范 凱,劉健康,孫 寶,李占龍

(1.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024;2.太原科技大學(xué) 車輛與交通工程學(xué)院,太原 030024)

0 引言

對沖擊機(jī)械的研究起源于撞擊問題,部分沖擊機(jī)械設(shè)備中存在橫向尺寸比軸向尺寸小很多的部件,比如釬桿、錘桿和樁等。對此類部件沿軸向方向進(jìn)行撞擊時,彈性桿是沖擊系統(tǒng)力學(xué)模型中的核心元件,必須考慮波動過程。劉德順等[1]基于經(jīng)典線性波動方程研究了沖擊機(jī)械動力學(xué),但存在微小變形假設(shè)和忽略泊松效應(yīng)的理論局限,對要發(fā)生有限變形的高速或重載沖擊失效,無法分析泊松效應(yīng)的效用。Liu等[2]在考慮泊松效應(yīng)、有限變形的情況下,使用Hamilton變分原理導(dǎo)出如下形式的桿中非線性波動方程：

(1)

式中：u為軸向位移梯度;ρ為桿密度;ν為泊松比;E為彈性模量;G為剪切模量。顯然,方程(1)可以退化為經(jīng)典的線性波動方程,進(jìn)一步研究方程(1)的精確解有助于高速或重載沖擊下機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)問題研究的深入和突破。

非線性波動方程的精確解不僅可以圖形化地展示許多復(fù)雜的非線性現(xiàn)象,還允許對其機(jī)理進(jìn)行解讀,是開展其他問題研究的重要基礎(chǔ)。Wang等[3]提出獲取非線性波動方程精確行波解的(G′/G)展開法,之后被廣泛應(yīng)用[4-5],后續(xù)產(chǎn)生許多修改版,如有理(G′/G)展開法[6]、(1/G)展開法[7-9]、擴(kuò)展的(G′/G)函數(shù)展開法[10-11]等。(1/G)展開法過程更簡潔,但獲得的基本解形式變少。獲取非線性波動方程的新的精確解是重要的課題[12],Pang等[10]把(G′/G)展開法的冪次從正整數(shù)推廣到負(fù)整數(shù),獲取了KdV方程的新精確解,但未闡明擴(kuò)展(G′/G)展開法相比(G′/G)展開法獲取新精確解的機(jī)理。本文研究中,首先,把擴(kuò)展(G′/G)展開法[10]的輔助方程變換為等價(jià)的極簡輔助方程,記為擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法,并闡明擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法相比(G′/G)展開法是把2個Riccati方程的解以某種形式進(jìn)行融合,從而獲得新精確解;其次,使用擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法獲取方程(1)的精確行波解,并討論獲取到的26個精確解;最后,對扭結(jié)孤立波解及其對應(yīng)的應(yīng)變波函數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬與分析。

1 擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法

1.1 極簡的輔助方程及(G′/G)函數(shù)的解形式

定理1(G′/G)展開法輔助方程G″+λG′+μG=0可以簡化為極簡輔助方程G″+hG=0,其中,λ,μ為常數(shù),h=(4μ-λ2)/4,G′=dG(ξ)/dξ。

通過極簡輔助方程的通解,在不同的條件下得到(G′/G)的解如下：

(2)

式中：C1、C2為自由常數(shù),式(2)的結(jié)果可以進(jìn)一步改寫為式(3)。

(3)

1.2 擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法的注解

注解1擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法只是把擴(kuò)展(G′/G)展開法中的輔助方程修改為G″+hG=0,為了方便敘述,把修改后的方法記為擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法。對于擴(kuò)展的(G′/G)展開法,輔助方程選G″+hG=0不應(yīng)只理解為是G″+λG′+μG=0中λ=0,μ=h的一種特殊情況,更好的理解應(yīng)該是通過結(jié)合常數(shù)λ和h來使輔助方程的參數(shù)數(shù)量減少1個,因?yàn)槭褂眠@2個輔助方程得到的解完全等價(jià),并能使整個計(jì)算過程更簡潔。

注解2對于擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法,擬設(shè)解的形式如下：

(4)

當(dāng)系數(shù)bi(i=1,…,m)為0時,退化為極簡(G′/G)展開法,有

(G′/G)′=(G″G-(G′)2)/G2(ξ)=-((G′/G)2-h

(5)

當(dāng)式(4)中的系數(shù)ai(i=1,…,m)為0時,退化為極簡(G/G′)展開法,此時有

(G/G′)′=((G′)2-GG″)/(G′)2=1+GhG/(G′)2=1+h(G/G′)2

(6)

由式(5)和式(6)可知,當(dāng)G滿足極簡輔助方程時,(G′/G)和(G/G′)分別滿足一個廣義Ricatti方程。因此對擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法做出說明,擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法可將2個Ricatti方程的解以某種形式融合在一起作為非線性波動方程的精確解,也可以說,擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法可將非線性波動方程的解分解為2個Ricatti方程的解。

2 擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法獲取桿中非線性波動模型的精確解

對方程(1)做行波變換u(x,t)=U(ξ),ξ=x-ct,然后取

p1=(-2(c2-E/ρ))/ (R2ν2(c2-G/ρ))

p2=3E/ρR2ν2(c2-G/ρ)

(7)

則方程(1)化為

U″″+p1U″+2p2((U′)2+UU″)+p2(U2U″+2U(U′)2)=0

(8)

使用平衡原理,得到方程(8)的擬設(shè)解為

U(ξ)=a0+a1G′/G+b1(G′/G)-1

(9)

把式(9)代入式(8),令(G′/G)的所有冪次項(xiàng)系數(shù)為0,得到如下非線性代數(shù)方程組：

求解上面11個方程組成的非線性代數(shù)方程組,得到4組非平凡解：

(10)

(11)

(12)

(13)

通過驗(yàn)算發(fā)現(xiàn),極簡(G′/G)展開法得到的解組就是解組3,極簡(G/G′)展開法的解組就是解組4,實(shí)例說明了擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法獲得的解包含極簡(G′/G)展開法的解和極簡(G/G′)展開法的解。結(jié)合式(2)或(3),將式(10)—(13)的值代入式(9),得到方程(8)在不同參數(shù)條件下的不同精確解,結(jié)合行波變換式就可得到方程(1)的精確解。

耦合解組11) 當(dāng)h<0,使用式(2),方程(1)具有如下形式的由雙曲函數(shù)構(gòu)成的精確解：

2) 當(dāng)h>0,使用式(2),方程(1)具有如下三角函數(shù)形式的精確解：

3)當(dāng)h=0,此時b1=0,方程(1)的有理函數(shù)形式的精解為：

耦合解組21)當(dāng)h<0,使用式(2),方程(1)具有如下由雙曲函數(shù)構(gòu)成的精確解：

2) 當(dāng)h>0,使用式(2),方程(1)的三角函數(shù)形式的精確行波解為：

3) 當(dāng)h=0,此時b1=0,此時的解為前面的u5,6(x,t)。

解組31) 當(dāng)h<0,方程(1)具有如下形式的精確解：

(14)

2) 當(dāng)h>0,方程(1)的三角函數(shù)形式的精確解為：

3) 當(dāng)h=0,此時的解為前面的u5,6。

解組41)當(dāng)h<0,方程(1)具有如下形式的精確解：

2)當(dāng)h>0,方程(1)的三角函數(shù)形式的精確行波解為：

3) 當(dāng)h=0,此時b1=0,解退化為常數(shù)。

3 驗(yàn)證及精確解的存在性分析

通過對所獲取的精確解的討論,展示擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法或擴(kuò)展(G′/G)展開法相比(G′/G)展開法能夠獲得新解的原因,即注釋2中的理論分析的驗(yàn)證。分析精確解在實(shí)數(shù)域和材料正參數(shù)條件下的存在性。

3.1 精確解的討論及理論分析的實(shí)例驗(yàn)證

參數(shù)C1和C2取值任意,相位ξ0造成行波的平移,所以考慮2個行波是否等價(jià)時,忽略相位ξ0。由此可得：① 極簡(G′/G)展開法獲得的解u11,12和解u17,18與用擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法獲得的解u1,2和解u9,10分別相等,但缺省使用擴(kuò)展的極簡(G′/G)函數(shù)展開法求得的解u3,4和u7,8;② 極簡(G/G′)展開法獲得的解u21,22和解u23,24與解u1,2和解u9,10分別相等,同樣缺省解u3,4和u7,8;③ 極簡(G′/G)展開法與極簡(G/G′)展開法除h=0時的解不同,其余情況分別等價(jià)。

更明確地說,u1,2和u9,10是使用擴(kuò)展的極簡(G′/G)函數(shù)展開法求得的不同耦合解組下的解,而通過擴(kuò)展的極簡(G′/G)函數(shù)展開法求得的解u3,4和u7,8不能通過極簡(G′/G)函數(shù)展開法或極簡(G/G′)展開法獲得。由此,對于極簡(G′/G)或(G/G′)函數(shù)展開法,認(rèn)為u3,4和u7,8就是在行波擬設(shè)解中加入負(fù)或正冪次項(xiàng)而額外獲得的耦合解。忽略相位ξ0,極簡(G′/G)法與極簡(G/G′)法有相同的雙曲函數(shù)和三角函數(shù)解,但是由他們組合構(gòu)成的擴(kuò)展的極簡(G′/G)法卻得到了非線性方程的新解u3,4和u7,8。而這2個耦合解,在采用Jacobi橢圓函數(shù)展開法求解的文獻(xiàn)[2]中未獲得。

3.2 解的存在性分析

分析解u1,2的存在性：當(dāng)h<0時,由式(10),代入式(7)中p1,p2的表達(dá)式有

8h=p2-p1=3E/(ρR2ν2(c2-G/ρ))+2(c2-E/ρ)/R2ν2(c2-G/ρ)?

c2=0.5(8GR2hν2+E)/(4R2hν2ρ-ρ)

由于c2大于0,考慮參數(shù)E,G,ρ都大于0的情況,推導(dǎo)出h<-E/(8GR2ν2)。要使u1,2為實(shí)數(shù)域上的解,則要p2小于0,得到c2

對于方程(1)的26個精確解,在實(shí)數(shù)域和正材料參數(shù)的條件下依次進(jìn)行存在性分析,整理結(jié)果如下：

1) 不存在的解為u5,6,u7,8,u9,10,u15,16,u17,18,u23,24,u25,26;

2) 在h<0,h<-E/8GR2ν2的條件下存在的解為u1,2,u11,12,u21,22,u13,14,u19,20,其中u1,2=u11,12=u21,22,u13,14=u19,20;

3) 在h>0,h>E/4GR2ν2的條件下存在的解為u3,4;

在實(shí)數(shù)域中存在且互異的解可取u13,14,u21,22,u3,4,它們將作為數(shù)值模擬的可選解。

4 基于u13,14的非線性應(yīng)變波及數(shù)值模擬分析

對于方程(1),軸向位移梯度u與軸向應(yīng)變的關(guān)系為εx=u+0.5u2,可得到非線性應(yīng)變波。不失一般性,取ξ0為0,以u13,14為例進(jìn)行數(shù)值模擬分析。考慮由35CrMnSi鋼加工成的橫截面半徑R=0.14 m的桿,35CrMnSi鋼的材料參數(shù)取值為：

E=214.0 GPa,υ=0.274,ρ=7 600 kg/m3,G=0.5E/(1+υ)=84.0 GPa

(15)

根據(jù)解的存在性分析結(jié)果,代入式(15)中的參數(shù)和桿的半徑R=0.14 m,計(jì)算得h<-E/8GR2ν2=-216.5,精確行波解u13,14中的p2=3E/(R2ν2(ρc2-G)),整理可得非線性波速為：

(16)

畫出u13,14的正系數(shù)的三維數(shù)值模擬圖,如圖1所示,顯示為一個扭結(jié)孤立波,它是由方程(1)中的幾何非線性效應(yīng)與橫向慣性和橫向剪切導(dǎo)致的色散效應(yīng)達(dá)到一種平衡形成的。與解u13,14對應(yīng)的軸向非線性應(yīng)變波函數(shù)為

(17)

取h=-250,-500,-750,將式(15)中的數(shù)據(jù)和R=0.14 m代入式(17)。式(17)的三維數(shù)值模擬圖見圖2,可以看出式(17)代表1個鐘狀非線性應(yīng)變波解。由非線性波速公式(16)可知,隨著桿半徑的增大,非線性波速增大;由式(17)的表達(dá)式可知,非線性波速增加,振幅增加。結(jié)合圖2可以清晰地發(fā)現(xiàn),振幅增加對應(yīng)正應(yīng)變幅值變大,說明對于半徑越大的桿,鐘狀非線性應(yīng)變波在其中傳播時,對材料的抗拉強(qiáng)度要求越高。

圖1 當(dāng)h=-250時,式(14)中扭結(jié)孤立波解的三維數(shù)值模擬圖

圖2 當(dāng)h=-250,-500,-750時,鐘狀非線性應(yīng)變波解的三維數(shù)值模擬圖

5 結(jié)論

1) 通過理論分析,闡明通過擴(kuò)展的極簡(G′/G)展開法不僅可以獲得極簡(G′/G)展開法與極簡(G/G′)展開法所獲取的非線性演化方程的精確解,還能獲得由2個Riccati方程精確解耦合成的解,且使整個計(jì)算過程更簡潔。

2) 通過對比分析使用擴(kuò)展極簡(G′/G)展開法獲取的26個精確解,發(fā)現(xiàn)忽略初始相位下,極簡(G′/G)法與極簡(G/G′)法具有相同的雙曲和三角函數(shù)解,耦合解中不僅分布有極簡(G′/G)法與極簡(G/G′)法的精確解,還存在新形式的精確解,比如u3,4和u7,8就是新的精確行波解。

3) 梳理出3組在實(shí)數(shù)域存在且獨(dú)立的精確解,通過位移梯度解u13,14及對應(yīng)的應(yīng)變波函數(shù)的數(shù)值模擬和分析,發(fā)現(xiàn)方程(1)存在扭結(jié)位移梯度孤立波解,此時桿中能存在穩(wěn)定傳播的鐘狀應(yīng)變波,半徑越大,對材料的抗拉強(qiáng)度要求越高。