侯冬冬 ,都軍民 ,秦麗萍 ,王 凱 ,經(jīng)慧祥 ,李廣華

(1.中國船舶集團有限公司 第713 研究所,河南 鄭州,450015;2.河南省水下智能裝備重點實驗室,河南 鄭州,450015)

0 引言

近年來,海洋資源的開發(fā)和利用一直是世界各國關(guān)注的焦點。然而,由于海洋環(huán)境的復(fù)雜多變,必須借助各種設(shè)備來代替人類完成海洋探測及開采工作,水下機器人-機械臂系統(tǒng)(undersea vehiclemanipulator system,UVMS)正是這樣一類高科技海洋設(shè)備。由于UVMS 模型具有強非線性、強耦合和強時變等特點,且其在海洋環(huán)境中受到的擾動總不可預(yù)測,因此,設(shè)計一種可以高效抵抗擾動的控制器對于UVMS 來說至關(guān)重要。

為了解決這一難題,許多學(xué)者相繼提出針對具有未知時變擾動的多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)UVMS 建模與控制方案。Fossen[1]提出了一種基于歐拉-拉格朗日方程和牛頓-歐拉公式的模型建立公式,為基于模型的控制方法奠定了基礎(chǔ)。Mahesh 等[2]對水下機器人和機械臂之間的相互作用進行了系統(tǒng)性的闡述,為UVMS 的協(xié)調(diào)控制提供了理論基礎(chǔ)。

隨著控制精度的提高,需要開發(fā)更加精確的控制系統(tǒng)。在此背景下,幾種非線性的控制方案應(yīng)運而生,例如自適應(yīng)魯棒控制[3]、滑?？刂芠4]和基于干擾觀測器的控制(disturbance observer based control,DOBC)[5-13]。其中,DOBC 由于其在線估計未知擾動的能力,是一種有效的抗擾方法,近年來得到了廣泛的關(guān)注。Hou 等[5]提出了線性擾動觀測器的統(tǒng)一設(shè)計方案。Ohishi 等[6]將線性擾動觀測器應(yīng)用于機器人控制。然而,線性擾動觀測器不能應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。Chen[7]針對一類受干擾的單輸入單輸出(single input single output,SISO)非線性系統(tǒng)提出了一種非線性DOBC 方法。Guo等[8]針對一類受干擾的MIMO 非線性系統(tǒng)提出了一種非線性DOBC 方案。Sun 等[9]將擾動觀測器和反步控制方法相結(jié)合,針對一類具有不匹配干擾的非線性SISO 系統(tǒng),設(shè)計了一種復(fù)合控制器。然而,上述控制方案都是以擾動已知為前提進行設(shè)計的,這大大限制了這些控制方案的實際應(yīng)用。Min 等[10]針對一類具有未知外部擾動的MIMO非線性系統(tǒng)提出了一種DO 穩(wěn)定控制器,其有效性也在機械臂仿真中得到驗證。此外,Issam 等[11]考慮到模型的不確定性,提出了一種魯棒DOBC 方案,其中擾動觀測器用來估計一個將模型不確定性與外部擾動相結(jié)合的“集中干擾項”。然而,上述控制方案并沒有實現(xiàn)漸進穩(wěn)定性。Zarikian 等[12]將擾動觀測器結(jié)合到反饋線性化方法中,提出了一種MIMO 系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制器,實現(xiàn)了閉環(huán)控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。在實際應(yīng)用中,由于執(zhí)行器的物理限制,系統(tǒng)的控制輸入也將受到影響,進而使系統(tǒng)的控制性能大打折扣,甚至?xí)?dǎo)致控制系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況。Chen 等[13]針對一類不確定的MIMO 非線性系統(tǒng),提出了一種魯棒自適應(yīng)反步跟蹤控制方案,引入輔助動態(tài)系統(tǒng)(auxiliary dynamic system,ADS)來解決輸入飽和的影響,最終達到了閉環(huán)控制系統(tǒng)的半全局穩(wěn)定性。

文中針對UVMS 系統(tǒng),在未知時變擾動和輸入飽和同時存在的情況下,將構(gòu)造的擾動觀測器、投影算法與反步控制設(shè)計相結(jié)合,提出了一種新的魯棒自適應(yīng)跟蹤控制方案。主要貢獻包括如下幾個方面。

1) 首先建立復(fù)雜環(huán)境下的UVMS 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,UVMS 是一個復(fù)雜的系統(tǒng),由水下機器人和機械臂兩部分構(gòu)成,考慮了未知的有界時變量構(gòu)成的復(fù)合擾動,并構(gòu)造了擾動觀測器進行估計。

2) 通過反步控制算法來設(shè)計機械臂軌跡跟蹤控制器,將整個非線性系統(tǒng)進行拆分,使其變成多個結(jié)構(gòu)簡單的非線性系統(tǒng),解決了UVMS 系統(tǒng)的復(fù)雜控制問題。

3) 提出了針對UVMS 系統(tǒng)的基于擾動觀測器的魯棒自適應(yīng)控制器設(shè)計方案,并對系統(tǒng)進行Lyapunov 穩(wěn)定性分析。給出該控制器的仿真結(jié)果,并與傳統(tǒng)自適應(yīng)反步控制器進行對比分析,從而證明了該方案的有效性。

1 UVMS 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)Fossen[1]的建模方法建立UVMS 動力學(xué)模型

由于物理執(zhí)行器的限制,實際輸入 τ會受到約束,其每個控制輸入分量可以表示為

式中: τimax和τimin分別為 τi的上界和下界;τci為要設(shè)計的命令控制輸入向量。

為后續(xù)控制設(shè)計,先給出如下假設(shè): 假設(shè)干擾信號是未知時變的有界信號。

2 基于擾動觀測器的魯棒自適應(yīng)控制器設(shè)計

由于在實際應(yīng)用中,環(huán)境擾動總在變化且很難準確預(yù)測,故無法將環(huán)境擾動和建模不確定性對系統(tǒng)的影響分開,因此將環(huán)境擾動和未建模的動態(tài)集作為總擾動進行估計并補償。因此設(shè)計一種魯棒自適應(yīng)控制跟蹤算法,使系統(tǒng)的輸出向量能夠跟蹤任意光滑的參考軌跡,同時保證閉環(huán)跟蹤控制系統(tǒng)輸出跟蹤誤差的有界性。

2.1 擾動表示與觀測器設(shè)計

假設(shè)復(fù)合擾動為未知的有界時變量,根據(jù)傅里葉變換原理將復(fù)合擾動分解為一系列具有不同振幅、相位和頻率的正弦信號的疊加,則有

式中:p為正弦信號的個數(shù);ai,j,Ωi,j和 φi,j分別為第j個未知信號的振幅、頻率和相位。

首先將未知的時變擾動描述為可觀測且特征值均為純虛數(shù)的多元未知參數(shù)線性外系統(tǒng)的輸出。進一步,該線性外系統(tǒng)被表示為一個可控正則模型,其中擾動被描述為一個多元線性回歸模型。對于正則模型而言,減少過度擬合的一個好辦法就是對模型正則化(即約束): 其擁有的自由度越低,就越不容易過度擬合數(shù)據(jù)。比如,將多項式模型正則化的簡單方法就是降低多項式的階數(shù)。對線性模型來說,正則化通常通過約束模型的權(quán)重來實現(xiàn)。常見的對權(quán)重進行約束的方法有嶺回歸、套索回歸及彈性網(wǎng)絡(luò)。然后構(gòu)造一個觀測器來給出其估計,最終將擾動表示為線性參數(shù)形式。

根據(jù)式(8),擾動向量d可表示為以下線性外系統(tǒng)的輸出

式中: χ ∈R2p為系統(tǒng)狀態(tài)向量;S∈R2p×2p為系統(tǒng)矩陣;V∈Rn×2p為輸出矩陣。S和V未知,S的所有特征值都是純虛數(shù),且(S,V)是可觀測的。

為了方便實現(xiàn)對擾動的在線估計,將線性外系統(tǒng)式(9)轉(zhuǎn)化為正則模型,則d可以表示為標準形式的輸出向量

式中:H∈R2p×2p和L∈R2p×n是可設(shè)計矩陣且可控,H應(yīng)滿足Hurwitz 條件?；貧w參數(shù)矩陣Θ=(VF-1)T∈R2p×n未知,正則模型狀態(tài)向量? ∈R2p與系統(tǒng)狀態(tài)向量 χ的關(guān)系為

其中,F∈R2p×2p是以下方程的解

從式(9)與(11)可得

此外,通過式(11)可得

將式(14)代入(13)得到

從而式(10)得證。

多元線性外系統(tǒng)式(9)的正則表達式(10)在解決干擾抵消問題中起著關(guān)鍵作用?；貧w矩陣 Θ未知,其依賴于線性外系統(tǒng)式(9)的未知矩陣S和V。由于式(10)中擾動輸入未知,故正則模型狀態(tài)向量?無法利用。為了估計 ?,構(gòu)造如下干擾觀測器

對上式求導(dǎo)可得

式中,Ed為以指數(shù)形式衰減的誤差項。

2.2 魯棒自適應(yīng)控制器設(shè)計

在魯棒自適應(yīng)跟蹤控制設(shè)計之前,先給出投影算法的定義如下。

式中,‖·‖表示向量的2-范數(shù)。

反步控制算法通過引入虛擬的控制變量,使其變?yōu)樵S多個結(jié)構(gòu)簡單的非線性系統(tǒng),通過選擇適當?shù)腖yapunov 函數(shù)保證2 個連續(xù)的子系統(tǒng)中前系統(tǒng)的穩(wěn)定性,最后推導(dǎo)出整個系統(tǒng)的控制律和自適應(yīng)律,使系統(tǒng)的性能和指標達到設(shè)計要求。但在擾動較多或模型參數(shù)發(fā)生變化時,反步算法的控制性能會大幅度降低,所以通過在系統(tǒng)中引入干擾觀測器來解決這一問題。帶反步控制器的水下機器人軌跡跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of control system

定義UVMS 的軌跡跟蹤誤差為

式中,xd為其軌跡跟蹤位置。對上式進行求導(dǎo),可以得到

定義虛擬控制量

定義誤差變量

對上式求導(dǎo)可得

定義Lyapunov 函數(shù)

對上式進行求導(dǎo),得

故式(31)可寫為

為了補償飽和輸入的影響,引入如下輔助動力系統(tǒng)

設(shè)計魯棒自適應(yīng)跟蹤控制律

其中,自適應(yīng)更新律為

定理: 考慮UVMS 動力學(xué)系統(tǒng)(1)及輸入飽和非線性(7)與復(fù)合擾動(8)。基于干擾觀測器(17)與輔助動態(tài)系統(tǒng)(34),可設(shè)計魯棒自適應(yīng)跟蹤控制律(36)及自適應(yīng)律(37)～(40),上述自適應(yīng)控制器可以使閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差信號及其余信號都是一致有界的。

2.3 穩(wěn)定性設(shè)計

考慮增廣Lyapunov 候選函數(shù)

1) 當‖ξ‖≥σ時,根據(jù)?=1的楊氏不等式,由式(34)得到

式中,μ=min{μ1,μ2}且設(shè)計參數(shù)K2和Kξ滿足

3 仿真結(jié)果與分析

基于UVMS 的工作特點,對帶有兩連桿(連接關(guān)節(jié)n=2)的UVMS 的航行軌跡和機械臂旋轉(zhuǎn)軌跡進行跟蹤實驗,并且將實驗結(jié)果與比例積分微分(proportional integral derivative,PID)控制進行對比。其中對PID 參數(shù)進行選取時,分別采用多組參數(shù)查看PID 控制器作用下的跟蹤效果,將效果最優(yōu)情況下的PID 參數(shù)進行對比實驗。PID 參數(shù)的設(shè)置步驟一般如下:

1) 首先加入比例環(huán)節(jié),調(diào)節(jié)比例系數(shù),直到系統(tǒng)的輸出出現(xiàn)臨界振蕩;

2) 若單獨的比例環(huán)節(jié)不能滿足設(shè)計要求,則此時加入積分環(huán)節(jié),調(diào)整好的比例系數(shù)縮小為原來的0.8 左右,然后調(diào)節(jié)積分時間參數(shù),使得系統(tǒng)能保持較小的穩(wěn)態(tài)誤差和較小的振蕩時間,此時可以同時調(diào)整比例系數(shù)和積分時間常數(shù),以得到較為滿意的結(jié)果;

3) 進一步增加微分環(huán)節(jié),從小到大逐漸增加微分時間常數(shù),同時相應(yīng)地更改比例系數(shù)和積分時間,試湊出合適參數(shù)。

為了驗證控制器對位置快速變化的跟蹤能力,將水下機器人在X、Y、Z這3 個方向的運動軌跡與偏航角設(shè)定為

圖2 與圖3 分別給出了基于自適應(yīng)干擾觀測器的反步控制和PID 控制作用下,UVMS 軌跡跟蹤情況。

圖2 基于自適應(yīng)干擾觀測器的反步控制作用下UVMS 本體跟蹤情況Fig.2 The tracking results of UVMS under the backstepping control based adaptive disturbance observer

圖3 PID 控制的UVMS 本體跟蹤情況Fig.3 The tracking results of UVMS under PID controller

從圖2 中可以看出,在給定水下機器人的初始位置坐標和預(yù)定的運動軌跡后,水下機器人的坐標位置能夠快速完成預(yù)定軌跡跟蹤任務(wù),系統(tǒng)響應(yīng)速度較能快速且高精度跟蹤預(yù)定軌跡,而圖3 所示的方法雖然也可以完成軌跡跟蹤,但是在軌跡擬合穩(wěn)態(tài)精度上卻存在一定的誤差。

圖4 給出了文中方法和PID 方法下,在X、Y、Z方向和偏航角的不同自由度下的軌跡跟蹤誤差,從圖中可以看出,文中提出方法在X、Y、Z方向跟蹤誤差均較小,在偏航角上的跟蹤誤差差別也不大。

圖4 2 種方法分別作用下的軌跡跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors under two different control methods

為進一步驗證所提方法與PID 方法對機械臂關(guān)節(jié)的控制作用,在5 s 時讓機械臂最外的連桿末端拾取一個質(zhì)量為10 kg 的物體,為機械臂引入干擾,得到如下仿真結(jié)果,如圖5～圖7 所示。圖6 給出了2 種控制器作用下,關(guān)節(jié)角度跟蹤誤差的變化情況?？梢钥闯?在進行水下機器人軌跡跟蹤的過程中,水下機械臂由于連接在水下機器人本體上,在仿真開始階段其連桿角度和力矩會受到較大干擾,但是在水下機器人軌跡跟蹤穩(wěn)定后,機械臂的狀態(tài)也隨之穩(wěn)定。在仿真進行5 s 后,對水下機械臂外側(cè)連桿引入質(zhì)量為10 kg 的物體干擾時,連桿1 的角度在輕微擾動后迅速恢復(fù)至穩(wěn)定狀態(tài),而由于擾動直接加在連桿2 末端,其擾動相對于連桿1 偏大,但也能夠在短時間內(nèi)恢復(fù)至預(yù)設(shè)狀態(tài)。對水下機器人x、y、z等3 個自由度分別施加不同頻率不同大小的干擾，觀察干擾觀測器進行干擾估計情況,估計情況由圖7 給出。圖中F0為擾動力,從圖中可以看出,干擾觀測器對于干擾可以進行有效的估計并給出補償。

圖5 關(guān)節(jié)1 的角度跟蹤誤差Fig.5 Tracking errors of the joint 1

圖6 關(guān)節(jié)2 的角度跟蹤誤差Fig.6 Tracking errors of the joint 2

圖7 干擾觀測器估計效果Fig.7 The effect of disturbance observer

4 結(jié)束語

文中通過自適應(yīng)干擾觀測器進行擾動估計,通過設(shè)計輔助動力系統(tǒng)調(diào)節(jié)控制的輸入幅值,并進一步設(shè)計基于自適應(yīng)干擾觀測器的反步控制器,以達到良好的跟蹤與抗干擾效果,使控制系統(tǒng)的跟蹤誤差保持一致有界,使UVMS 在穩(wěn)定的同時提高響應(yīng)速度。最后通過仿真實驗驗證了所提控制器的有效性。

下一步將針對6 關(guān)節(jié)UVMS 存在的未知參數(shù)攝動與未知擾動問題,對自適應(yīng)干擾觀測器進行改進,并開發(fā)相應(yīng)的自適應(yīng)控制算法。