王娜, 毛忠民, 任翠鋒, 高大威

(1. 安徽三聯(lián)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,合肥 230601;2. 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,上海 200093)

擺振是一種復(fù)雜的自激振動(dòng)現(xiàn)象,廣泛存在于汽車、摩托車和飛機(jī)起落架等動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中[1-4]。擺振現(xiàn)象的發(fā)生會(huì)對(duì)汽車的行駛安全性和操縱穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響,因此,為了揭示擺振的發(fā)生機(jī)理,進(jìn)而完善汽車防擺振設(shè)計(jì),許多學(xué)者圍繞擺振動(dòng)力學(xué)開(kāi)展了大量研究[1]。

由于汽車擺振主要表現(xiàn)為前輪繞主銷的角振動(dòng),因此,輪胎力學(xué)特性與擺振的發(fā)生密切相關(guān),一些學(xué)者結(jié)合輪胎力學(xué)特性深入研究了汽車擺振系統(tǒng)的失穩(wěn)機(jī)理、能量傳遞規(guī)律及分岔特性[5-7]。此外,部分學(xué)者也關(guān)注到了轉(zhuǎn)向系統(tǒng)間隙和干摩擦等強(qiáng)非線性因素對(duì)汽車擺振的影響規(guī)律,研究發(fā)現(xiàn)間隙主導(dǎo)下的汽車擺振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)將表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng),而干摩擦?xí)T發(fā)擺振系統(tǒng)的多極限環(huán)運(yùn)動(dòng)[8-10]。隨著對(duì)汽車擺振的研究不斷深入,非線性振動(dòng)理論也被用于擺振動(dòng)力學(xué)機(jī)理的研究之中。其中,學(xué)者圍繞經(jīng)典的三自由非獨(dú)立懸架汽車擺振動(dòng)力學(xué)模型深入探究了擺振系統(tǒng) Hopf 分岔特性[11-13],指出擺振現(xiàn)象是系統(tǒng)在發(fā)生Hopf分岔后出現(xiàn)的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。此外,一些學(xué)者也針對(duì)不同類型的車輛擺振系統(tǒng)開(kāi)展了研究工作。肖闖和殷智宏[14]建立了輪椅車輪擺振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,應(yīng)用Hopf分岔理論分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Wei等[15]基于一個(gè)十二自由度擺振模型討論了雙前橋重型汽車的多極限環(huán)振動(dòng)特性,并分析了路面附著系數(shù)對(duì)極限環(huán)的影響。Gao等[16]建立了五自由度重型車輛擺振模型,討論了油氣懸架參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

上述研究成果為進(jìn)一步研究汽車擺振提供了良好的理論基礎(chǔ)。然而,為了簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)分析,大多數(shù)學(xué)者忽略了汽車輪胎、轉(zhuǎn)向系和懸架系統(tǒng)之間的動(dòng)力學(xué)耦合作用,從而使得汽車垂向運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)載荷對(duì)汽車擺振的影響尚未明確。需要指出的是,輪胎垂向載荷的變化對(duì)汽車動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性有著重要的影響[17]。因此,本文基于單輪擺振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,研究考慮輪胎垂向載荷影響的擺振系統(tǒng)分岔特性。此外,由于影響汽車擺振的因素較多,目前尚不清楚汽車擺振對(duì)哪些因素的變化較為敏感,所以本文將對(duì)轉(zhuǎn)向系和懸架系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析,相關(guān)結(jié)論可為工程中的擺振抑制提供有力的技術(shù)支持。

1 擺振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

由于獨(dú)立懸架汽車的左輪和右輪之間的相互作用較小,因此僅以某樣車的右前輪為研究對(duì)象,其簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示,基于以下假設(shè)建立擺振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型[18]。

圖1 汽車擺振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1) 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的阻尼和剛度分別等效為車輪繞主銷旋轉(zhuǎn)的角阻尼和角剛度。

2) 僅考慮輪胎的垂向剛度,忽略輪胎的垂向阻尼。

3) 非簧載質(zhì)量主要集中在輪心。

顯然,動(dòng)力學(xué)模型共有3個(gè)自由度,包括前輪擺角、簧載質(zhì)量的垂向位移和非簧載質(zhì)量的垂向位移,相關(guān)車輛結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 某樣車結(jié)構(gòu)參數(shù)

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

基于第二類拉格朗日方程,圖1所示的擺振系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散能分別為:

(1)

(2)

(3)

各自由度對(duì)應(yīng)的廣義力為:

(4)

(5)

Q3= 0

(6)

將式(1)～式(6)代入第二類拉格朗日方程,可得到擺振系統(tǒng)的微分方程:

(7)

(8)

(9)

1.2 輪胎模型

由于輪胎的垂向載荷對(duì)側(cè)向力有著至關(guān)重要的影響,考慮垂向載荷影響的側(cè)向力表達(dá)式[17]為

FR=[c1+c2(Fz0-Fz)]α+c3α3=

K1α+K2(Aτθ+z1)α+K3α3

(10)

式中:α為側(cè)偏角;K1=c1+c2Fz0;K2=c2kt;K3=c3。

汽車右前輪側(cè)偏角和擺角的約束方程[18]為

(11)

2 分岔特性

(12)

2.1 臨界車速

令F(v,x)=0,可求得x0=0是擺振系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)。因此,系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣可轉(zhuǎn)換為

(13)

因此,系統(tǒng)特征方程可由det|M(v)-λI|=0求解得到。

a0λ7+a1λ6+a2λ5+a3λ4+a4λ3+

a5λ2+a6λ+a7=0

(14)

式中:

a0=1;

a1=1.538 5v+73.109 2;

a2=2.291 8v2+113.777 1v+10 426.354 6;

a3=3.525 8v3+13.651 1v2+17 871.410 2v+

236 504.848 2;

a4=17.921 2v3+187.553 6v2+482 802.004 7v+

17 692 298.472 2;

a5=246.2221v3+41257793.7692v+79725112.3590;

a6=185 705 154.498 4v+1 046 118 171.400 2;

a7=2 475 680 345.868 0v。

根據(jù)Hurwitz準(zhǔn)則,特征方程(14)具有一對(duì)純虛根,且其余特征根具有負(fù)實(shí)部的判別條件為:

1)a1>0,a2>0, …,a7>0

將表1中的參數(shù)值代入Hurwitz行列式Δ6,便可求得汽車臨界失穩(wěn)車速,如表2所示。顯然,僅有v1=14.187 6 m/s和v2=20.483 3 m/s具有實(shí)際物理意義。將車速v1=14.187 6 m/s代入其余的Hurwitz行式中,得到Δ2=6.840 1×105>0,Δ4=1.964 2×1017>0。因此,擺振系統(tǒng)在此車速工況下處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。同樣地,當(dāng)車速v2=20.483 3 m/s時(shí),Δ2=7.966 5×105>0,Δ4=4.513 0×1017>0,擺振系統(tǒng)也處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

表2 臨界車速的求解

2.2 中心流形

為了進(jìn)一步研究擺振系統(tǒng)的分岔特性,將上述兩個(gè)臨界車速代入方程(14),即可得到擺振系統(tǒng)的特征值,如表3所示。顯然,擺振系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)在兩個(gè)臨界失穩(wěn)車速工況下是非雙曲的。 因此,以車速v1=14.187 6 m/s為例,應(yīng)用中心流形理論對(duì)原擺振系統(tǒng)進(jìn)行降維[19]。

表3 擺振系統(tǒng)的特征值

引入新變量y∈R7,令μ=v-v1,且x=py,則可以將狀態(tài)矩陣轉(zhuǎn)換為

式中:p可重新組合系統(tǒng)特征向量的實(shí)部和虛部獲得;Λ為一個(gè)對(duì)角矩陣。

則中心函數(shù)可設(shè)為

hi3y1y2+hi4μy1y2+hi5y22+h.o.t.

(16)

此外,對(duì)式(16)求導(dǎo)可得

(17)

將式(16)和式(17)代入式(15),可獲得中心流形為:

(18)

上述中心流形可在極坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換為:

(19)

式中d1～d3可分別從式(18)中獲得。

對(duì)于臨界失穩(wěn)車速v2=20.483 3 m/s,根據(jù)上述步驟,可獲得中心流形如下:

(20)

同樣,在極坐標(biāo)系中,式(20)轉(zhuǎn)化為:

(21)

式中d4～d6可結(jié)合式(20)求得。

圖2 擺振系統(tǒng)的分岔特性

2.3 數(shù)值驗(yàn)證

基于龍格-庫(kù)塔算法,對(duì)不同車速下的擺振幅值和垂向載荷進(jìn)行了數(shù)值求解,結(jié)果如圖3所示。

圖3 擺振幅值與輪胎垂向載荷最值隨車速的變化

由圖3可以看出,數(shù)值結(jié)果與上述求得的臨界車速結(jié)果一致。此外,擺振幅值將隨著垂向載荷的增加而增加。因此,垂向載荷對(duì)擺振幅值有重要的影響。在工程中,可以通過(guò)減小垂向載荷來(lái)抑制汽車擺振。

通過(guò)將式(18)和式(20)的變量轉(zhuǎn)換為原擺振系統(tǒng)變量,可分別獲得圖4所示的擺角相圖和表4所列的擺振幅值。顯然,用中心流形方法得到的結(jié)果與數(shù)值結(jié)果基本一致。因此,驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性,也表明中心流形理論可以有效求解擺振系統(tǒng)微分方程。

表4 不同速度下的擺振幅值

圖4 兩種方法求得的擺角相圖(v=14.70 m/s)

3 靈敏度分析

汽車作為一個(gè)復(fù)雜的機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),各部件及子系統(tǒng)之間存在著重要的耦合作用,因此影響汽車擺振的因素較多,工程中也存在多種途徑來(lái)抑制汽車擺振。然而,輪胎半徑、側(cè)偏剛度以及整車質(zhì)量等參數(shù)在工程實(shí)際中很難進(jìn)行調(diào)整優(yōu)化,鑒于此,本文以易于調(diào)整的轉(zhuǎn)向系和懸架系參數(shù)為研究對(duì)象,基于正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)其進(jìn)行靈敏度分析,從而為工程實(shí)際中更好地進(jìn)行防擺振設(shè)計(jì)提供技術(shù)參考。

首先,選擇5個(gè)因素(即轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的剛度和阻尼、懸架的剛度和阻尼以及主銷后傾角)進(jìn)行靈敏度分析,以分析各因素對(duì)臨界車速的影響程度。對(duì)于不同的參數(shù),利用Hurwitz準(zhǔn)則計(jì)算出兩個(gè)臨界車速(即v1和v2),并以臨界車速之差(即Δv=|v1-v2|)作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。各因素的水平如表5所示。

表5 各因素的水平表

選擇標(biāo)準(zhǔn)的四水平五參數(shù)正交表L16(45)[20],并根據(jù)L16(45)的實(shí)驗(yàn)安排來(lái)求解臨界車速。正交實(shí)驗(yàn)的安排和結(jié)果如表6所示。

表6 正交實(shí)驗(yàn)的安排和結(jié)果

由正交實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得各因素的主效應(yīng)圖,如圖5所示。

圖5 各因素主效應(yīng)圖

由圖5可以看出,增加懸架阻尼、轉(zhuǎn)向系阻尼和剛度可以使得擺振系統(tǒng)更加穩(wěn)定,從而抑制汽車擺振。主銷后傾角和懸架剛度的減小也可達(dá)到抑制擺振的效果。

對(duì)于四水平正交實(shí)驗(yàn),各因素的靈敏度計(jì)算公式為

(22)

各因素的靈敏度如表7所示。

表7 各因素的靈敏度

由表7可以看出,汽車擺振系統(tǒng)失穩(wěn)車速區(qū)間對(duì)主銷后傾角最為敏感,其次是轉(zhuǎn)向系阻尼。各因素的敏感度排序?yàn)?τ>cv>c>kv>k。因此,在工程實(shí)踐中,應(yīng)優(yōu)先考慮通過(guò)調(diào)整主銷后傾角來(lái)抑制汽車擺振。此外,調(diào)整轉(zhuǎn)向系和懸架系的阻尼也是抑制汽車擺振的有效方式。值得注意的是,汽車失穩(wěn)車速區(qū)間對(duì)轉(zhuǎn)向系和懸架系統(tǒng)的剛度變化不敏感,在工程實(shí)際中,不建議通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)剛度來(lái)抑制汽車擺振,這是由于盡管大范圍的調(diào)整剛度,汽車擺振不僅得不到抑制,而汽車其他動(dòng)力學(xué)性能將會(huì)被惡化。

4 結(jié)論

基于汽車單輪擺振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,采用Hurwitz準(zhǔn)則求得了系統(tǒng)的臨界分岔車速,進(jìn)而根據(jù)系統(tǒng)在臨界車速處的特征值,分析發(fā)現(xiàn)擺振系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是非雙曲的。因此,利用中心流形理論分析了系統(tǒng)的分岔特性。研究表明,在一定的速度范圍內(nèi),由于Hopf分岔的發(fā)生使得系統(tǒng)失穩(wěn)而出現(xiàn)擺振現(xiàn)象,且擺振幅值與輪胎的垂向載荷密切相關(guān)。值得注意的是,較大的垂向載荷將導(dǎo)致更大的擺振幅值,因此可以通過(guò)減小垂向載荷來(lái)抑制汽車擺振。

此外,選取轉(zhuǎn)向系和懸架系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為5個(gè)因素,并將Hurwitz準(zhǔn)則求得的汽車失穩(wěn)車速區(qū)間作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。結(jié)合靈敏度分析可知,汽車失穩(wěn)的車速區(qū)間對(duì)主銷后傾角最為敏感。因此,在工程實(shí)踐中,優(yōu)先考慮通過(guò)減小后傾角來(lái)抑制汽車擺振。此外,增加轉(zhuǎn)向系和懸架系統(tǒng)的阻尼來(lái)減小汽車擺振也是直接有效的方法。然而,汽車失穩(wěn)車速區(qū)間對(duì)轉(zhuǎn)向系和懸架系統(tǒng)的剛度不敏感,工程中不建議通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)剛度來(lái)抑制汽車擺振。