粶?zhǔn)確會導(dǎo)致相位同步誤差,進(jìn)而使分布式陣列雷達(dá)的相參性能下降。

本文建立分布式陣列雷達(dá)誤差模型,在此基礎(chǔ)上討論誤差對相參處理的影響,并提出一種基于相位擬合的線性近似最小二乘誤差估計(jì)方法。

1 信號模型

1.1 分布式陣列雷達(dá)信號模型

分布式陣列節(jié)點(diǎn)雷達(dá)沿x軸放置,以節(jié)點(diǎn)雷達(dá)1作為參考節(jié)點(diǎn)雷達(dá),如圖1所示。其中d1,2,分別為節(jié)點(diǎn)雷達(dá)1和節(jié)點(diǎn)雷達(dá)2參考陣元間的真實(shí)距離和含有誤差的距離。

假定分布式陣列雷達(dá)系統(tǒng)由N部收發(fā)共置的相同節(jié)點(diǎn)雷達(dá)組成,每個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)包含M個(gè)陣元,節(jié)點(diǎn)雷達(dá)內(nèi)相鄰陣元之間的距離de=λ/2,其中λ為發(fā)射信號的載波波長,相鄰節(jié)點(diǎn)雷達(dá)之間的距離矩陣ddis= [d1,2d2,3…d(i-1),i…d(N-1),N],d(i-1),i為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)參考陣元與第i-1個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)參考陣元間的真實(shí)距離,其中i∈{2,3,…,N}。該分布式陣列雷達(dá)的陣列導(dǎo)向矢量

式中:f0為雷達(dá)載頻的中心頻率;τi,j表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的第j個(gè)陣元相較于系統(tǒng)參考陣元的回波到達(dá)時(shí)間差,其中i∈{1,2,…,N},j∈{1,2,…,M}。

假定分布式陣列雷達(dá)中節(jié)點(diǎn)雷達(dá)1的陣元1為分布式陣列雷達(dá)的系統(tǒng)參考陣元,τi,j可以表示為

式中:τi,1為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)參考陣元與系統(tǒng)參考陣元的時(shí)間差;τ1,j為第1個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)內(nèi)第j個(gè)陣元與當(dāng)前節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的參考陣元間的時(shí)間差?？梢钥吹?在遠(yuǎn)場條件下,分布式陣列雷達(dá)由于陣元間距導(dǎo)致的波程差可以分為陣內(nèi)波程差和陣間波程差,因此陣列導(dǎo)向矢量sdis也可以表示為

式中:sa為陣間導(dǎo)向矢量;se為陣內(nèi)導(dǎo)向矢量;?為Kronecker積運(yùn)算符。

1.2 含誤差的信號模型

基于前述的陣內(nèi)和陣間導(dǎo)向矢量模型,對分布式陣列誤差,包括陣內(nèi)誤差和陣間誤差,分別進(jìn)行討論。對于第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)內(nèi)的第j個(gè)陣元,假定存在陣內(nèi)時(shí)間同步誤差和相位同步誤差,同時(shí)存在通道增益不一致誤差(偏離單位增益的倍數(shù))gi,j、通道相位不一致誤差及陣面姿態(tài)角誤差。包含上述誤差的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的陣內(nèi)導(dǎo)向矢量可以表示為

式中:θ為目標(biāo)回波入射角。

假定陣間第i個(gè)陣元的時(shí)間同步誤差為,相位同步誤差為,通道增益不一致誤差為gi,通道相位不一致誤差為,由位置誤差導(dǎo)致的波程差誤差為。包含前述誤差的陣間導(dǎo)向矢量可以表示為

式中:da為各節(jié)點(diǎn)雷達(dá)之間的距離。

假定目標(biāo)的空間位置矢量pt=[xtyt]T(T表示矩陣轉(zhuǎn)置),第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的第j個(gè)陣元的空間位置矢量pi,j=[xi,jyi,j]T,則τi,j可以寫成

式中:‖·‖ 為范數(shù)運(yùn)算符;c為光速。

假定θi表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的姿態(tài)角,其陣面姿態(tài)角誤差為,相鄰節(jié)點(diǎn)雷達(dá)陣間基線誤差矩陣,其中為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)參考陣元與第i-1個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)參考陣元間含有誤差的距離,i∈{2,3,…,N}。無誤差時(shí),假定節(jié)點(diǎn)雷達(dá)陣列的陣內(nèi)間距相等,選擇陣元1作為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的參考陣元,參考陣元的位置矢量為pref,i,則第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的第j個(gè)陣元的位置矢量pi,j可以表示為

其中

式中:F（θi）為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)陣面姿態(tài)角對位置的影響矩陣。

假定分布式陣列雷達(dá)系統(tǒng)的參考陣元位置矢量pref,0=[x0y0]T,則第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的參考陣元位置矢量pref,i可以表示為

這里假定分布式陣列雷達(dá)沿x軸線性布局?？紤]誤差的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的第j個(gè)陣元的位置矢量

其中

式中:為考慮誤差的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的參考陣元位置矢量。

2 誤差影響分析

誤差會影響分布式陣列雷達(dá)方向圖的分布。當(dāng)各誤差項(xiàng)服從隨機(jī)分布時(shí),分布式陣列雷達(dá)方向圖各點(diǎn)的值因誤差的隨機(jī)分布也會具有一定的隨機(jī)性。若有確定的誤差分布模型,則可對其影響進(jìn)行確定性描述;若沒有確定的誤差分布模型,則可通過5 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)對其分布特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。相參積累效率隨增益誤差的變化情況如圖2所示。其中相參積累效率是指含誤差時(shí)相參處理的信噪比增益和理論相參處理的信噪比增益的比值。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,增益誤差對相參處理增益的影響較大,相參積累效率隨著增益誤差分布均方差的增大而變小。

圖2 相參積累效率隨增益誤差變化情況

相參積累效率隨相位誤差變化情況如圖3所示?？芍?綜合的相位誤差波動范圍在40°以內(nèi)時(shí),相參積累效率在90%以上;相位誤差波動范圍在30°以內(nèi)時(shí),相參積累效率在95%以上;當(dāng)相位誤差波動大于130°時(shí),相參積累效率幾乎不變,保持在40%左右。

圖3 相參積累效率隨相位誤差變化情況

綜上所述,增益誤差和相位誤差都會對相參積累效率造成影響。各項(xiàng)誤差間是相互獨(dú)立的,因此可以對各項(xiàng)誤差影響的指標(biāo)進(jìn)行累加,計(jì)算最終的誤差影響程度。各誤差項(xiàng)對相參積累效率的影響如表1所示。

表1 各誤差項(xiàng)對相參積累效率的影響

3 基于相位擬合的誤差估計(jì)方法

3.1 迭代最小二乘誤差估計(jì)

進(jìn)行迭代最小二乘誤差估計(jì)時(shí),首先對節(jié)點(diǎn)陣列內(nèi)的通道幅相誤差進(jìn)行校正,并估計(jì)由位置引起的相位誤差及分布式節(jié)點(diǎn)間通道幅相不一致帶來的誤差。這些待估計(jì)的參數(shù)可以通過最小二乘估計(jì)獲得,表達(dá)式為

式中:為估計(jì)的幅相誤差矩陣;H 為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。

將式(13)代入式(12)可以得到最小二乘代價(jià)式

式中:為估計(jì)的基線和姿態(tài)誤差。

但上述最小二乘估計(jì)無法得到解析解,需要采用次優(yōu)方法近似或者進(jìn)行多維搜索。如果的求解只基于當(dāng)前樣本點(diǎn),那么

將式(15)代入式(14),可得

式中:max(·)為取最大值函數(shù);|·|為取絕對值運(yùn)算符。

由于位置誤差的存在,式(17)中觀測導(dǎo)向矢量與理論導(dǎo)向矢量是失配的,因此使用理論導(dǎo)向矢量計(jì)算得到的是局部最優(yōu)值。為了獲得更準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果,可以迭代進(jìn)行上述的最小二乘估計(jì)過程。基于迭代最小二乘的誤差估計(jì)流程如圖4所示。

圖4 基于迭代最小二乘的誤差估計(jì)流程圖

3.2 相位擬合的誤差估計(jì)

由于采用的校正源信噪比較高,此時(shí)的數(shù)據(jù)相位可以認(rèn)為是校正源的相位。通過提取輸出相位進(jìn)行參數(shù)擬合,就可以將非線性最小二乘問題進(jìn)一步簡化。

含誤差的回波時(shí)延

其中

式中:為有誤差時(shí)校正源到第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的第n行第l列陣元的距離;pt為校正源真實(shí)位置矢量;為有誤差時(shí)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的第n行第l列陣元的位置矢量;為有誤差時(shí)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)參考陣元與第i-1個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)參考陣元的距離;為有誤差時(shí)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的姿態(tài)角。

相對應(yīng)的,含以上兩種誤差的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的第n行第l列陣元的相位可以表示為

其中

式中:Δe為待估計(jì)的誤差參數(shù)矩陣;為含誤差的校正源m到第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的第n行第l列陣元的回波時(shí)延;φi為未校正的陣間通道相位;表示向下取整運(yùn)算。

對式(19)所示距離表達(dá)式進(jìn)行線性近似。首先處理姿態(tài)誤差的非線性問題,將其在θi處進(jìn)行泰勒(Taylor)展開,忽略2次以上的展開項(xiàng),即

其中

由基線和姿態(tài)誤差引起的位置誤差矢量

令無誤差時(shí)校正源到節(jié)點(diǎn)i的第n行第l列陣元的位置矩陣

結(jié)合式(24)和式(25),式(19)可改寫為

式中:為無誤差時(shí)校正源到第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的第n行第l列陣元的距離,通常也稱為標(biāo)稱距離;分別為在x軸和y軸的坐標(biāo);為含有基線和姿態(tài)誤差情況下校正源到第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的參考陣元的位置誤差;為校正源到第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的陣面姿態(tài)角誤差。

將式(20)寫成矩陣形式,有

其中

式中:δ為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)的觀測數(shù)據(jù)相位矢量;ei為位置誤差矢量;Fi為距離標(biāo)稱矩陣;fi為相位列矢量;,分別為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)雷達(dá)參考陣元在x軸和y軸的位置誤差。

基于相位擬合的線性近似最小二乘誤差參數(shù)估計(jì)流程如圖5所示。

圖5 基于相位擬合的線性相位最小二乘誤差估計(jì)流程圖

4 仿真實(shí)驗(yàn)

首先對線性近似相位與理論相位進(jìn)行比較。在基線誤差均方根誤差為1 m、姿態(tài)角誤差均方根誤差為1°的情況下,線性近似相位相對于理論相位的誤差如圖6所示。

圖6 線性近似相位相對于理論相位的誤差

在獲得位置誤差后,可以對等效幅相誤差進(jìn)行估計(jì)。由于近似時(shí)相位存在近似誤差,因此使用位置誤差估計(jì)值代入式(19),計(jì)算得到的相位與理論相位存在偏差。經(jīng)過500次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),在存在相位誤差的情況下,分布式陣列位置誤差修正后的通道間幅相估計(jì)平均誤差如圖7所示。從圖7(a)可以看出,通道幅度增益平均相對誤差隨數(shù)據(jù)相位誤差的增大而增大,當(dāng)數(shù)據(jù)相位誤差為3°時(shí),通道幅度增益平均相對誤差約為0.1。由圖7(b)可知,數(shù)據(jù)相位誤差不大于3°時(shí),通道相位平均誤差小于1.5°,近似帶來的誤差對通道增益的影響很小。使用估計(jì)的通道幅相誤差進(jìn)行校正均衡后,相參增益影響是可以接受的。

圖7 位置誤差估計(jì)修正后的通道間幅相估計(jì)平均誤差

5 結(jié)束語

本文針對分布式陣列雷達(dá)系統(tǒng)中導(dǎo)向矢量非理想的誤差問題進(jìn)行研究。由于陣間誤差難以進(jìn)行完全的估計(jì)補(bǔ)償,因此首先分析了陣間幅相誤差對相參處理增益的影響,給出了不同性能指標(biāo)下對誤差剩余的要求,為誤差估計(jì)校正方法的有效性提供支撐。之后對分布式陣列雷達(dá)的陣間位置和幅相誤差進(jìn)行估計(jì),基于相位擬合和線性近似,完成對陣間誤差的聯(lián)合估計(jì)。通過對不同陣間相位誤差剩余情況下的位置誤差估計(jì)精度進(jìn)行仿真,驗(yàn)證了該方法對誤差估計(jì)的有效性。