張付臣,周雯靜

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)社會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400067)

0 引言

超混沌系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)中的一個(gè)重要分支,它與普通的混沌系統(tǒng)相比具有更大的復(fù)雜性,因而引起了廣大學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-10]。超混沌系統(tǒng)具有易于實(shí)現(xiàn)、對(duì)初始條件的敏感性強(qiáng)、設(shè)計(jì)電路簡(jiǎn)單等特點(diǎn),使得它在現(xiàn)代電子信息領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。目前,已經(jīng)提出了很多具有超混沌特性的新型非線性混沌系統(tǒng),這些系統(tǒng)已經(jīng)被成功應(yīng)用于許多實(shí)際工程領(lǐng)域。但是由于超混沌系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性和高增益性能,它也為研究非線性系統(tǒng)提供了一個(gè)新的思路。在過去的幾年里,已有很多關(guān)于四維超混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的研究,且由于數(shù)字信息系統(tǒng)的復(fù)雜性,超混沌系統(tǒng)越來越受到關(guān)注,因此對(duì)超混沌系統(tǒng)進(jìn)行研究也有著重要意義[10-18]。

研究了一類含有指數(shù)項(xiàng)新的四維超混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為,首先通過對(duì)其Lyapunov指數(shù)和Poincaré截面仿真測(cè)試,確定了該新四維系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng),具有高度復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,然后對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行基本的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析及耗散性分析,通過Matlab數(shù)值仿真,研究該系統(tǒng)隨著參數(shù)d的變化而發(fā)生的分岔現(xiàn)象。

1 新混沌系統(tǒng)及其分析

1.1 混沌模型

2019年,蘇敏等[5]在Lu混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上,研究了一類含有指數(shù)項(xiàng)的新三維混沌系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型為：

(1)

為了發(fā)現(xiàn)更多的新混沌系統(tǒng),并且不斷發(fā)現(xiàn)新的混沌現(xiàn)象。在該三維混沌系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上增加一個(gè)微分項(xiàng),并耦合到第二個(gè)方程中,得到了一個(gè)新的四維混沌系統(tǒng),其狀態(tài)方程如下：

(2)

在系統(tǒng)(2)中,w為引入的新狀態(tài)變量,a、b、c、d為系統(tǒng)的參數(shù),當(dāng)a=28,b=9,c=15,d=10時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)超混沌狀態(tài)。從系統(tǒng)的初始值(1,1,1)開始,圖1展示了系統(tǒng)(2)中各變量隨時(shí)間的變化趨勢(shì);圖2展示了三維混沌吸引子的特征。

圖1 系統(tǒng)的每個(gè)變量隨時(shí)間演化圖

圖2 三維混沌吸引子特征

1.2 耗散性

根據(jù)專著[19],系統(tǒng)(2)的耗散度為：

-a+c-b

當(dāng)a=28,b=9,c=15,d=10時(shí),▽V=-a+c-b=-28+15-9=-22<0,所以系統(tǒng)(2)是耗散的,且當(dāng)時(shí)間趨近于無(wú)窮大時(shí),系統(tǒng)(2)以指數(shù)速度

將運(yùn)動(dòng)軌跡收斂到稱為吸引子的不變集中,新系統(tǒng)(2)存在混沌吸引子。

2 Lyapunov指數(shù)和維數(shù)

取參數(shù)a=28,b=9,c=15,d=10,利用Matlab數(shù)值計(jì)算,得到系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)為：

λLE1=2.893 1,λLE2=0.103 4

λLE3=-0.114 0,λLE4=-24.872 4

其曲線如圖3所示。Lyapunov維數(shù)為：

此時(shí)Lyapunov指數(shù)大于零的有2個(gè),且該系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)呈現(xiàn)出正分?jǐn)?shù),這說明該系統(tǒng)處于一種復(fù)雜的超混沌狀態(tài),具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性。

圖3 Lyapunov指數(shù)曲線

3 Poincaré截面圖

選取參數(shù)a=28,b=9,c=15,d=10,繪制系統(tǒng)(2)的Poincaré截面圖,如圖4所示。

圖4 xOw,yOw,zOw的Poincaré截面圖

由圖4所示,無(wú)論是xOw、yOw相平面還是zOw相平面的Poincaré截面圖,上面都分布著一片密密麻麻、雜亂無(wú)章的點(diǎn),且由上面分析可知,該新系統(tǒng)有2個(gè)正的Lyapunov指數(shù),故該新系統(tǒng)為超混沌狀態(tài)。

4 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

令系統(tǒng)(1)右邊向量場(chǎng)等于0,則

(3)

當(dāng)a=28,b=9,c=15,d=10時(shí),系統(tǒng)(2)只有一個(gè)平衡點(diǎn)：

S0=(0,0,1/9,0)

在平衡點(diǎn)S0處的雅可比矩陣為：

令|J-λE|=0,得到特征根為：

λ1=-28,λ2=15,λ3=-9,λ4=0

可以知道特征根中包括了2個(gè)負(fù)實(shí)根、一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)零根,由勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性理論的判別法可知,平衡點(diǎn)S0是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

5 敏感性分析

取參數(shù)a=28,b=9,c=15,d=10,選初值x(0)=1,y(0)=1,z(0)=1,w(0)=1,當(dāng)初值每個(gè)變量都加上0.1、0.11時(shí),利用Matlab對(duì)變量x、y、z、w進(jìn)行仿真,得到圖5。

由圖5可以看出,該混沌系統(tǒng)在初值變量x、y、z、w發(fā)生0.1、0.11微小變化后都有較為明顯的變化,則說明該混沌系統(tǒng)具有初值敏感的特性。

6 參數(shù)對(duì)混沌系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

固定a=28,b=9,c=15,初值取(1,1,1,1)時(shí),令d∈[-20,20],在保持初始狀態(tài)的情況下,使用Matlab進(jìn)行仿真模擬,得到了新混沌系統(tǒng)隨系統(tǒng)參數(shù)d變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜的模擬結(jié)果,如圖6、圖7所示。

圖6 系統(tǒng)變量x隨參數(shù)d變化的分岔圖

圖7 參數(shù)d變化時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

由圖6和圖7可得,當(dāng)d∈[-20,-6]時(shí),λLE1>0,λLE2=0,λLE3<0,λLE4<0,此時(shí),系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。當(dāng)d=-10時(shí),混沌吸引子不同平面的相位圖,如圖8所示。

當(dāng)d∈[-6,-1]時(shí),由于λLE1>0,λLE2>0,λLE3<0,λLE4<0,此時(shí),系統(tǒng)吸引子處于超混沌狀態(tài)。當(dāng)d=-2時(shí),混沌吸引子不同平面的相位圖,如圖9所示。

當(dāng)d∈[-1,0]時(shí),由于λLE1>0,λLE2=0,λLE3=0,λLE4<0,此時(shí),系統(tǒng)吸引子處于混沌狀態(tài)。當(dāng)d=-0.5時(shí),混沌吸引子不同平面的相位圖,如圖10所示。

當(dāng)d∈[0,20]時(shí),由于λLE1>0,λLE2>0,λLE3=0,λLE4<0,此時(shí),系統(tǒng)吸引子處于超混沌狀態(tài)。當(dāng)d=8時(shí),混沌吸引子不同平面的相位圖,如圖11所示。

圖8 參數(shù)d=-10時(shí),混沌吸引子相位圖

圖9 參數(shù)d=-2時(shí),超混沌吸引子相位圖

圖10 參數(shù)d=-0.5時(shí),混沌吸引子相位圖

圖11 參數(shù)d=8時(shí),超混沌吸引子相位圖

綜上所述：當(dāng)d∈[-20,-6]時(shí),系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);當(dāng)d∈[-6,-1]時(shí),系統(tǒng)為超混沌狀態(tài)狀態(tài);當(dāng)d∈[-1,0]時(shí),系統(tǒng)為混沌狀態(tài);當(dāng)d∈[0,20]時(shí),系統(tǒng)為超混沌狀態(tài)。調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)d的值,可以控制系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和超混沌狀態(tài)之間變換。

7 結(jié)論

根據(jù)Lu混沌動(dòng)力系統(tǒng)理論構(gòu)建了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng),對(duì)系統(tǒng)耗散性分析,印證了新系統(tǒng)混沌吸引子的存在。通過Matlab仿真模擬,發(fā)現(xiàn)新四維超混沌系統(tǒng)存在2個(gè)正的Lyapunov指數(shù),即為超混沌系統(tǒng),通過Poincaré截面圖證明了新四維混沌系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài),令系統(tǒng)(2)中的右端向量場(chǎng)等于零,可得到該系統(tǒng)只存在一個(gè)平衡點(diǎn),且該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。通過Matlab模擬Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖等,表明該四維系統(tǒng)具有豐富的超混沌特性,隨著參數(shù)變量d的變化,可以控制該系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和超混沌狀態(tài)之間變換。